高三高考数学国步分项分类题及析答案五七Word格式.docx

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A.B．2

C.D．2

[解析]　由条件知m＋2＝4，∴m＝2，

∴离心率e＝＝.

（理）（2011·

浙江金华十校模拟）若椭圆＋＝1（a>

b>

0）的离心率为，则双曲线－＝1的离心率为（　　）

A.B.

C.D.

[解析]　因为椭圆的离心率e＝，即＝，也即＝，所以＝，则1＋＝，即＝，则双曲线离心率e′＝＝，故选B.

4．（文）（2011·

山东理，8）已知双曲线－＝1（a>

0，b>

0）的两条渐近线均和圆C：

x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1D.－＝1

[解析]　依题意：

⊙C方程为（x－3）2＋y2＝4，∴圆心C（3,0），半径r＝2，∴双曲线的右焦点F2为（3,0），即c＝3.又双曲线的渐近线方程为y＝±

x，即bx±

ay＝0，

∴＝2，即b＝2，∴a2＝9－4＝5，故选A.

（理）过双曲线2x2－y2－2＝0的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线有（　　）

A．4条　　　B．3条　　　C．2条　　　D．1条

[解析]　过双曲线右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若l⊥x轴，则|AB|＝4；

若l经过顶点，此时|AB|＝2，因此当l与双曲线两支各交于一点A、B时，满足|AB|＝4的直线有两条，故选B.

5．（文）若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（　　）

[答案]　D

[解析]　直线与双曲线右支相切时，k＝－，直线y＝kx＋2过定点（0,2），当k＝－1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y＝－x＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，

∴－<

－1.

南昌一模）设F为双曲线－＝1的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M、N，则的值为（　　）

[解析]　对点A特殊化，不妨设点A为双曲线的右焦点，依题意得F（－5,0），A（5,0），|FN|－|NA|＝8，|FM|＝|NA|，所以|FN|－|FM|＝8，＝＝，选D.

6．（2011·

新泰一中模拟）设P是双曲线－＝1（a>

0）左支上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，则以|PF2|为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是（　　）

A．内切B．外切

C．内切或外切D．不相切

[解析]　取PF2的中点M，则2|OM|＝|F1P|，且O、M为两圆圆心，OM为圆心距．

由双曲线定义可知|PF2|－|PF1|＝2a，

即2|MF2|－2|OM|＝2a，∴|OM|＝|MF2|－a，

即圆心距等于两圆半径之差，则两圆内切．

7．（2011·

辽宁大连模拟）若双曲线－＝1（a>

0）的一条渐近线方程为3x－2y＝0，则a的值为________．

[答案]　2

[解析]　∵焦点在x轴上，∴渐近线方程为y＝±

x，

又一条渐近线方程为y＝x，∴a＝2.

8．（文）（2011·

辽宁理，13）已知点（2,3）在双曲线C：

－＝1（a>

0）上，C的焦距为4，则它的离心率为________．

[解析]　由条件知，∴

∴a＝1，c＝2，∴e＝＝2.

长沙二模）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________．

[答案]　－＝1

[解析]　由已知得在椭圆中a＝13，c＝5，曲线C2为双曲线，由此知道在双曲线中a＝4，c＝5，故双曲线中b＝3，双曲线方程为－＝1.

9．（2011·

宁波二模）设双曲线C：

0）的右焦点为F，O为坐标原点．若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的渐近线y＝x交于点A（不同于O点），则△OAF的面积为________．

[答案]　ab

[解析]　因为右焦点F（c,0）到渐近线y＝x，即bx－ay＝0的距离为＝b，所以|OA|＝2a，故△OAF的面积为×

2a×

b＝ab.

10．（文）设双曲线C：

－y2＝1（a>

0）与直线l：

x＋y＝1相交于两个不同的点A，B.

（1）求双曲线C的离心率e的取值范围；

（2）设直线l与y轴的交点为P，若＝，求a的值．

[解析]　

（1）将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1中得（1－a2）x2＋2a2x－2a2＝0①

由题设条件知，

解得0<

a<

且a≠1，

又双曲线的离心率e＝＝，

∵0<

且a≠1，∴e>

且e≠.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（0,1）．

∵＝，

∴（x1，y1－1）＝（x2，y2－1）．∴x1＝x2，

∵x1、x2是方程①的两根，且1－a2≠0，

∴x2＝－，x＝－，

消去x2得，－＝，

∵a>

0，∴a＝.

（理）（2012·

湖南师大附中第七次月考）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切．过点P（－4,0）作斜率为的直线l，交双曲线左支于A，B两点，交y轴于点C，且满足|PA|·

|PB|＝|PC|2.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）设点M为双曲线上一动点，点N为圆x2＋（y－2）2＝上一动点，求|MN|的取值范围．

[解析]　

（1）设双曲线的渐近线方程为y＝kx，

因为渐近线与圆（x－5）2＋y2＝5相切，

则＝，即k＝±

，

所以双曲线的渐近线方程为y＝±

x.

设双曲线方程为x2－4y2＝m，将y＝（x＋4）代入双曲线方程中整理得，3x2＋56x＋112＋4m＝0.

所以xA＋xB＝－，xAxB＝.

因为|PA|·

|PB|＝|PC|2，点P、A、B、C共线，且点P在线段AB上，则（xP－xA）（xB－xP）＝（xP－xC）2，即（xB＋4）（－4－xA）＝16.

所以4（xA＋xB）＋xAxB＋32＝0.

于是4·

（－）＋＋32＝0，解得m＝4.

故双曲线方程是x2－4y2＝4，即－y2＝1.

（2）设点M（x，y），圆x2＋（y－2）2＝的圆心为D，则x2－4y2＝4，点D（0,2）．

所以|MD|2＝x2＋（y－2）2＝4y2＋4＋（y－2）2

＝5y2－4y＋8＝5（y－）2＋≥.

所以|MD|≥，

从而|MN|≥|MD|－≥.

故|MN|的取值范围是[，＋∞）.

能力拓展提升

11.（文）（2011·

皖南八校联考）已知抛物线x2＝4y的准线过双曲线－y2＝－1的一个焦点，则双曲线的离心率为（　　）

[答案]　C

[解析]　易知抛物线的焦点坐标为（0，），其准线方程为y＝－，∵双曲线－y2＝－1的焦点坐标为（0，±

），

∴m2＋1＝3＝c2，∴c＝，

∴双曲线的离心率为e＝＝.

山东潍坊一中期末）已知抛物线y2＝2px（p>

0）与双曲线－＝1有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（　　）

A.B.＋1

C.＋1D.

[解析]　由AF⊥x轴知点A坐标为，代入双曲线方程中得，－＝1，∵双曲线与抛物线焦点相同，

∴c＝，即p＝2c，

又b2＝c2－a2，∴－＝1，

由e＝代入整理得，e4－6e2＋1＝0，

∵e>

1，∴e2＝3＋2，∴e＝＋1.

12．（文）（2011·

浙江文，9）已知椭圆C1：

＋＝1（a>

0）与双曲线C2：

x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则（　　）

A．a2＝B．a2＝13

C．b2＝D．b2＝2

[解析]　

由已知双曲线渐近线为y＝±

2x.圆方程为x2＋y2＝a2，则|AB|＝2a.不妨取y＝2x与椭圆交于P、Q两点，且P在x轴上方，则由已知|PQ|＝|AB|＝，

∴|OP|＝.则点P坐标为（，），

又∵点P在椭圆上，∴＋＝1.①

又∵a2－b2＝5，∴b2＝a2－5.②，解①②得

故选C.

江西南昌调研）设圆C的圆心在双曲线－＝1（a>

0）的右焦点上，且与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线l：

x－y＝0截得的弦长等于2，则a＝（　　）

[解析]　由条件知，圆心C（，0），C到渐近线y＝x的距离为d＝＝为⊙C的半径，又截得弦长为2，∴圆心C到直线l：

x－y＝0的距离＝1，∴a2＝2，∵a>

13．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx－y＝0，若m为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值，则使得双曲线的离心率大于3的概率是________．

[答案]　

[解析]　由题意知双曲线方程可设为m2x2－y2＝1，从而e＝>

3⇒m>

2，故所求概率是，故填.

14．（2012·

辽宁文，15）已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．

[解析]　本题考查了双曲线的概念．

设|PF1|＝m，|PF2|＝n，根据双曲线的定义及已知条件可得|m－n|＝2a＝2，m2＋n2＝4c2＝8，∴2mn＝4，

∴（|PF1|＋|PF2|）2＝（m＋n）2＝（m－n）2＋4mn＝12，

∴|PF1|＋|PF2|＝2.

[点评]　充分利用PF1⊥PF2,将||PF1|－|PF2||＝2a，转化到|PF1|＋|PF2|是解决本题的关键，也可以设|PF2|＝x，利用定义及PF1⊥PF2建立x的方程求解．

15．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，－）．

（1）求双曲线方程；

（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：

·

＝0；

（3）在

（2）中求△F1MF2的面积．

[解析]　

（1）因为e＝，

所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ，

因为双曲线过点（4，－），

所以16－10＝λ，即λ＝6.

所以双曲线方程为x2－y2＝6.

（2）证明：

由

（1）可知，双曲线中a＝b＝，

所以c＝2.

所以F1（－2，0），F2（2，0）．

所以kMF1＝，kMF2＝，

kMF1·

kMF2＝＝－.

因为点（3，m）在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2＝3.

故kMF1·

kMF2＝－1，所以MF1⊥MF2.

所以·

＝0.

（3）△F1MF2的底边|F1F2|＝4，

△F1MF2的高h＝|m|＝，所以S△F1MF2＝6.

16．（文）双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线．

（1）求双曲线C的方程；

（2）过点P（0,4）的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当＝λ1＝λ2，且λ1＋λ2＝－时，求Q点的坐标．

[解析]　

（1）设双曲线的方程为－＝1.

由椭圆＋＝1，求得两焦点为（－2,0），（2,0），

∴对于双曲线C：

c＝2.

又y＝x为双曲线C的一条渐近线，

∴＝，解得a2＝1，b2＝3.

∴双曲线C的方程为x2－＝1.

（2）如图所示，由题意知，直线l的斜率k存在且不等于零．

设l的方程为y＝kx＋4，A（x1，y1），B（x2，y2），则

Q（－，0）．

∵＝λ1，∴（－，－4）＝λ1（x1＋，y1）．

∴即

∵A（x1，y1）在双曲线C上，

∴（）2－－1＝0.

∴16＋32λ1＋16λ－k2－k2λ＝0.

∴（16－k2）λ＋32λ1＋16－k2＝0.

同理有（16－k2）λ＋32λ2＋16－k2＝0.

若16－k2＝0，则直线l过顶点，不合题意．

∴16－k2≠0.

∴λ1、λ2是二次方程（16－k2）x2＋32x＋16－k2＝0的两根．∴λ1＋λ2＝＝－.

∴k2＝4.此时Δ>

0，∴k＝±

2.

∴所求点Q的坐标为（±

2,0）．

临沂模拟）已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．

（1）求双曲线C2的方程；

（2）若直线l：

y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·

>

2（其中O为原点），求k的取值范围．

[解析]　

（1）设双曲线C2的方程为－＝1，

则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，

得b2＝1，故C2的方程为－y2＝1.

（2）将y＝kx＋代入－y2＝1中得，

（1－3k2）x2－6kx－9＝0.

由直线l与双曲线交于不同的两点得

∴k2≠且k2<

1①

设A（xA，yA），B（xB，yB），

则xA＋xB＝，xAxB＝

由·

2得，xAxB＋yAyB>

2，

xAxB＋yAyB＝xAxB＋（kxA＋）（kxB＋）

＝（k2＋1）xAxB＋k（xA＋xB）＋2

＝（k2＋1）·

＋k·

＋2＝

于是>

2，即>

解此不等式得<

k2<

3②

由①②得<

1，∴<

1或－1<

－.

故k的取值范围为∪.

1．（2012·

河南郑口中学模拟）已知F为双曲线－＝1（a>

0）的右焦点，点P为双曲线右支上任意一点，则以线段PF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的位置关系是（　　）

A．相离B．相切

C．相交D．不确定

[解析]　设双曲线左焦点为F1，PF的中点为C，则由双曲线的定义知，|PF1|－|PF|＝2a，∵C、O分别为PF、F1F的中点，∴|PF1|＝2|CO|，|PF|＝2|PC|，

∴|CO|－|PC|＝a，即|PC|＋a＝|CO|，∴两圆外切．

2．（2012·

河南新乡、平顶山、许昌调研）焦点在x轴上，中心在原点的双曲线的渐近线方程为y＝±

x，则双曲线的离心率为（　　）

A.B．5

[解析]　由题意得＝，∴＝，∴＝，

∴e2＝，∵e>

1，∴e＝.

3．（2012·

浙江文，8）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（　　）

A．3B．2

[解析]　本题考查了椭圆与双曲线中离心率e的求法．设椭圆长轴长为2a，则双曲线实半轴长为＝，

因为椭圆与双曲线有公共焦点，

所以离心率的比值＝＝2.

4．若椭圆＋＝1（m>

n>

0）和双曲线－＝1（a>

0）有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·

|PF2|的值为（　　）

A．m－aB.（m－a）

C．m2－a2D.（m2－a2）

[解析]　（|PF1|＋|PF2|）2＝4m2，（|PF1|－|PF2|）2＝4a2，

∴|PF1|·

|PF2|＝m2－a2.∴选C.

5．（2011·

新课标全国理，7）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（　　）

C．2D．3

|AB|＝，

∴＝2·

2a，即＝2，∴e＝＝，选B.

6．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为（　　）

A．x＝±

yB．y＝±

x

C．x＝±

yD．y＝±

[解析]　由题意c2＝3m2－5n2＝2m2＋3n2，

∴m2＝8n2，

∴双曲线渐近线的斜率k＝±

＝±

.

方程为y＝±

浙江杭州月考）双曲线x2－＝1的右焦点到双曲线一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为________．

[解析]　双曲线x2－＝1的右焦点F（c,0）到渐近线bx＋y＝0的距离：

＝b＝2，又a＝1.

∴c2＝a2＋b2＝5，c＝.∴双曲线的离心率e＝＝.

10．（2011·

北京海淀期末）如图，已知|AB|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为A、B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1,2,3，…，n，….利用这两组同心圆可以画出以A，B为焦点的双曲线，若其中经过点M、N、P的双曲线的离心率分别记为eM、eN、eP，则它们的大小关系是________（用“<

”连接）．

[答案]　eM<

eP<

eN

[解析]　由图知|AB|＝10，经过M，N，P的双曲线的半焦距均为5，由|MB|－|MA|＝7知过点M的双曲线实半轴长为，同理可知过N，P的双曲线的实半轴长分别为1,2，因此可知eN>

eP>

eM.