高三高考数学国步分项分类题及析答案五七Word格式.docx
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A.B.2
C.D.2
[解析] 由条件知m+2=4,∴m=2,
∴离心率e==.
(理)(2011·
浙江金华十校模拟)若椭圆+=1(a>
b>
0)的离心率为,则双曲线-=1的离心率为( )
A.B.
C.D.
[解析] 因为椭圆的离心率e=,即=,也即=,所以=,则1+=,即=,则双曲线离心率e′==,故选B.
4.(文)(2011·
山东理,8)已知双曲线-=1(a>
0,b>
0)的两条渐近线均和圆C:
x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( )
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
[解析] 依题意:
⊙C方程为(x-3)2+y2=4,∴圆心C(3,0),半径r=2,∴双曲线的右焦点F2为(3,0),即c=3.又双曲线的渐近线方程为y=±
x,即bx±
ay=0,
∴=2,即b=2,∴a2=9-4=5,故选A.
(理)过双曲线2x2-y2-2=0的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若|AB|=4,则这样的直线有( )
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
[解析] 过双曲线右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若l⊥x轴,则|AB|=4;
若l经过顶点,此时|AB|=2,因此当l与双曲线两支各交于一点A、B时,满足|AB|=4的直线有两条,故选B.
5.(文)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是( )
[答案] D
[解析] 直线与双曲线右支相切时,k=-,直线y=kx+2过定点(0,2),当k=-1时,直线与双曲线渐近线平行,顺时针旋转直线y=-x+2时,直线与双曲线右支有两个交点,
∴-<
-1.
南昌一模)设F为双曲线-=1的左焦点,在x轴上F点的右侧有一点A,以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M、N,则的值为( )
[解析] 对点A特殊化,不妨设点A为双曲线的右焦点,依题意得F(-5,0),A(5,0),|FN|-|NA|=8,|FM|=|NA|,所以|FN|-|FM|=8,==,选D.
6.(2011·
新泰一中模拟)设P是双曲线-=1(a>
0)左支上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,则以|PF2|为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是( )
A.内切B.外切
C.内切或外切D.不相切
[解析] 取PF2的中点M,则2|OM|=|F1P|,且O、M为两圆圆心,OM为圆心距.
由双曲线定义可知|PF2|-|PF1|=2a,
即2|MF2|-2|OM|=2a,∴|OM|=|MF2|-a,
即圆心距等于两圆半径之差,则两圆内切.
7.(2011·
辽宁大连模拟)若双曲线-=1(a>
0)的一条渐近线方程为3x-2y=0,则a的值为________.
[答案] 2
[解析] ∵焦点在x轴上,∴渐近线方程为y=±
x,
又一条渐近线方程为y=x,∴a=2.
8.(文)(2011·
辽宁理,13)已知点(2,3)在双曲线C:
-=1(a>
0)上,C的焦距为4,则它的离心率为________.
[解析] 由条件知,∴
∴a=1,c=2,∴e==2.
长沙二模)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为________.
[答案] -=1
[解析] 由已知得在椭圆中a=13,c=5,曲线C2为双曲线,由此知道在双曲线中a=4,c=5,故双曲线中b=3,双曲线方程为-=1.
9.(2011·
宁波二模)设双曲线C:
0)的右焦点为F,O为坐标原点.若以F为圆心,FO为半径的圆与双曲线C的渐近线y=x交于点A(不同于O点),则△OAF的面积为________.
[答案] ab
[解析] 因为右焦点F(c,0)到渐近线y=x,即bx-ay=0的距离为=b,所以|OA|=2a,故△OAF的面积为×
2a×
b=ab.
10.(文)设双曲线C:
-y2=1(a>
0)与直线l:
x+y=1相交于两个不同的点A,B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围;
(2)设直线l与y轴的交点为P,若=,求a的值.
[解析]
(1)将y=-x+1代入双曲线-y2=1中得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0①
由题设条件知,
解得0<
a<
且a≠1,
又双曲线的离心率e==,
∵0<
且a≠1,∴e>
且e≠.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1).
∵=,
∴(x1,y1-1)=(x2,y2-1).∴x1=x2,
∵x1、x2是方程①的两根,且1-a2≠0,
∴x2=-,x=-,
消去x2得,-=,
∵a>
0,∴a=.
(理)(2012·
湖南师大附中第七次月考)已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,其渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切.过点P(-4,0)作斜率为的直线l,交双曲线左支于A,B两点,交y轴于点C,且满足|PA|·
|PB|=|PC|2.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)设点M为双曲线上一动点,点N为圆x2+(y-2)2=上一动点,求|MN|的取值范围.
[解析]
(1)设双曲线的渐近线方程为y=kx,
因为渐近线与圆(x-5)2+y2=5相切,
则=,即k=±
,
所以双曲线的渐近线方程为y=±
x.
设双曲线方程为x2-4y2=m,将y=(x+4)代入双曲线方程中整理得,3x2+56x+112+4m=0.
所以xA+xB=-,xAxB=.
因为|PA|·
|PB|=|PC|2,点P、A、B、C共线,且点P在线段AB上,则(xP-xA)(xB-xP)=(xP-xC)2,即(xB+4)(-4-xA)=16.
所以4(xA+xB)+xAxB+32=0.
于是4·
(-)++32=0,解得m=4.
故双曲线方程是x2-4y2=4,即-y2=1.
(2)设点M(x,y),圆x2+(y-2)2=的圆心为D,则x2-4y2=4,点D(0,2).
所以|MD|2=x2+(y-2)2=4y2+4+(y-2)2
=5y2-4y+8=5(y-)2+≥.
所以|MD|≥,
从而|MN|≥|MD|-≥.
故|MN|的取值范围是[,+∞).
能力拓展提升
11.(文)(2011·
皖南八校联考)已知抛物线x2=4y的准线过双曲线-y2=-1的一个焦点,则双曲线的离心率为( )
[答案] C
[解析] 易知抛物线的焦点坐标为(0,),其准线方程为y=-,∵双曲线-y2=-1的焦点坐标为(0,±
),
∴m2+1=3=c2,∴c=,
∴双曲线的离心率为e==.
山东潍坊一中期末)已知抛物线y2=2px(p>
0)与双曲线-=1有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且AF⊥x轴,则双曲线的离心率为( )
A.B.+1
C.+1D.
[解析] 由AF⊥x轴知点A坐标为,代入双曲线方程中得,-=1,∵双曲线与抛物线焦点相同,
∴c=,即p=2c,
又b2=c2-a2,∴-=1,
由e=代入整理得,e4-6e2+1=0,
∵e>
1,∴e2=3+2,∴e=+1.
12.(文)(2011·
浙江文,9)已知椭圆C1:
+=1(a>
0)与双曲线C2:
x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点,若C1恰好将线段AB三等分,则( )
A.a2=B.a2=13
C.b2=D.b2=2
[解析]
由已知双曲线渐近线为y=±
2x.圆方程为x2+y2=a2,则|AB|=2a.不妨取y=2x与椭圆交于P、Q两点,且P在x轴上方,则由已知|PQ|=|AB|=,
∴|OP|=.则点P坐标为(,),
又∵点P在椭圆上,∴+=1.①
又∵a2-b2=5,∴b2=a2-5.②,解①②得
故选C.
江西南昌调研)设圆C的圆心在双曲线-=1(a>
0)的右焦点上,且与此双曲线的渐近线相切,若圆C被直线l:
x-y=0截得的弦长等于2,则a=( )
[解析] 由条件知,圆心C(,0),C到渐近线y=x的距离为d==为⊙C的半径,又截得弦长为2,∴圆心C到直线l:
x-y=0的距离=1,∴a2=2,∵a>
13.已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx-y=0,若m为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值,则使得双曲线的离心率大于3的概率是________.
[答案]
[解析] 由题意知双曲线方程可设为m2x2-y2=1,从而e=>
3⇒m>
2,故所求概率是,故填.
14.(2012·
辽宁文,15)已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________.
[解析] 本题考查了双曲线的概念.
设|PF1|=m,|PF2|=n,根据双曲线的定义及已知条件可得|m-n|=2a=2,m2+n2=4c2=8,∴2mn=4,
∴(|PF1|+|PF2|)2=(m+n)2=(m-n)2+4mn=12,
∴|PF1|+|PF2|=2.
[点评] 充分利用PF1⊥PF2,将||PF1|-|PF2||=2a,转化到|PF1|+|PF2|是解决本题的关键,也可以设|PF2|=x,利用定义及PF1⊥PF2建立x的方程求解.
15.已知双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).
(1)求双曲线方程;
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:
·
=0;
(3)在
(2)中求△F1MF2的面积.
[解析]
(1)因为e=,
所以可设双曲线方程为x2-y2=λ,
因为双曲线过点(4,-),
所以16-10=λ,即λ=6.
所以双曲线方程为x2-y2=6.
(2)证明:
由
(1)可知,双曲线中a=b=,
所以c=2.
所以F1(-2,0),F2(2,0).
所以kMF1=,kMF2=,
kMF1·
kMF2==-.
因为点(3,m)在双曲线上,所以9-m2=6,即m2=3.
故kMF1·
kMF2=-1,所以MF1⊥MF2.
所以·
=0.
(3)△F1MF2的底边|F1F2|=4,
△F1MF2的高h=|m|=,所以S△F1MF2=6.
16.(文)双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点,直线y=x为C的一条渐近线.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点P(0,4)的直线l,交双曲线C于A、B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合),当=λ1=λ2,且λ1+λ2=-时,求Q点的坐标.
[解析]
(1)设双曲线的方程为-=1.
由椭圆+=1,求得两焦点为(-2,0),(2,0),
∴对于双曲线C:
c=2.
又y=x为双曲线C的一条渐近线,
∴=,解得a2=1,b2=3.
∴双曲线C的方程为x2-=1.
(2)如图所示,由题意知,直线l的斜率k存在且不等于零.
设l的方程为y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),则
Q(-,0).
∵=λ1,∴(-,-4)=λ1(x1+,y1).
∴即
∵A(x1,y1)在双曲线C上,
∴()2--1=0.
∴16+32λ1+16λ-k2-k2λ=0.
∴(16-k2)λ+32λ1+16-k2=0.
同理有(16-k2)λ+32λ2+16-k2=0.
若16-k2=0,则直线l过顶点,不合题意.
∴16-k2≠0.
∴λ1、λ2是二次方程(16-k2)x2+32x+16-k2=0的两根.∴λ1+λ2==-.
∴k2=4.此时Δ>
0,∴k=±
2.
∴所求点Q的坐标为(±
2,0).
临沂模拟)已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
(1)求双曲线C2的方程;
(2)若直线l:
y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且·
>
2(其中O为原点),求k的取值范围.
[解析]
(1)设双曲线C2的方程为-=1,
则a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,
得b2=1,故C2的方程为-y2=1.
(2)将y=kx+代入-y2=1中得,
(1-3k2)x2-6kx-9=0.
由直线l与双曲线交于不同的两点得
∴k2≠且k2<
1①
设A(xA,yA),B(xB,yB),
则xA+xB=,xAxB=
由·
2得,xAxB+yAyB>
2,
xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+)(kxB+)
=(k2+1)xAxB+k(xA+xB)+2
=(k2+1)·
+k·
+2=
于是>
2,即>
解此不等式得<
k2<
3②
由①②得<
1,∴<
1或-1<
-.
故k的取值范围为∪.
1.(2012·
河南郑口中学模拟)已知F为双曲线-=1(a>
0)的右焦点,点P为双曲线右支上任意一点,则以线段PF为直径的圆与圆x2+y2=a2的位置关系是( )
A.相离B.相切
C.相交D.不确定
[解析] 设双曲线左焦点为F1,PF的中点为C,则由双曲线的定义知,|PF1|-|PF|=2a,∵C、O分别为PF、F1F的中点,∴|PF1|=2|CO|,|PF|=2|PC|,
∴|CO|-|PC|=a,即|PC|+a=|CO|,∴两圆外切.
2.(2012·
河南新乡、平顶山、许昌调研)焦点在x轴上,中心在原点的双曲线的渐近线方程为y=±
x,则双曲线的离心率为( )
A.B.5
[解析] 由题意得=,∴=,∴=,
∴e2=,∵e>
1,∴e=.
3.(2012·
浙江文,8)如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A.3B.2
[解析] 本题考查了椭圆与双曲线中离心率e的求法.设椭圆长轴长为2a,则双曲线实半轴长为=,
因为椭圆与双曲线有公共焦点,
所以离心率的比值==2.
4.若椭圆+=1(m>
n>
0)和双曲线-=1(a>
0)有相同的焦点F1、F2,P是两曲线的一个交点,则|PF1|·
|PF2|的值为( )
A.m-aB.(m-a)
C.m2-a2D.(m2-a2)
[解析] (|PF1|+|PF2|)2=4m2,(|PF1|-|PF2|)2=4a2,
∴|PF1|·
|PF2|=m2-a2.∴选C.
5.(2011·
新课标全国理,7)设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A、B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为( )
C.2D.3
|AB|=,
∴=2·
2a,即=2,∴e==,选B.
6.已知椭圆+=1和双曲线-=1有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程为( )
A.x=±
yB.y=±
x
C.x=±
yD.y=±
[解析] 由题意c2=3m2-5n2=2m2+3n2,
∴m2=8n2,
∴双曲线渐近线的斜率k=±
=±
.
方程为y=±
浙江杭州月考)双曲线x2-=1的右焦点到双曲线一条渐近线的距离为2,则双曲线的离心率为________.
[解析] 双曲线x2-=1的右焦点F(c,0)到渐近线bx+y=0的距离:
=b=2,又a=1.
∴c2=a2+b2=5,c=.∴双曲线的离心率e==.
10.(2011·
北京海淀期末)如图,已知|AB|=10,图中的一系列圆是圆心分别为A、B的两组同心圆,每组同心圆的半径分别是1,2,3,…,n,….利用这两组同心圆可以画出以A,B为焦点的双曲线,若其中经过点M、N、P的双曲线的离心率分别记为eM、eN、eP,则它们的大小关系是________(用“<
”连接).
[答案] eM<
eP<
eN
[解析] 由图知|AB|=10,经过M,N,P的双曲线的半焦距均为5,由|MB|-|MA|=7知过点M的双曲线实半轴长为,同理可知过N,P的双曲线的实半轴长分别为1,2,因此可知eN>
eP>
eM.