7第21课时锐角三角函数及其实际应用.docx
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7第21课时锐角三角函数及其实际应用
第四单元三角形
第21课时 锐角三角函数及其实际应用
15分钟
1.(2019天津)2sin60°的值等于( )
A.1 B. C. D.2
2.(2019河北)如图,从点C观测点D的仰角是( )
A.∠DABB.∠DCE
C.∠DCAD.∠ADC
第2题图
3.(北师九下P4第1题改编)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,则tanA的值为( )
A.B.C.D.
4.(2019宜昌)如图,在5×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,则tan∠BAC的值为( )
A.B.C.D.
第4题图
5.(2019温州)某简易房示意图如图所示,它是一个轴对称图形,则坡屋顶上弦杆AB的长为( )
A.米B.米
C.米D.米
第5题图
6.(2019赤峰)如图,一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断,木杆顶端落在地面上,且与地面成38°角,则木杆折断之前高度约为________m.(参考数据:
sin38°≈0.62,cos38°≈0.79,tan38°≈0.78)
第6题图
45分钟
1.如图,小明为了测量校园里旗杆AB的高度,将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的点C处,在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,若测角仪的高度是1.5m,求旗杆AB的高度.(结果精确到0.1m.参考数据:
sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)
第1题图
2.(2019菏泽)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A处时,测得小岛B位于它的北偏东30°方向,且与航母相距80海里.再航行一段时间后到达C处,测得小岛B位于它的西北方向,求此时航母与小岛的距离BC的长.
第2题图
3.(全国视野创新题推荐·2019兰州)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究,过程如下:
问题提出:
如图①是某住户窗户上方安装的遮阳篷,要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光,又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.
第3题图
方案设计:
如图②,该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳篷CD.
数据收集:
通过查阅相关资料和实际测量:
兰州市一年中,夏至这一天的正午时刻,太阳光线DA与遮阳篷CD的夹角∠ADC最大(∠ADC=77.44°);冬至这一天的正午时刻,太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角∠BDC最小(∠BDC=30.56°);窗户的高度AB=2m.
问题解决:
根据上述方案及数据,求遮阳篷CD的长.
(结果精确到0.1m,参考数据:
sin30.56°≈0.51,cos30.56°≈0.86,tan30.56°≈0.59,sin77.44°≈0.98,cos77.44°≈0.22,tan77.44°≈4.49)
4.(2019河南)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑像DE在高55m的小山EC上,在A处测得塑像底部E的仰角为34°,再沿AC方向前进21m到达B处,测得塑像顶部D的仰角为60°,求炎帝塑像DE的高度.(精确到1m.参考数据:
sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67,≈1.73)
第4题图
5.如图,某数学兴趣小组为测量教学楼CD的高,先在A处用高1.5米的测角仪测得教学楼顶端D的仰角∠DEG为30°,再向前走20米到达B处,又测得教学楼顶端D的仰角∠DFG为60°,A、B、C三点在同一水平线上,求教学楼CD的高(结果保留根号).
第5题图
6.为了测量休闲凉亭AB的高度,某数学兴趣小组在水平地面D处竖直放置一个标杆CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B、E、D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到凉亭顶端A,在F处测得凉亭顶端A的仰角为30°,平面镜E的俯角为45°,FD=2米,求休闲凉亭AB的高度.(结果保留根号)
第6题图
7.(2019邵阳)某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示.已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O,且OB=OE;支架BC与水平线AD垂直.AC=40cm,∠ADE=30°,DE=190cm,另一支架AB与水平线夹角∠BAD=65°,求OB的长度.(结果精确到1cm;温馨提示:
sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14)
第7题图
8.(2019甘肃省卷)如图①是放置在水平桌面上的台灯,图②是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计),其中灯臂AC=40cm,灯罩CD=30cm,灯臂与底座构成的∠CAB=60°;CD可以绕点C上下调节一定的角度,使用发现:
当CD与水平线所成的角为30°时,台灯光线最佳.现测得点D到桌面的距离为49.6cm.请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳?
(参考数据:
取1.73)
第8题图
9.(2019西安交大附中模拟)如图,在坡顶B处的同一水平面上有一座纪念碑CD垂直于水平面,小明在斜坡底A处测得该纪念碑顶部D的仰角为45°,然后他沿着坡比i=5∶12的斜坡AB攀行了39米到达坡顶,在坡顶B处又测得该纪念碑顶部的仰角为68°,求纪念碑CD的高度.(结果精确到1米,参考数据:
sin68°≈0.9,cos68°≈0.4,tan68°≈2.5)
第9题图
参考答案
第21课时 锐角三角函数及其实际应用
点对点·课时内考点巩固
1.C 【解析】2sin60°=2×=.
2.B 【解析】∵在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,∴从点C观测点D的仰角为∠DCE.
3.D 【解析】根据勾股定理可得:
BC==12,∴tanA==.
4.A 【解析】如解图,取格点D,连接DC,在Rt△ACD中,AD=3,CD=4,tan∠BAC==.
第4题解图
5.B 【解析】如解图,过点A作AD⊥BC于点D,由轴对称性质可知,BC=3+0.3×2=3.6m,∴BD=1.8m,∵cosα=,∴AB===.
第5题解图
6.8.1 【解析】如解图,已知∠ACB=90°,∠BAC=38°,BC=3.1m,则sin∠BAC=,∴AB=≈=5(m),故木杆折断之前的高度约为8.1m.
第6题解图
点对线·板块内考点衔接
1.解:
如解图,过D作DE⊥AB于点E,
∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°.
∴∠ADE=53°.
∵BC=DE=6m,
∴AE=DE·tan53°≈6×1.33=7.98m.
∴AB=AE+BE=AE+CD≈7.98+1.5≈9.5m.
答:
旗杆AB的高度约为9.5m.
第1题解图
2.解:
如解图,过点B作BD⊥AC于点D,设BC为x海里,
∵在Rt△BCD中,∠BCD=45°,
∴DC=BD=.
∵A处测得小岛B位于它的北偏东30°方向,
∴∠BAD=60°.
∵sin∠BAD=,
∴sin60°=,解得x=40.
答:
此时航母与小岛的距离BC的长为40海里.
第2题解图
3.解:
设CD=xm,
在Rt△CDB中,∠BDC=30.56°,
∴BC=CD·tan∠BDC=xtan30.56°.
在Rt△ACD中,∠ADC=77.44°,
∴AC=CD·tan∠ADC=xtan77.44°.
∵AC=BC+AB,AB=2,
∴xtan77.44°=xtan30.56°+2.
解得x≈0.5.
∴CD≈0.5.
答:
遮阳篷CD的长约为0.5m.
4.解:
在Rt△ACE中,∵∠A=34°,CE=55,
∴AC=≈≈82.1m.
∴BC=AC-AB≈82.1-21=61.1m.
在Rt△BCD中,∵∠CBD=60°,
∴CD=BC·tan60°≈61.1×1.73≈105.7m.
∴DE=CD-CE≈105.7-55≈51m.
答:
炎帝塑像DE的高度约为51m.
5.解:
∵∠DFG=∠DEF+∠EDF,∠DFG=60°,∠DEF=30°,
∴∠DEF=∠FDE=30°,
∴EF=FD=20米,
在Rt△DFG中,DG=DF·sin60°=20×=10(米),
∵四边形AEGC是矩形,
∴CG=AE=1.5米,
∴CD=DG+CG=(1.5+10)米.
答:
教学楼CD的高为(1.5+10)米.
6.解:
由题意可得:
DF=BH=2米,FH=DB,
∵∠HFE=∠FED=∠AEB=45°,∠FDE=∠AHF=∠ABD=90°,∠AFH=30°,
∴∠DFE=∠FED=45°,∠AEB=∠EAB=45°.
∴DE=DF=2米,EB=AB.
设休闲凉亭AB的高度为x米,则EB=AB=x米,
∴FH=DB=(x+2)米,AH=(x-2)米.
在Rt△AFH中,tan∠AFH=,
∴=,
∴x=4+2,
经检验,x=4+2是原分式方程的解,且符合实际.
答:
休闲凉亭AB的高度为(4+2)米.
7.解:
设OB=OE=xcm,则OD=(190+x)cm,
在Rt△ODC中,∠ODC=30°,
∴OC=OD=(95+x)cm,
∴BC=OC-OB=(95-x)cm,
在Rt△ABC中,BC=AC·tan∠BAC=40×tan65°,
∴95-x=40×tan65°,
解得x≈19.
答:
OB的长度约为19cm.
8.解:
如解图,分别过点C、D作CE⊥AB于E、DF⊥AB交AB延长线于点F,作CM⊥DF于点M,
则MF=CE,CM=EF.
在Rt△AEC中,∵∠AEC=90°,∠CAE=60°,CA=40,
∴CE=CA·sin60°=40×=20.
∴DM=DF-MF=DF-CE=49.6-20.
在Rt△CDM中,
∵∠CMD=90°,CD=30,
∴sin∠DCM==≈.
∴∠DCM≈30°.
∴此时台灯光线最佳.
第8题解图
9.解:
如解图,过点B作BF⊥AE,垂足为点F,延长DC交AE于点G.
∵i=tan∠BAF=5∶12,
∴设BF=5k,则AF=12k.
在Rt△BAF中,由勾股定理得,AB=13k,
∴13k=39,解得k=3,
∴BF=15,AF=36.
∵BC⊥DC,BC∥AE,
∴DG⊥AE,
∴四边形BCGF是矩形,
∴CG=BF=15,BC=FG.
∵∠DAG=45°,
∴AG=DG.
设DC=x,则AG=36+GF,DG=x+15,即x+15=36+FG,
∴BC=FG=x-21.
在Rt△DBC中,tan∠DBC=tan68°=,即≈2.5,
解得x≈35,
经检验,x=35为原分式方程的解,且符合实际.
答:
纪念碑CD的高度约为35米.
第9题解图
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