中考数学探究问题例题详解Word文档下载推荐.docx

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，从而得到∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PD′C=30°

，然后利用“角边角”证明△BDD′与△CPD′全等．

解答：

（1）证明：

∵△ABD和△ACE都是等边三角形．

∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°

，

∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，

即∠BAE=∠DAC，

在△BAE和△DAC中，

∴△BAE≌△DAC（SAS），

∴BE=CD；

（2）解：

①∵∠BAD=∠CAE=60°

∴∠DAE=180°

-60°

×

2=60°

∵边AD′落在AE上，

∴旋转角=∠DAE=60°

；

②当AC=2AB时，△BDD′与△CPD′全等．

理由如下：

由旋转可知，AB′与AD重合，

∴AB=BD=DD′=AD′，

∴四边形ABDD′是菱形，

∴∠ABD′=∠DBD′=

∠ABD=

60°

=30°

，DP∥BC，

∵△ACE是等边三角形，

∴AC=AE，∠ACE=60°

∵AC=2AB，

∴AE=2AD′，

∴∠PCD′=∠ACD′=

∠ACE=

又∵DP∥BC，

∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°

在△BDD′与△CPD′中，

∴△BDD′≌△CPD′（ASA）．

故答案为：

60．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及旋转的性质，综合性较强，但难度不大，熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定是姐提到过．

19．（2013•衡阳）如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4．

（1）试说明AE2+CF2的值是一个常数；

（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．

19．解：

（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°

，AB=BC，

又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，

∴∠ABE=∠BCF，

∵在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴AE=BF，

∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数；

（2）设AP=x，则PD=4-x，

由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，

∴△PDM∽△BAP，

∴

即

∴DM=

当x=2时，DM有最大值为1．

20．（2013•宁夏）在▱ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠A=60°

（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．

（2）试探究当△CPE≌△CPB时，▱ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？

20．解：

（1）如图，延长PE交CD的延长线于F，

设AP=x，△CPE的面积为y，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB=DC=6，AD=BC=8，

∵Rt△APE，∠A=60°

∴∠PEA=30°

∴AE=2x，PE=

x，

在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°

，DE=AD-AE=8-2x，

∴DF=

DE=4-x，

∵AB∥CD，PF⊥AB，

∴PF⊥CD，

∴S△CPE=

PE•CF，

即y=

x×

（10-x）=-

x2+5

配方得：

y=-

（x-5）2+

当x=5时，y有最大值

即AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是

（2）当△CPE≌△CPB时，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°

∴∠CED=180°

-∠AEP-∠PEC=30°

∵∠ADC=120°

∴∠ECD=∠CED=180°

-120°

-30°

∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形，

过D作DM⊥CE于M，则CM=

CE，

在Rt△CMD中，∠ECD=30°

∴cos30°

=

∴CM=

CD，

∴CE=

∵BC=CE，AB=CD，

∴BC=

AB，

则当△CPE≌△CPB时，BC与AB满足的关系为BC=

AB．

22．（2013•德阳）如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．

（1）求证：

PC=PG；

（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；

（3）在满足

（2）的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为

时，求弦ED的长．

22．

（1）证明：

连结OC，如图，

∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC，

∴∠OCG+∠PCG=90°

∵ED⊥AB，

∴∠B+∠BGF=90°

∵OB=OC，

∴∠B=∠OCG，

∴∠PCG=∠BGF，

而∠BGF=∠PGC，

∴∠PGC=∠PCG，

∴PC=PG；

CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2=BO•BF．理由如下：

连结OG，如图，

∵点G是BC的中点，

∴OG⊥BC，BG=CG，

∴∠OGB=90°

∵∠OBG=∠GBF，

∴Rt△BOG∽Rt△BGF，

∴BG：

BF=BO：

BG，

∴BG2=BO•BF，

∴CG2=BO•BF；

（3）解：

连结OE，如图，

由

（2）得BG⊥BC，

∴OG=

在Rt△OBG中，OB=5，

∴BG=

=2

由

（2）得BG2=BO•BF，

∴BF=

=4，

∴OF=1，

在Rt△OEF中，EF=

∵AB⊥ED，

∴EF=DF，

∴DE=2EF=4

．

23．（2013•泉州）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（-6，0），过点E（-2，0）作EF∥AB，交BO于F；

（1）求EF的长；

（2）过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G；

①根据上述语句，在图1上画出图形，并证明

②过点G作直线GD∥AB，交x轴于点D，以圆O为圆心，OH长为半径在x轴上方作半圆（包括直径两端点），使它与GD有公共点P．如图2所示，当直线l绕点F旋转时，点P也随之运动，证明：

，并通过操作、观察，直接写出BG长度的取值范围（不必说理）；

（3）在

（2）中，若点M（2，

），探索2PO+PM的最小值．

23．

（1）解：

解法一：

在正方形OABC中，

∠FOE=∠BOA=

∠COA=45°

∵EF∥AB，

∴∠FEO=∠BAO=90°

∴∠EFO=∠FOE=45°

又E（-2，0），

∴EF=EO=2．

解法二：

∵A（-6，0），C（0，6），E（-2，0），

∴OA=AB=6，EO=2，

，即

∴EF=6×

=2．

（2）①画图，如答图1所示：

证明：

∵四边形OABC是正方形，

∴OH∥BC，

∴△OFH∽△BFG，

②证明：

∵半圆与GD交于点P，

∴OP=OH．

由①得：

又EO=2，EA=OA-EO=6-2=4，

通过操作、观察可得，4≤BG≤12．

由

（2）可得：

∴2OP+PM=BG+PM．

如答图2所示，过点M作直线MN⊥AB于点N，交GD于点K，则四边形BNKG为矩形，

∴NK=BG．

∴2OP+PM=BG+PM=NK+PM≥NK+KM，

当点P与点K重合，即当点P在直线MN上时，等号成立．

又∵NK+KM≥MN=8，

当点K在线段MN上时，等号成立．

∴当点P在线段MN上时，2OP+PM的值最小，最小值为8．

24．（2013•梅州）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：

探究一：

将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．

（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；

（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．

探究二：

如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？

若存在，求出它的最小值；

若不存在，请说明理由．

24．解：

（1）依题意画出图形，如答图1所示：

由题意，得∠CFB=60°

，FP为角平分线，则∠CFP=30°

∴CF=BC•sin30°

=3×

∴CP=CF•tan∠CFP=

=1．

过点A作AG⊥BC于点G，则AG=

BC=

∴PG=CG-CP=

-1=

在Rt△APG中，由勾股定理得：

AP=

（2）由

（1）可知，FC=

如答图2所示，以点A为圆心，以FC=

长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1=AP2=

过点A过AG⊥BC于点G，则AG=

在Rt△AGP1中，cos∠P1AG=

∴∠P1AG=30°

∴∠P1AB=45°

=15°

同理求得，∠P2AG=30°

，∠P2AB=45°

+30°

=75°

∴∠PAB的度数为15°

或75°

△AMN的周长存在有最小值．

如答图3所示，连接AD．

∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，

∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°

∵∠EDF=90°

，∠ADC=90°

∴∠MDA=∠NDC．

∵在△AMD与△CND中，

∴△AMD≌△CND（ASA）．

∴AM=CN．

设AM=x，则CN=x，AN=AC-CN=

BC-CN=

-x．

在Rt△AMN中，由勾股定理得：

MN=

△AMN的周长为：

AM+AN+MN=

+

当x=

时，有最小值，最小值为

∴△AMN周长的最小值为

本题是几何综合题，考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形、二次函数最值等知识点．难点在于第（3）问，由发现并证明△AMD≌△CND取得解题的突破点，再利用勾股定理和二次函数的性质求出最小值．