数学运算公式高级版Word格式.docx
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最多：
就是切成36的越少，段数越多。
（36*48+20）\19+（55-48）=92+7=99.所以切98刀。
&
2】不定值问题：
小明用5天时间看完了一本200页的故事书.已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第一、二两天看的页数之和，第四天看的页数是第二、三两天看的页数之和，第五天看的页数是第三、四两天看的页数之和.那么，小明第五天至少看了多少页.？
设小明第一天看了a页，第二天看了b页，则前五天看的页数依次为:
a，b，a+b，a+2b，2a+3b.
上面各个数的和是200，得到
5a+7b=200.
因为5a与200都是5的倍数，所以b是5的倍数.
因为b>
a，
所以上式只有两组解:
b=20，a=12;
b=25，a=5.
将这两组解分别代入2a+3b，得到第五天至少看了84页.
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国2007-51学校举办一次中国象棋比赛，有10名同学参加，比赛采用单循环赛制，每名同学都要与其他9名同学比赛一局。
比赛规则，每局棋胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分，比赛结束后，10名同学的得分各不相同，已知：
（1）比赛第一名与第二名都是一局都没有输过；
（2）前两名的得分总和比第三名多20分；
（3）第四名的得分与最后四名的得分和相等。
那么，排名第五名的同学的得分是（
）。
A.8分
B.9分
C.10分
D.11分
［解析］10名同学单循环比赛，共需比赛C210=45场，每人比赛9场。
每场比赛无论比赛结果如何，对比赛双方得分总贡献为2分（若双方打平的话，双方各得1分；
若有一方获胜，则胜方得2分，负方得0分），因此所有人总得分是45×
2＝90分。
根据条件
（1），知道前两名之间的比赛是平局，第一名的成绩最多是2×
8+1=17分。
因为他们得分各不相同，第二名的得分最多是16分；
根据条件
（2），第三名的得分最多是13分；
那么第四名的得分最多是12分，第五名的得分最多是11分。
根据条件（3），后四名（七至十名）的得分和最多是12分。
若第五名得分不足11分，则第五名得分最多是10分，第六名的得分最多是9分，此时所有人的得分和≤17+16+13+12+10+9+12=89＜90分，矛盾。
假设不成立，即第五名的得分恰为11分。
设第三名为a，第四名为b，第五名为c第六名为d。
10名同学单循环比赛就是每俩人干一场C210=45,所以45场共90分。
下面就是看看这个90分的分配。
2a+20+2b+c+d=90
2（a+b）+c+d=70
a+b大于等于c+d+4
3（c+d）》62
c+d》20.6666
c>
d，c=11可以确定。
因为考场上没有时间验证。
只能直接去确定值。
A、B、C、D、E五个人在一次满分为100分的考试中，得分都是大于91的整数。
如果A、B、C的平均分为95分，B、C、D的平均分为94分，A是第一名，E是第三名得96分。
则D的得分是：
（）
A.96分
B.98分
C.97分
D.99分
95*3-94*3可以得到，A-D=3可以排除B和D项。
如果D等于96那么B或C就是第二名，第5名就小于91.只能选C
例四：
五个人的体重之和是428斤,他们的体重都是整数,并且各不相同.则体重最轻的人,最重可能是（）斤
A.80
B.82
C.83
D.84
423\5=84….3抛开3，先看中间值是84的连续五个数82、83、84、85、86，最轻的提高一斤，就需要5斤来提高整体.3可以忽略掉。
例五：
现有鲜花21朵分给5人，若每个人分得的鲜花数目各不相同，则分得鲜花最多的人至少分得（）朵鲜花。
A7
B.8
C、9
D.10
21\5=4…1，展开23456看最高的，余数只能加到6上。
3】余数、倍数、约数问题：
有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。
那么，这四个自然数的和是：
A.216
B.108
C.314
D.348
先确定A的值，A是5、6、7的公倍数，其中最小公倍数是210，因为他们的和不超过400只有210符合。
B:
5X+5=210
C:
6x+6=210
D:
7X+7=210
解出来加和便得到，210+41+34+29=314
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已知三个连续自然数依次是11、9、7的倍数，并且都在500-1500之间，那么这三个数的和是？
A3129B3132C3135D3140【息戎解析】：
三个数的和一定9的倍数，“弃九法”各位数字加和看是否是9的倍数。
因为这三个数是等差数列所以11x+7z=9y*2，推出11x+9y+7z=9y*2+9y=9y*3
一个自然数,被7除余2,被8除余3,被9除余1,1000以内一共有多少个这样的自然数有多少个？
A
2
B
3
C
4
D
5
7n-5与8n-5的最小公倍数是56n-5可以化成56n+51，这个数与9n+1的最小公倍数可以写成：
504n+X,在1000内只有n=0、1符合。
所以有两个。
【这里面X是一个大于51小于504的一个正整数，我们没有必要求出这个数来】
一个自然数.被23456整除.被7除余6.被8除余4.被9除余3.这个数最少为多少？
此题考查的是中国剩余定理。
先找，7、8的最小公倍数，被9除余3；
7、9的最小公倍数，被8整出余4；
8、9的最小公倍数，被7整出余6的。
56\9=6…..2，2*6=12除以9余3,56*6符合
同理可以找到：
能被7，8整除，被9除余3的数为56×
6=336
能被8，9整除，被7除余6的数为72×
3=216
能被7，9整除，被8除余4的数为63×
4=252
804-504=300
公式就是:
504n+300最小值是300.
23456的最小公倍数是60
N=051015符合
4】浓度问题
甲杯中有浓度为17%的溶液400克，乙杯中有浓度为23%的溶液600克。
现在从甲、乙两杯中取出相同总量的溶液，把从甲杯中取出的倒入乙杯中，把从乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同。
问现在两倍溶液的浓度是多少（）
A.20%B.20.6%C.21.2%D.21.4%
两杯混合后溶液是1000，通过尾数法直接选B。
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溶液交换问题
有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重１２０克，乙杯盐水重８０克．现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中．这样两杯新盐水的含盐率相同．从每杯中倒出的盐水是多少克？
公式：
交换量=mn/（m+n）
通过公式可以直接得到
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某容器中装有盐水。
老师让小李再倒入5%的盐水800克，以配成20%的盐水。
但小李却错误地倒入了800克水。
老师发现后说，不要紧，你再将第三种盐水400克倒入容器，就可以得到20%的盐水了。
那么第三种盐水的浓度时多少？
（）
A20%
B、30%
C、40%
D、50%
拆补法解题。
因为800清水与400克溶液混合，再把它们分成800克5%的溶液和400克20%的溶液。
800*5%+400*20%=120120\400*100%=30%
有浓度为30%的溶液若干，加了一定数量的水后稀释为24%的溶液，如果再加入同样多的水后，浓度将变为多少?
设中间量24%为100克。
所以溶质为24克
原有溶液：
24\30%=80克，所以加了20克水，再加20克水溶液变成120克。
例五【十字交叉法】：
容器中有某种浓度的酒精，加入一杯水后，容器中的纯酒精含量为25%，再加入一杯纯酒精，容器中的纯酒精含量为40%。
问原来容器中有几杯酒精，浓度是多少？
100151
40=
2560m
得到：
m=4，4-1=3有三杯，
X253
25=
0X-251
可以解出X的值
4】排列组合
用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的自然数，从小到大顺序排列：
1，2，3，4，5，12，……，54321。
其中，第206个数是A.313B.12345C.325D.371解析：
p51+P52+P53+P54=205
所以选B
例二【变形题】：
其中，第226数字是A.1B.2C.3D.5
p51+P52*2+P53*3=225
第226一定是1.
五个人站成一排,甲乙站在一起最后的站法共有（
）种.
【息戎解析】:
甲乙站到一起P22，然后全排P44--捆绑法
五个人站成一排,甲乙不站在一起最后的站法共有（
）种：
三个人全排p33有四个空，p42------插孔法
三边长均为整数，且最大边长为100的三角形的个数为（）
（A）2500个（B）2550个（C）2600个（D）2650个
100以内共有100个数可以选择，以后每选择一边递减2，行程等差数列。
（100+2）*50\2=2550
将14封信投入23个邮筒，有多少种不同的投法？
每个封信有23中选择，共14封。
所以是14个23相乘23^14
例六：
8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？
首先，C83然后p33
【变形题】8本不同的书，任选3本分给3个同学，有多少种不同的分法？
C83，然后3^3。
例七：
从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）（A）140种（B）84种（C）70种（D）35种
C93-C43-C53=70
错位排列：
D1=0D2=1D3=2D4=9D5=44
例八：
五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则贴错的可能情况有几种？
息戎解析：
C53*2
例九：
12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有__
C（4,12）C（4,8）C（4,4）___种
【解析】每个路口都按次序考虑
第一个路口是C12取4
第二个路口是C8取4
第三个路口是C4取4
则结果是C12取4×
C8取4×
C4取4
可能到了这里有人会说三条不同的路不是需要P33吗其实不是这样的在我们从12人中任意抽取人数的时候，其实将这些分类情况已经包含了对不同路的情况的包含。
如果再×
P33则是重复考虑了
如果这里不考虑路口的不同即都是相同路口则情况又不一样因为我们在分配人数的时候考虑了路口的不同。
所以最后要去除这种可能情况所以在上述结果的情况下要÷
P33（涉及平均分组问题）
例十：
在一张节目表中原有8个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？
先用一个节目去插9个空位，有P（9,1）种方法；
再用另一个节目去插10个空位，有P（10,1）种方法；
用最后一个节目去插11个空位，有P（11,1）方法，由乘法原理得：
所有不同的添加方法为P（9,1）×
P（10,1）×
P（11,1）=990种
例十一：
从10双不同颜色的手套中任取3只，颜色各不相同，问有多少种取法？
C103*2^3=120*8=960先取出？
例十二：
从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。
（A）240（B）180（C）120（D）60
先取颜色六种颜色先去一种，这种就是一双，在从剩下五种颜色中取出两种来，再从这两种颜色中各取一只与完整的一双来搭配。
C61*C52*2^2=240
【变形题】从6不同颜色各2双的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。
六种颜色选一种，这一种颜色有两种选择，C61*C21
再选两种颜色C52*4^2
12*10*16=1920
例十三：
用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A．24个 B．30个 C．40个 D．60个
此题我们先做出全部没有重复数字的来，减去奇数的就是偶数的。
C41*C41*C31-C21*C31*C31=30.
首先，百位只能安排2345，先安排一个，十位安排剩下的四个，个位安排剩下的三个。
奇数：
先安排个位，3和5，剩下4个，在安排百位，百位上不能安排0.所以只能安排3个，剩下3个，取一个安排到十位上。
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例十四：
八位同学出去野营，晚上他们在沙滩上玩游戏，游戏需要这八个同学围成两个四人的圆圈，请问一共有多少种方法？
A720
B900
C1080
D1260
此题考查分组问题，分成两组就是C84\A22,再就是每个圆圈全排列A44/4，答案选D（C84\A22*A44/4*A44/4=1260D）
平均分成N组，最后数以Ann
N人圆圈全排列，最后除以n。
N枚珍珠串项链，最后除以2n。
例十五：
4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有___种
C42，把其中俩球捆到一起，放到4个盒子里面P43，C42*P43=144
例十六：
8块奶糖和另外3个不同品牌的水果糖要放到编号为1～11的盒子里面，每个盒子至少放1个，有多少种方法？
方法一：
先挑出8个空来安排八块奶糖，C118，剩下三个全排列P33.
方法二：
直接安排3种奶糖，剩下的8个自然放到剩下的盒子里。
就是P113
两种方法都得990.
例十七：
某人去ABCDE五个城市旅游，第一天去A城市，第七天到E城市。
如果他今天在某个城市，那么他第二天肯定会离开这个城市去另一个城市，那么他一共有多少种旅游行程安排？
A204B205C819D820
首先确定，从第一天开始到第七天，有6次转移，因为5个城市，因此，底数是5-1，所以是4^6=4096,4096\5=819.2,在这里我们想到“公务员精神”第一选择给别人，题目去的不是A城市，最接近819，因此选C，如果回到A城市就选820。
【变形题】：
某人去ABCDE五个城市旅游，第一天去A城市，第七天到E城市。
那么他一共有多少种旅游行程安排？
A204B3125C819D820
此题从底数入手，第二天有5种选择，所以不需要减1
某人去ABCDE五个城市旅游。
如果他今天在某个城市，那么他第二天肯定会离开这个城市去另一个城市，共旅游七天。
答案是：
5*4096。
先设定其中一个城市，共有4^6种选择。
共有5个城市。
要乘以5.
某人去ABCDE五个城市旅游，第一天去A城市，第二天到只能去CDE城市,第三天去A城市，第七天回到A城市。
3*1*4*4*4*4=256*3，从A城市出发的，768\5=153.6
第一接近给别人154不给A,153给A.
5】行程问题
甲．乙两人同时从A、B两地出发相向而行，甲到达B地后立即往回走，回到A地后，又立即向B地走去；
乙到达A地后立即往回走，回到B地后，又立即向A地走去。
如此往复，行走的速度不变，若两人第二次迎面相遇，地点距A地500米，第四次迎面相遇地点距B地700米，则A、B两地的距离是多少？
这是典型的两岸型相遇问题。
如果这个题是第一次是距A地500米，第二次距B地700米我们可以用两岸型公式得出
500*3-700=800，但是这里问的是第二次和第四次，这个公式就不实用了。
需要我们继续推导。
**条件：
甲、乙两车分别同时从A、B两地出发，各自到头即返回。
假设其m小于n，第m次相遇距A点是a千米，第n次相遇距B点式b千米，全程为s
则甲乙两车两次分别共走了2m-1和2n-1个全程，甲走了（m-1）s+a,乙走了ms-a,同样甲走了ns-b,乙走了（n-1）s+b，由于分别走的时间相同可以根据等量列等式：
（m-1）s+a\ms-a=ns-b\（n-1）s+b
化简可以得到：
S=（2n-1）a+（2m-1）b\m+n-1
同样我们来推导单岸型。
条件：
甲、乙两车分别同时从A、B两地出发，各自到头即返回
假设其m小于n，第m次相遇距A点是a千米，第n次相遇距A点式b千米，全程为s
则甲乙两车两次分别共走了2m-1和2n-1个全程，第一次甲走了（m-1）s+a,乙走了ms-a,同样甲走了（n-1）s+b,乙走了ns-b，由于分别走的时间相同
（m-1）s+a\ms-a=（n-1）s+b\ns-b
化简得到：
s=（2n-1）a–（2m-1）b\n-m
因此此题我们代入已经推导出来的公式：
7*500+3*700\2+4-1=1120
通过推导出来的公式我们还可以发现：
（2n-1）a–（2
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