轴上。
（1）求线段 OA、OB 的长和经过点 A、B、C 的抛物线的关系式。
（4 分）
（2）如图，点 D 的坐标为（2，0），点 P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中 m>0，n>0），
连接 DP 交 BC 于点 E。
①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出此时点 E 的坐标。
②又连接 CD、CP，△CDP 是否有最大面积？
若有，求出△CDP 的最大面的最大面积和此时点
P 的坐标；若没有，请说明理由。
图 11
12
（2009 宁夏）如图，抛物线 y = -x2 +
22
x + 2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点．
（1）求 A、B、C 三点的坐标；
（2）证明 △ ABC 为直角三角形；
（3）在抛物线上除C 点外，是否还存在另外一个点P ，使△ABP 是直角三角形，若存在，
请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由．
y
C
A O B x
（2009 年遂宁）25.如图，二次函数的图象经过点 D（0， 7 3 ），且顶点 C 的横坐标为 4，该
9
图象在 x 轴上截得的线段 AB 的长为 6.
⑴求二次函数的解析式；
⑵在该抛物线的对称轴上找一点 P，使 PA+PD 最小，求出点 P 的坐标；
⑶在抛物线上是否存在点 Q，使△QAB 与△ABC 相似？
如果存在，求出点 Q 的坐标；如果
不存在，请说明理由．
x = -1，
（2009 年重庆市江津区）如图，抛物线 y = - x 2 + bx + c 与 x 轴交与 A（1,0）,B（- 3，0）两
点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设
（1）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得△QAC
的周长最小？
若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）在
（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使△PBC 的面积最大？
，若存在，
求出点 P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.
C
B
（2009 年宁德市）如图，已知抛物线 C1：
y = a（x + 2）2 - 5 的顶点为 P，与 x 轴相交于 A、
B 两点（点 A 在点 B 的左边），点 B 的横坐标是 1．
（1）求P点坐标及a的值；（4分）
（2）如图
（1），抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称，将抛物线 C2 向右平移，平移后
（4 分）
（3）如图
（2），点 Q 是 x 轴正半轴上一点，将抛物线 C1 绕点 Q 旋转 180°后得到抛物
线 C4．抛物线 C4 的顶点为 N，与 x 轴相交于 E、F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、N、
F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点 Q 的坐标．（5 分）
A
C1y
M
C1 y
N
A
B
A
B Q
O
x
O
E F x
P
C2 C3
P
C4
图（ 图 1
图（图）
（2009 年湖北十堰市）如图①， 已知抛物线 y = ax 2 + bx + 3 （a≠0）与 x 轴交于点 A（1，
0）和点 B （－3，0），与 y 轴交于点 C．
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 ，使 CMP 为等腰三角
形？
若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3） 如图②，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最
大值，并求此时 E 点的坐标．
0）2）
（2009 年新疆乌鲁木齐市）如图9，在矩形 OABC 中，已知 A 、 C 两点的坐标分别为
A（4，、 C （0， ， D 为 OA 的中点．设点 P 是 ∠AOC 平分线上的一个动点（不与点 O 重
合）．
（1）试证明：
无论点 P 运动到何处， PC 总与 PD 相等；
（2）当点 P 运动到与点 B 的距离最小时，试确定过 O、P、D 三点的
抛物线的解析式；
y
C（0，
B
（3）设点 E 是
（2）中所确定抛物线的顶点，当点 P 运动到何处时，
△PDE 的周长最小？
求出此时点 P 的坐标和 △PDE 的周长；
P
（ 4 ） 设 点 N 是 矩 形 OABC 的 对 称 中 心 ， 是 否 存 在 点 P ， 使
∠CPN = 90°？
若存在，请直接写出点 P 的坐标．
O
D
图 9
A（4， x
（ 2009 年 枣 庄 市 ）如图，抛物线的顶点为 A（2，1），且经过原点 O，与 x 轴的另一个交
点为 B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点 ，使MOB 的面积是△AOB 面积的 3 倍；
（3）连结 OA，AB，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 ，使OBN 与△OAB 相似？
若存
在，求出 N 点的坐标；若不存在，说明理由．
y
A
O
B
x
第 24 题图
（临沂市 本小题满分 13 分）
如图：
二次函数 y=﹣x2 + ax + b 的图象与 x 轴交于 A（-
1
2
，0），B（2，0）两点，且
与 y 轴交于点 C．
（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；
（2）在 x 轴上方的抛物线上有一点 D，且 A、C、D、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，
请直接写出 D 点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点 P，使得以 A、C、B、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？
若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由．
C
AB
第 26 题图
（眉山市）如图， ABO 的 两 直 角 边
OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为
（ -3 ，0）、（0，4），抛物线 y =
2 5
3 2
（2）如图所示，设二次函数 y=ax2+x+1 图象的顶点为 B，与 y 轴的交点为 A，P 为图象上
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE 是由△ABO 沿 x 轴向右平移得到的，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C
和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）若 M 点是 CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 M 作 MN 平行于 y 轴交 CD
于点 N．设点 M 的横坐标为 t，MN 的长度为 l．求 l 与 t 之间的函数关系式，并求
l 取最大值时，点 M 的坐标．
y
BC
N
M
AODEx
盐城市本题满分 12 分）已知：
函数 y=ax2+x+1 的图象与 x 轴只有一个公共点．
（1）求这个函数关系式；
．．
的一点，若以线段 PB 为直径的圆与直线 AB 相切于点 B，求 P 点的坐标；
（3）在
（2）中，若圆与 x 轴另一交点关于直线 PB 的对称点为 M，试探索点 M 是否在抛物
线 y=ax2+x+1 上，若在抛物线上，求出 M 点的坐标；若不在，请说明理由．
y
B
A
O x
（ 绍 兴 市 ）如图,设抛物线 C1:
y = a（x + 1）2 - 5 , C2:
y = -a（x - 1）2 + 5 ,C1 与 C2 的交点为
A, B,点 A 的坐标是 （2,4） ,点 B 的横坐标是－2.
（1）求 a 的值及点 B 的坐标；
（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,
在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点Ｍ的
直线为 l ,且 l 与x轴交于点N.
① 若 l 过△DHG 的顶点 G,点 D 的坐标为
（1, 2），求点 N 的横坐标；
② 若 l 与△DHG的边DG相交,求点N的横
坐标的取值范围.
第 24 题图
（荆门市本题满分 12 分）已知：
如图一次函数 y＝
1 x＋1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交
2
于点 B；二次函数 y＝
1 x2＋bx＋c 的图象与一次函数 y＝ 1 x＋1 的图象交于 B、C 两点，
2 2
与 x 轴交于 D、E 两点且 D 点坐标为（1，0）
（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形 BDEC 的面积 S；
（3）在 x 轴上是否存在点 ，使得PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？
若存在，求出所
有的点 P，若不存在，请说明理由．
第 24 题图
（宜宾市本题满分 l2 分）
将直角边长为 6 的等腰 AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 C、
A 分别在 x、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点 A、C 及点 B（–3，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点 P 是线段 BC 上一动点，过点 P 作 AB
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