Majorana束缚态体系的输运性质凝聚态物理专业毕业论文Word格式文档下载.docx
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此外，我们还发现光子辅助隧穿效应下Majorana束缚态劈裂峰的峰值由
T厂
贝塞尔函数以（篁）决定，其中圪。
口为交流场振幅。
叫
3．2理论模型和公式
图3．1一维拓扑超导体夹在两个正常金属电极中间，其中拓扑超导纳米线是接地的。
左右两个正常金属电极的化学势为肌和∥R。
左右两个正常金属电极与中心
拓扑超导体的耦合强度分别为11L和I'
R。
两电极问考虑一个微波交流场。
体系模型如图3．1所示，微波交流场下一维拓扑超导体耦合两金属电极的哈
密顿可以被写成：
H（f）=q。
。
d（f）+H1-s+Hc，其中／4,。
d（r）、％。
和风分别表示微波场电极的哈密顿、一维拓扑超导体哈密顿和它们之间的耦合。
这里，我们用考虑强自旋轨道耦合、诱导S波超导电性和塞曼能的一维半导体纳米线来描述拓扑超导纳米线。
紧束缚模型下，系统的哈密顿可以写成离散点阵的形式[78-80】：
珥。
=∑∑一寺（e．，Cn+l’，+^．c．）一（∥一t，¨
tCn，，+圪0。
，（仃二）。
．Cn+w
v删厶
，（3．1）
S,S
一旦譬[fe，，（or，）。
．c。
扎，．+^．c．】+△（巳，tc。
，^+^．c．）其中门和Ⅳ分别表示拓扑超导纳米线的格点坐标和总晶格数，f表示最近邻格点的跃迁项，C¨
t（"
（q州门）为拓扑超导纳米线中自NNs（s’）电子的产生（湮灭）算
符，∥为化学势，aSo和圪分别表示自旋轨道耦合强度和塞曼能强度。
仃，和盯‘为泡利矩阵，△为超导序参量。
南部表象下的拓扑超导体哈密顿量可以用4×
4自
旋南部空间的波函数虬=（C，t，C。
t，。
，Cn'
t’Cn，^）7来表示。
电极的哈密顿q。
（r）和耦
合哈密顿风可以表示为：
‰。
（f）=∑‰（f）酩如％^，，（3．2）
k,s，p=L，R
爿rc=∑气（口：
^，clJ+五．c．）+k（口i，^Jc．Ⅳ，。
+而．c．），（3．3）
k,s
其中噶^，（ap^。
）是∥电极中具有自旋为s（s=个，J，）布洛赫波矢为k的电子的产
生（湮灭）算符。
微波场作用下∥电极中电子的能量为勺々（f）=占肚o+／zB+圪。
卢cos（oJr），其中％0。
和鳓分别表示∥电极的单粒子占位能和化学势。
∥电极中的交流偏压场为圪。
卢cos（ogr），其中圪。
卢为交流振幅，国为交流
频率。
tL（R）表示中心一维拓扑超导纳米线与左右两电极的耦合。
通过异质结体系的电流可以用，。
=（一以）表示哪川，其中ⅣL为左电极的总
电子数算符。
基于非平衡格林函数方法，f时刻体系的电流司以表述为：
“咖鲁Re』∥'
d占Tro"
=@“G‘（V．）∑弛，V”GV，∽∑沁，V．）】。
（3．4）
这里格林函数G‘（f，f’）和自能∑：
（s，f，f’）可以通过傅里叶变换F（f，f’）=』挚（占）e-iE（r-t'
）得到H91。
其中骧示格林函数G7或自能∑：
推迟格林函数可以通过表达式G‘（s）=[p+研）I一风。
一∑丁1得到。
其中自能项
∑‘=-iF。
／2-iFR／2。
宽带近似下的带宽函数rL（R）（s，f，f’）=2即uRrL（R）（s，f，f’）=2即uRItL（R）12L（R）|exp{iJf『‘j圪eL（R）．圪cos（cor,）drl}。
这里L（R）为自旋态密度。
L（R）为自旋态密度。
小于格林函数G‘可以通过Keldysh关系G‘=G‘∑‘G8得到。
小于自能可以表示为
∑‘=∑：
+∑i，其中∑凶=iFL（R）diag[f（占一版（R）），f（e一“（R）），f（g+1．ta．（R）），
厂（占+∥L（R））】。
超前自能表示为∑：
=iF。
／2。
因此，瞬时电流，。
（f）可以化简为∞821：
“f，=鲁Re』d打阿c磊磊．厶ciVac#乩-c等≯‘协fGrc占一m∞，E，。
3∽
×
Ga（8"
--mOO）YL+渺等）Gf（e-mr．）∑（】
其中L（一Vacp）是m阶贝塞尔函数。
对瞬时电流求时间平均，我们可以得到体系的
时间平均电流：
（XL）=鲁氏』d删盖驴争k）∑；
a8（E-mr．）Y,：
@6，
+莓以（挚’（8'
--mO））∑（】
基于上述公式，我们可以得到体系的瞬时电导GL（T）=d／。
（r）／dV和时间平均
电导（GL）=d（IL）／dV。
3．3数值分析与讨论
岩1
△
母
口'
X
巳
三o
1020304050
LatticenumberofTSNSiteCOOrdIinateofTSn
图3．2（a）能隙随拓扑超导纳米线长度变化曲线（b）当拓扑超导纳米线长度N=50时，零能态波函数空间分布。
我们定义跃迁能f=l为能量单位。
Oreg等人‘681研究表明，当吃>
△2+∥2时，
拓扑超导体的拓扑平庸相转变为拓扑非平庸相。
因此，在计算中我们取适合的参数：
A=0．15，屹=0．225，∥=0。
此外自旋轨道耦合强度％o=0．375。
能隙随拓扑超导纳米线长度的变化曲线如图3．2（a）所示。
随着纳米线长度的增长，能级
振荡衰减。
当纳米线长度N=50时，零能处出现束缚态。
此外，随着纳米线长度的继续增长，零能处的束缚态保持稳定。
图3．2（b）中，我们展示了当纳米线长度N=50时，零能态所对应粒子空间几率分布。
可以看到，实空间中的粒子主要分布在一维拓扑超导纳米线的两端。
这说明了体系中是存在Majorana束缚态
的[83】。
众所周知，Majorana束缚态的本质是自厄米性，也就是y+=y。
当超导体成为拓扑被保护的，也就是出现拓扑非平庸相的时候，电子和空穴可以在零能态共存并混合后形成自厄米的粒子，也就是说出现了Majorana束缚态[67,84】。
确认了体系中确实存在Majorana束缚态后，下面我们研究Majorana束缚态的含时输运性质。
数值计算中，我们定义微波场光子能量为hco=O．002t，线宽函
数FL（R，=0．001。
我们设左右两电极所加的微波场振幅相同（圪。
=圪。
R=圪。
）。
左右两电极的直流偏压设为eV／2和一eV／2。
值得注意的是我们定义的跃迁能t=lmeV的话，单光子能量为hco=O．002t，微波交流场频率为co=O．002=3GHz。
而这个微波场频率是目前实验可以实现的。
1．0
0．8
C
喀0．6
N
争0．4
0．0A．么（么
V：
0．2
．0．006．0．004．0．00200．0020．0040．006
eV（t）
图3_3当拓扑超导纳米线长度N=50时，时间平均电导随直流偏压变化曲线。
图3．3展示了当一维拓扑超导纳米线长度为N=50时，平均电流随直流偏压变化曲线。
我们注意到当左右两电极上不考虑微波交流场时，电导曲线展示了零
偏压处的共振隧穿峰，其峰值大小为2P2／五。
这个零能态共振峰对应着Majorana束缚态。
这个峰值大小为2e2／hMajorana束缚态共振峰的本质是电极与中心区
超导体界面处Majorana束缚态导致的共振安德烈夫隧穿。
这与单通道量子点接
触的预期结果是相一致的。
我们研究考虑微波交流场情况下系统的时间平均电导。
注意到考虑微波交流
场情况下，电导有两个光子辅助隧穿峰出现，分别位于eV=+2co。
并且这两个光子辅助隧穿峰的位置不随交流偏压场振幅的变化而变化。
此外，这两个光子辅助隧穿峰的峰值随着交流偏压场振幅的增长而增长，而零偏压处传统的Majorana束缚态导致的共振安德烈夫隧穿峰逐渐减弱。
这是由于正常金属电极中所加的振荡交流势所引起的。
此时，Majorana束缚态可以从微波交流场中吸收或者释放一
个光子能量跃迁到蝴国能级。
当电极的化学势为eV／2=+co时，位于±
}i国能级
处的Majorana束缚态可以隧穿通过一维拓扑超导纳米线，这也就是Majorana束缚态引起的光子辅助隧穿峰产生的原因。
因此，Majorana束缚态不仅可以存在于零能处，也就是说Majorana束缚态不仅能够在零能处被测量，由于光子辅助隧穿效应，我们也可以在非零能态观测到Majorana束缚态。
这为非零能态Majorana
束缚态的观测提供了一种理论方法。
：
佃二m=4女贯／I扣0。
001：
’m。
2／j＼
m=3
、
．m乱一一八——／·
L．
姒／{L恤。
0m2。
．（c）：
：
一Va占=0．003．
姒人：
_}L久IIIIII，I、
I04；
I
从L八／：
．LII，I、
图3．4当拓扑超导纳米线长度N=50且直流偏压为eg=O．004时，时间平均电导随微波交流场频率变化曲线。
在图3．3中，我们展示了微波交流场作用下Majorana束缚态吸收或者释放一
个光子能量所出现的位于eV／2=+co处的光子辅助隧穿峰。
事实上，只要微波交流场的频率满足共振条件占=mco（m表示光子数是一个正整数），Majorana束
缚态所引起的共振安德烈夫隧穿可以劈裂成一系列的光子辅助隧穿峰。
换句话
说，Majorana束缚态可以从微波交流场中吸收或者释放m个光子能量跃迁到
±
mhco能级上。
图3．4中，我们展示了时间平均电导随微波交流场频率CO的变化曲线。
从图中，我们可以清楚地看到Majorana束缚态从微波交流场中吸收或者
释放m个光子能量跃迁到±
mhco能级上所引起的m阶光子辅助隧穿峰。
这些峰
值位于eV／2=+mco。
此外，我们注意到当微波交流场的振幅为0．001、0．002和0．003时，第m一1阶光子辅助隧穿峰的峰值总是大于第m阶光子辅助隧穿峰的峰
值。
但是，当微波交流场的振幅K，=2．009时，第3阶和第4阶光子辅助隧穿峰峰值小于第5阶光子辅助隧穿峰的峰值。
这一现象表明Majorana束缚态的光子
辅助隧穿峰值依赖于微波交流场的振幅。
，．、
o
、-一
^
_J
（9
V
图3．5当拓扑超导纳米线长度N=50且微波交流场频率为CO=0．002时，m阶光子辅助隧穿时间平均电导随圪。
／∞变化曲线。
虚线为零偏压下Majorana束缚态隧穿
峰值随K。
／co的变化曲线。
为了清楚地描述微波交流场的振幅对Majorana束缚态的光子辅助隧穿峰值
的影响，在图3．5中，我们展示了时间平均电导随圪。
作为参照图中虚线表示的传统Majorana束缚态引起的共振安德烈夫隧穿峰值随圪。
／co的
变化曲线，红线和蓝线分别表示l阶和2阶Majorana束缚态的光子辅助隧穿峰值的变化曲线。
我们注意到随着圪。
／co的变大，传统Majorana束缚态引起的共振
1气
安德烈夫隧穿峰值指数震荡衰减。
Majorana束缚态吸收一个光子能量形成1阶光子辅助隧穿峰，峰值在圪。
=1．82∞处达到最大值0．524e2／h。
同样的Majorana束
缚态吸收两个光子能量形成l阶光子辅助隧穿峰，峰值在圪。
=3．050）处达到最大值0．336e2／h。
以此类推Majorana束缚态吸收多个光子能量形成一系列光子辅助
隧穿峰。
m阶光子辅助隧穿峰的峰值由（3．6）式中的贝塞尔方程项以（堑）决定。
很容易我们可以证明所有Majorana束缚态光子辅助隧穿峰峰值之和等于不考虑微波交流场时零偏压下传统Majorana束缚态引起的共振安德烈夫隧穿峰值。
换句话说，由于光子辅助隧穿效应，零偏压下的Majorana束缚态被重新分布在±
朋的光子能量能级E。
心一．么≥一，／
∑≮=矛么、《—么
Timet（2兀／co）图3．6当拓扑超导纳米线长度N=50且微波交流场频率为∞=0．002时，（a）瞬
时电导G。
（f）随时间变化曲线，（b）m阶光子辅助隧穿瞬时电导G。
（f）随时间变
化曲线。
到目前为止，我们研究了光子辅助隧穿效应对一维拓扑超导纳米线中电子输
运的影响。
Majorana束缚态光子辅助隧穿效应为非零能态Majorana束缚态实验
观测提供了理论上的方法。
众所周知，给定周期内体系的电流流动性质包含了这一周期内系统的本质信息。
为了清楚地展示考虑Majorana束缚态一维拓扑超导纳米线的动力学性质，我们在图3．6中展示了瞬时电导随时间f的变化曲线。
由
于电导是随时间周期变化的，所以在图中我们选取了一个振荡周期[0，2兀／co]。
我们注意到考虑了Majorana束缚态后，一维拓扑超导纳米线体系的电导G。
（f）随着时间周期性变化。
特别的，如图3．6（a）中所示，当微波交流场振幅圪。
=20时，即便左金属电极的化学势始终高于右金属电极的化学势，GT（f）在一定的时间间
隔内会出现负值。
这一现象是由于介观系统中含时行为的相位相干效应引起的。
类似的，图3．6（b）中的m阶Majorana束缚态光子辅助隧穿峰电导GL（f）在一定时间间隔内也出现了负值。
3．4本章小结
本章中，我们研究了光子辅助隧穿效应对于一维拓扑超导纳米线体系电子输运的影响，其中一维拓扑超导纳米线的两端各有一个Majorana束缚态。
研究表明：
光子辅助隧穿效应驱动下的Majorana束缚态可以吸收或者释放光子能量后跃迁到相应的能级上。
反映到电导曲线上，体系出现一系列Majorana束缚态光子辅助隧穿峰。
也就是说我们的体系可以出现非零能态的Majorana束缚态。
而且，我们发现非零能Majorana束缚态光子辅助隧穿峰的峰值与电极上所加的微波交流场振幅相关。
此外，我们还研究了考虑Majorana束缚态一维拓扑超导纳米线的动力学性质。
研究表明：
由于介观系统中含时行为的相位相干效应，Majorana束缚态引起的瞬时电导在一定时间间隔内也出现了负值。
4量子点耦合Majorana束缚态体系的约瑟夫森电流
4．1引言
目前，科学家们发现可以利用遵循非阿贝尔统计的粒子来设计拓扑量子计算，例如用最简单的非阿贝尔粒子来实现容错量子计算【651。
因此对于非阿贝尔粒子的实验探测是当今研究的一个前沿课题。
尽管科学家预言分数量子霍尔系统存在非阿贝尔粒子，但是对于非阿贝尔粒子的实验观测始终存在争议185,86]。
最近研究表明：
Majorana束缚态可以作为一个非阿贝尔统计的新范例，甚至是最简单形式的非阿贝尔粒子。
反映到能谱上，Majorana束缚态会在超导带隙中间出现零能态束缚态。
2008年，Fu和Kane在理论上提／出Majorana束缚态可以出现在拓扑绝缘体和S波超导体的界面上[5，6】。
随后，考虑RashbaI刍旋轨道耦合半导体薄层夹在铁磁和传统S波超导体中间的异质结构得到了人们的广泛关注，因为这一结构能够成为研究Majorana束缚态的新平台Ⅲ81。
受这些理论预测启发，一系列关于Majorana束缚态的实验研究报道了纳米线体系中的零能态，其中零能态的共振隧
穿峰被视为Majorana束缚态存在的标赳9‘12，17】。
但是，这些结果始终存在争议。
这是因为普通局域态、平滑约束、近藤效应以及安德烈夫束缚态都可以出现零偏压峰现剩13，71。
74，87。
90】。
这使得上述证明Majorana束缚态存在的条件是有局限性的。
因此，科学家还需要基于Majorana束缚态独有的特征，利用不同的实验方法来寻找Majorana束缚态。
近年来，约瑟夫森效应得到了人们的广泛关注[91-94】。
其中很重要的一点就是它可以为证明Majorana束缚态存在提供重要的实验特征。
Fu并flKane预言二维拓扑绝缘体夹在两超导电极中间所组成的约瑟夫森异质结可以引起分数约瑟夫森效应。
而分数约瑟夫森效应与Majorana束缚态的存在有关。
分数约瑟夫森效应的主要基本特征是电流相位关系不再是27c周期，而是47[周期【61。
随后，科学家证明了，不仅在二维体系结构中，一维纳米线耦合S波超导体中若存在Majorana束缚态也可以产生分数约瑟夫森效应[67,68]。
紧接着，一系列实验观测到了分数约瑟夫森电流，其中包括基于InSb／Nb半导体／超导体纳米线异质结构的分数约瑟夫森电流【17】。
但遗憾的是，在特定条件下，不考虑Majorana束缚
态的约瑟夫森异质结也可以产生分数约瑟夫森效应【馏】。
这使得对分数约瑟夫森
效应的观测不能作为判断Majorana束缚态存在与否的独有证明特征。
近年来，Vemek等人[951研究了量子点耦合拓扑绝缘体体系的输运性质，其中
拓扑绝缘体为考虑Majorana束缚态的拓扑非平庸相。
拓扑绝缘体中的Majorana束缚态局域态密度可以渗透到量子点中。
受这一研究结果启发，本章中，我们主要研究量子点耦合拓扑绝缘体体系的约瑟夫森电流。
研究体系为量子点耦合一维拓扑超导纳米线夹在左右两个超导电极中间的约瑟夫森异质结。
如图4．1所示，这里一维拓扑超导纳米线包括考虑Rashba自旋轨道耦合和塞曼能的一维半导体纳米线（蓝线）沉积在S波超导体（绿色区域）上。
然后，处在拓扑非平庸相上的一维拓扑超导纳米线的两端会出现一对Majorana束缚态（红色区域）。
研究表明：
当量子点耦合处于拓扑平庸相位的拓扑超导纳米线时，约瑟夫森电流被阻塞掉。
一旦拓扑平庸相转变为拓扑非平庸相，一维拓扑超导纳米线两端出现Majorana束缚态。
这时Majorana束缚态的局域态密度可以渗透到量子点中使得量子点中出现零能态，这一零能态对约瑟夫森电流有明显贡献。
此外，约瑟夫森电流随塞曼能的变化曲线展现出了稳定的电流类平台结构，而且这一电流大小刚好约等于孤立量子点体系（量子点不与拓扑超导体耦合）约瑟夫森电流大小的一半。
我们提出这一稳定电流平台能够成为判定一维拓扑超导纳米线@Majorana束缚态存在的依据。
4．2理论模型和公式
国
0．4
．3P
引
0．3
O．20．1
ELengthN
图4．1（a）约瑟夫森结结构（b）拓扑非平庸超导纳米线局域态密度。
（c）和
（d）是Majorana束缚态空间波函数分布。
如图4．1（a）中所示，我们研究结构为量子点耦合一维拓扑超导纳米线夹在两个超导电极中间的异质结构。
体系的哈密顿量如下：
H=皿。
+Ht。
ads+乩01．1ead。
，（4．1）
其中皿。
=峨。
+风；
+Hd。
卜wh是中心区量子点耦合一维拓扑超导纳米线的哈密
顿量。
q。
础=∑也是左右两普通超导电极的哈密顿量。
H排蛔。
描述的是中心
a=L．R
区量子点与左右两个超导电极之间的耦合。
量子点的哈密顿量可以描述为：
风。
=∑edd!
d，，（4．2）
其中d!
（d，）为量子点中自旋为J电子的产生（湮灭）算符，在位能为旬。
接下来，我们用考虑塞曼能圪、Rashba自旋轨道耦合强度魄。
和诱导s波超导电性的半导体纳米线来描述一维拓扑超导纳米线。
离散晶格近似下，拓扑超导纳米线的哈密
顿矾；
可以表示为‘78’791
‰2；
善斛^s叫om“．c．）+△（坼一c．）。
（4．3）
+aso[f0，，（盯y）”．Cn+w+^．c．]+％0，，（盯二）”．巳一这里，z表示拓扑超导纳米线的格点坐标；
0刖）（cn删））表示拓扑超导纳米线第，z
个格点自旋为s（s’）电子的产生（湮灭）算符；
∥和f分别表示拓扑超导纳米线的化学势和最近邻跃迁项，盯，和盯2为泡利矩阵矩阵元，△为拓扑超导纳米线的超
导序参量。
这里，我们设拓扑超导纳米线的长度为Ⅳ=80。
当长度N<
80时，拓扑超导纳米线不能产生两个孤立的Ma
升级会员 