高中数学 第二章 基本初等函数Ⅰ21 指数函数成长训练 新人教A版必修1Word文档格式.docx
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0且a≠1.
故此2m-1>
0且2m-1≠1,所以m>
且m≠1.
m>
且m≠1
6.若函数y=ax+b-1（a>
0且a≠1）的图象经过一、三、四象限,则一定有（ ）
A.a>
1且b<
1
B.0<
a<
0
C.0<
1且b>
D.a>
本题考查指数函数的图象.
函数y=ax+b-1（a>
0且a≠1）的图象经过第一、三、四象限,则必有a>
1;
进而可知
7.方程2x=x2的解的个数为（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
在同一坐标系下画出y=2x,y=x2的图象,图象的交点个数为解的个数,通过下图可知共有三个交点.
8.当x∈［-2,2）时,y=3-x-1的值域是（ ）
A.［-,8］
B.（-,8）
C.（,9）
D.［,9］
由y=3-x为减函数,x∈［-2,2）,可知<
3-x≤9,所以-<
3-x-1≤8.
9.指数函数①f（x）=mx;
②g（x）=nx满足不等式1>
n>
0,则它们的图象是（ ）
此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线.
由0<
m<
n<
1可知①②应为两条递减的曲线,故只可能是C或D,进而再判断①②与n和m的对应关系,此时判断的方法很多,不妨选特殊点法,令x=1,①②对应的函数值分别为m和n,由m<
n可知应选C.
走近高考
10.（经典回放）若函数y=ax+b-1（a>
0且a≠1）的图象经过第二、三、四象限,则一定有（ ）
A.0<
B.a>
函数y=ax+b-1的图象可由y=ax的图象平移而得到,所以0<
1,利用图象的平移变换可知1-b>
1,即b<
0.
11.函数f（x）=ax-b的图象如图,其中a、b为常数,则下列结论正确的是（ ）
1,b<
1,b>
1,b>
D.0<
本题考查了有关函数的变换,从单调性可知a是小于1的数,借助指数函数图象的性质恒过（0,1）点,而本题图象与y轴的交点落在（0,1）点的下方,说明原图象向左移动,可知b<
12.若函数f（x）=,则该函数在（-∞,+∞）上是（ ）
A.单调递减无最小值
B.单调递减有最小值
C.单调递增无最大值
D.单调递增有最大值
本题主要考查涉及指数函数的复合函数的单调问题,结合指数函数的单调性问题考查即可.由于2x+1在（-∞,+∞）上大于0且单调递增,所以单调递减,（-∞,+∞）是开区间,所以最小值无法取到.
A
13.方程4x+2x-2=0的解是____________.
本题为简单的指数方程问题.4x+2x-2=0（2x-1）（2x+2）=02x=1x=0.
x=0
14.函数f（x）=ax+a-x（a>
0且a≠1）,f
（1）=3,则f（0）+f
（1）+f
（2）的值为_________.
f（0）=a0+a0=2,f
（1）=a+a-1=3,
f
（2）=a2+a-2=（a+a-1）2-2=9-2=7.
∴f（0）+f
（1）+f
（2）=12.
12
15.下列命题
①2<
3<
<
;
②函数f（x）=（a>
0,a≠1）是奇函数;
③方程5x-1·
103x=8x的解为x=;
④若22x+4=5·
2x,则x2+1的值为1或5.其中正确命题的个数有（ ）
本题综合考查幂的运算,指数函数性质,方程与幂的联系,①运用指数函数性质和幂的运算法则比较幂的大小;
②结合幂的运算法则和函数的奇偶性的定义进行判断;
③运用幂的运算法则计算进行判断④运用换元法解出x的值进行判断.
∵2<
3
（2）6<
（3）623<
328<
9,
又∵
=·
3-====>
1,
又∵3<
π,∴<
.∴2<
<
.
因此①正确;
∵f（-x）==-=-f（x）,
∴函数=8x5x-1·
53x·
23x=f（x）=（a>
0,a≠1）是奇函数.
因此②也正确;
5x-1·
103x=8x5x-1·
23x=23x54x-1=14x-1=0x=.因此③也正确;
22x+4=5·
2x（2x）2-5·
2x+4=0（2x-1）（2x-4）=02x=1或2x=4x=0或x=2x2+1=1或x2+1=5.
因此④也是正确的.故选D.
16.要使函数y=1+2x+4x·
a在（-∞,1）上y>
0恒成立,求a的取值范围.
把1+2x+4x·
a>
0在（-∞,1）上恒成立问题分离参数后等价转化为a>
-（）x-（）x在（-∞,1］上恒成立,而-（）x-（）x为增函数,其最大值为-,可得a>
-.
解:
由1+2x+4x·
0在x∈（-∞,1］上恒成立,
即a>
-=-（）-（）x在（-∞,1］上恒成立.
又g（x）=-（）x-（）x在（-∞,1］上的值域为（-∞,-］,∴a>
-.
17.已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称,且f（x）=x2+2x.求函数g（x）的解析式.
此题要注意到图象之间对称变化的实质,以及解题方法要规范.
设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x0,y0）,
关于原点的对称点为P（x,y）,则
即
∵点Q（x0,y0）在函数y=f（x）的图象上,
∴-y=x2-2x,即y=-x2+2x.
故g（x）=-x2+2x.
2019-2020年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3幂函数教学设计新人教A版必修1
教学分析
幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数．学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成．因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习．本节通过实例，让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，通过研究y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝等函数的性质和图象，让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下，幂函数的共性：
当幂指数α＞0时，幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1），且在第一象限内函数单调递增；
当幂指数α＜0时，幂函数的图象都经过点（1,1），且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线．在方法上，我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习．
将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质．其中，学生在初中已经学习了y＝x，y＝x2，y＝x－1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识．现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构．学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：
指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法．因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外，应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径．
学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析．
三维目标
1．通过生活实例引出幂函数的概念，会画幂函数的图象，通过观察图象，了解幂函数图象的变化情况和性质，加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验，培养学生的概括抽象和识图能力，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣．
2．了解几个常见的幂函数的性质，通过这几个幂函数的性质，总结幂函数的性质，通过画图比较，使学生进一步体会数形结合的思想，利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望．
3．应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，培养学生观察分析归纳能力，了解类比法在研究问题中的作用，渗透辩证唯物主义观点和方法论，培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力．
重点难点
教学重点：
从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质．
教学难点：
根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小．
课时安排
1课时
导入新课
思路1
1．如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？
根据函数的定义可知，这里p是w的函数．
2．如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数．
3．如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V＝a3，这里V是a的函数．
4．如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长a＝，这里a是S的函数．
5．如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的速度v＝t－1km/s，这里v是t的函数．
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？
（右边指数式，且底数都是变量）．
（适当引导：
从自变量所处的位置这个角度）（引入新课，书写课题：
幂函数）．
思路2．我们前面学习了三类具体的初等函数：
二次函数、指数函数和对数函数，这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数，教师板书课题：
幂函数．
推进新课
提出问题
（1）给出下列函数：
y＝x，y＝，y＝x2，y＝x－1，y＝x3，考察这些解析式的特点，总结出来，是否为指数函数？
（2）根据
（1），如果让我们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？
请给出一个一般性的结论．
（3）我们前面学习指对数函数的性质时，用了什么样的思路？
研究幂函数的性质呢？
（4）画出y＝x，y＝，y＝x2，y＝x－1，y＝x3五个函数图象，完成下列表格.
（5）通过对以上五个函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？
哪个象限一定没有幂函数的图象？
哪个象限可能有幂函数的图象，这时可以通过什么途径来判断？
（6）通过对以上五个函数图象的观察和填表，你能类比出一般的幂函数的性质吗？
活动：
考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线，教学过程中同时展开，学生相互讨论，必要时，教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，学生作图，教师巡视，学生小组讨论，得到结论，必要时，教师利用几何画板演示．
讨论结果：
（1）通过观察发现这些函数的变量在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们的变量都在底数位置上，不符合指数函数的定义，所以都不是指数函数．
（2）由于函数的指数是一个常数，底数是变量，类似于我们学过的幂的形式，因此我们称这种类型的函数为幂函数，如果我们用字母α来表示函数的指数，就能得到一般的式子，即幂函数的定义：
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
如y＝x2，y＝，y＝x3等都是幂函数，幂函数与指数函数、对数函数一样，都是基本初等函数．
（3）我们研究指数、对数函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般；
一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；
有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，研究幂函数的性质也应如此．
（4）学生用描点法，也可应用函数的性质，如奇偶性、定义域等，画出函数图象．利用描点法，在同一坐标系中画出函数y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的图象．
列表：
x
…
－3
－2
－1
2
3
y＝x
y＝
1.41
1.73
y＝x2
9
4
y＝x3
－27
－8
8
27
y＝x－1
－
描点、连线．画出以上五个函数的图象如图1.
图1
让学生通过观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质．
通过观察图象，完成表格.
（5）第一象限一定有幂函数的图象；
第四象限一定没有幂函数的图象；
而第二、三象限可能有，也可能没有图象，这时可以通过幂函数的定义域和奇偶性来判断．
（6）幂函数y＝xα的性质．
①所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图象都过点（1,1）（原因：
1x＝1）；
②当α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，＋∞）上是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）．
特别地，当α＞1时，x∈（0,1），y＝xα的图象都在y＝x图象的下方，形状向下凸，α越大，下凸的程度越大．
当0＜α＜1时，x∈（0,1），y＝xα的图象都在y＝x的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大．
③当α＜0时，幂函数的图象在区间（0，＋∞）上是减函数．
例1判断下列函数哪些是幂函数．
①y＝0.2x；
②y＝x－3；
③y＝x－2；
④y＝.
学生独立思考，讨论回答，教师巡视引导，及时评价学生的回答．根据幂函数的定义判别，形如y＝xα的函数称为幂函数，变量x的系数为1，指数α是一个常数，严格按这个标准来判断．
解：
①y＝0.2x的底数是0.2，因此不是幂函数；
②y＝x－3的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数；
③y＝x－2的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数；
④y＝的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数．
点评：
判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.
变式训练
判别下列函数中有几个幂函数？
①；
②y＝2x2；
③；
④y＝x2＋x；
⑤y＝－x3.
①③的底数是变量，指数是常数，因此①③是幂函数；
②的变量x2的系数为2，因此不是幂函数；
④的变量是和的形式，因此也不是幂函数；
⑤的变量x3的系数为－1，因此不是幂函数.
例2求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性．
（1）；
（2）；
（3）y＝x－2.
学生思考，小组讨论，教师引导，学生展示思维过程，教师评价．根据你的学习经历，回顾求一个函数的定义域的方法，判断函数奇偶性、单调性的方法．判断函数奇偶性、单调性的方法，一般用定义法．解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑：
列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域．
（1）要使函数有意义，只需y＝
有意义，即x∈R.所以函数的定义域是x∈R.又f（－x）＝f（x），所以函数是偶函数，它在（－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞）上是增函数．
（2）要使函数有意义，只需y＝
有意义，即x∈R＋，所以函数的定义域是R＋，由于函数的定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，它在（0，＋∞）上是减函数．
（3）要使函数y＝x－2有意义，只需y＝
有意义，即x≠0，所以函数y＝x－2的定义域是x≠0，又f（－x）＝f（x），所以函数y＝x－2是偶函数，它在（－∞，0）上是增函数，在（0，＋∞）上是减函数．
在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；
当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域，求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组．
例3证明幂函数f（x）＝
在[0，＋∞）上是增函数．
学生先思考或讨论，再回答，教师根据实际，可以提示引导．证明函数的单调性一般用定义法，有时利用复合函数的单调性．
证明：
任取x1，x2∈[0，＋∞），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝
＝
，因为x1－x2＜0，
＋
＞0，所以
＜0.所以f（x1）＜f（x2），即f（x）＝
证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写，利用作商的方法比较大小，f（x1）与f（x2）的符号要一致．
思路2
例1函数y＝的定义域是（ ）
A．{x|x≠0，或x≠2}B．（－∞，0）∪（2，＋∞）
C．（－∞，0]∪[2，＋∞）D．（0,2）
解析：
函数y＝化为y＝
，要使函数有意义需x2－2x＞0，即x＞2或x＜0，所以函数的定义域为{x|x＞2，或x＜0}．
答案：
B
函数y＝的值域是（ ）
A．[0，＋∞）B．（0,1]C．（0,1）D．[0,1]
学生独立解题，先思考，然后上黑板板演，教师巡视指导．函数的值域要根据函数的定义域来求．函数可化为根式形式，偶次方根号的被开方数大于零，转化为等式或不等式来解，可得定义域，这是复合函数求值域问题，利用换元法．
分析：
令t＝1－x2，则y＝
，
因为函数的定义域是{x|－1≤x≤1}，所以0≤t≤1.所以0≤y≤1.
D
注意换元法在解题中的应用.
例2比较下列各组数的大小：
（1）1.10.1,1.20.1；
（2）0.24－0.2,0.25－0.2；
（3）0.20.3,0.30.3,0.30.2.
学生先思考或回忆，然后讨论交流，教师适时提示点拨．比较数的大小，常借助于函数的单调性．对
（1）
（2）可直接利用幂函数的单调性．对（3）只利用幂函数的单调性是不够的，还要利用指数函数的单调性，事实上，这里0.30.3可作为中间量．
（1）由于要比较的数的指数相同，所以利用幂函数的单调性，考察函数y＝x0.1的单调性，在第一象限内函数单调递增，又因为1.1＜1.2，所以1.10.1＜1.20.1.
（2）由于要比较的数的指数相同，所以利用幂函数的单调性，考察函数y＝x－0.2的单调性，在第一象限内函数单调递减，又因为0.24＜0.25，所以0.24－0.2＞0.25－0.2.
（3）首先比较指数相同的两个数的大小，考察函数y＝x0.3的单调性，在第一象限内函数单调递增，又因为0.2＜0.3，所以0.20.3＜0.30.3.
再比较同底数的两个数的大小，考察函数y＝0.3x的单调性，在定义域内函数单调递减，又因为0.2＜0.3，所以0.30.3＜0.30.2.所以0.20.3＜0.30.3＜0.30.2.
另外，本题还有图象法，计算结果等方法，留作同学们自己完成．
指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；
底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性．
1．下列函数中，是幂函数的是（ ）
A．y＝2xB．y＝2x3C．y＝
D．y＝2x
2．下列结论正确的是（ ）
A．幂函数的图象一定过原点
B．当α＜0时，幂函数y＝xα是减函数
C．当α＞0时，幂函数y＝xα是增函数
D．函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数
3．下列函数中，在（－∞，0）是增函数的是（ ）
A．y＝x3B．y＝x2C．y＝
D．
4．已知某幂函数的图象经过点（2，
），则这个函数的解析式为__________．
1．C 2．D 3．A 4．
分别在同一坐标系中作出下列函数的图象，通过图象说明它们之间的关系．
①y＝x－1，y＝x－2，y＝x－3；
②，；
③y＝x，y＝x2，y＝x3；
④，.
学生思考或交流，探讨作图的方法，教师及时提示，必要时，利用几何画板演示．
利用描点法，在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图2、图3，图4、图5.
图2图3
图4图5
①观察图2得到：
函数y＝x－1、y＝x－2、y＝x－3的图象都过点（1,1），且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间（0，＋∞）上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴，指数越小，向右无限接近x轴的图象在下方，向上离y轴越远．
②观察图3得到：
函数、的图象都过点（1,1），且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间（0，＋∞）上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴，指数越小，向右无限接近x轴的图象在下方，向上离y轴越远．
③观察图4得到：
函数y＝x、y＝x2、y＝x3的图象过点（1,1）、（0,0），且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞）上是单调增函数，指数越大图象下凸越大，从第一象限来看，图象向上离y轴近，向下离x轴近．
④观察图5得到：
函数、的图象过点（1,1）、（0,0），且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞）上是单调增函数，指数越小图象上凸越大，从第一象限来看，图象在点（1,1）的左边离y轴近，在点（1,1）的右边离x轴近．
根据上述规律可以判断函数图象的分布情况．
1．幂函数的概念．
2．幂函数的性质．
3．幂函数的性质的应用．
课本习题2.3 1,2,3.
幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数，课本内容较少，但高考内容不少，应适当引申，所以设计了一些课本上没有的题目类型，以扩展同学们的视野，同时由于作图的内容较多，建议抓住关键点作图，要会熟练地运用计算机或计算器作图，强化对知识的理解．
历史上数学计算方面的三大发明
你知道数学计算方面的三大发明吗？
这就是阿拉伯数字、十进制和对数．
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