高考数学压轴题圆锥曲线解题技巧 1Word下载.docx
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0),直线x+y=t与x轴的交点在抛物线准线的右边。
(1)求证:
直线与抛物线总有两个不同交点
(2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OA⊥OB,求p关于t的函数f(t)的表达式。
(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题
圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。
<
1>
若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。
2>
若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。
(1),可以设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a
的范围,即:
“求范围,找不等式”。
或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围;
对于
(2)首
先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:
“最值问题,函数思想”。
最值问题的处理思路:
1、建立目标函数。
用坐标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题,关键是由方程求x、y的范围;
2、数形结合,用化曲为直的转化思想;
3、利用判别式,对于二次函数求最值,往往由条件建立二次方程,用判别式求最值;
4、借助均值不等式求最值。
已知抛物线y2=2px(p>
0),过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,
|AB|≤2p
(1)求a的取值范围;
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值。
(5)求曲线的方程问题
1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
已知直线L过原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上。
若点A(-1,0)和点B(0,8)关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。
2.曲线的形状未知-----求轨迹方程
M
已知直角坐标平面上点Q(2,0)
N
和圆C:
x2+y2=1,动点M到圆C的
OQ
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切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>
0),求动点M的轨迹方程,并说明它是什么曲线。
(6)存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:
求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。
(当然也可以利用韦达定理并结合判别式
来解决)
典型例题已知椭圆C的方程x2+y2
=1,试确定m的取值
43
范围,使得对于直线y=4x+m,椭圆C上有不同两点关于直线对称
(7)两线段垂直问题
圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用
k1·
k2=
y1·
y2
x1·
x2
=-1来处理或用向量的坐标运算来处理。
典型例题已知直线l的斜率为k,且过点P(-2,0),抛物线
C:
y2=4(x+1),直线l与抛物线C有两个不同的交点(如图)。
(1)求k的取值范围;
(2)直线l的倾斜角θ为何值时,A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。
四、解题的技巧方面:
在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。
事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。
下面举例说明:
(1)充分利用几何图形
解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理
解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,
并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。
典型例题设直线3x+4y+m=0与圆x2+y2+x-2y=0相交于P、Q两点,O为坐标原点,若OP⊥OQ,求m的值。
(2)充分利用韦达定理及“设而不求”的策略
我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。
典型例题已知中心在原点O,焦点在y轴上的椭圆与直线
y=x+1相交于P、Q两点,且OP⊥OQ,|PQ|=10,求此椭圆
方程。
(3)充分利用曲线系方程
利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。
典型例题求经过两已知圆C:
x2+y2-4x+2y=0和
C2:
x2+y2-2y-4=0的交点,且圆心在直线l:
2x+4y-1=0上
的圆的方程。
(4)充分利用椭圆的参数方程
椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角代换
法。
典型例题P为椭圆x2+y2=上一动点,A为长轴的右端
a2b21
点,B为短轴的上端点,求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。
(5)线段长的几种简便计算方法
①充分利用现成结果,减少运算过程
一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是:
把
直线方程y=kx+b代入圆锥曲线方程中,得到型如
AB
ax2+bx+c=0的方程,方程的两根设为x,x,判别式为△,
则|AB|=
1+k2·
|x
A-xB|=
1+k2·
△,若直接用结论,能减少
|a|
配方、开方等运算过程。
例求直线x-y+1=0被椭圆x2+4y2=16所截得的线段
AB的长。
②结合图形的特殊位置关系,减少运算
在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算。
x2y2
例F1、F2是椭圆25+9
=1的两个焦点,AB是经过F1的
弦,若|AB|=8,求值|F2A|+|F2B|
③利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离
例点A(3,2)为定点,点F是抛物线y2=4x的焦点,
点P在抛物线y2=4x上移动,若|PA|+|PF|取得最小值,求点P的坐标。
圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备:
1.直线方程的形式
(1)直线方程的形式有五件:
点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
(2)与直线相关的重要内容
①倾斜角与斜率k=tanα,α∈[0,π)
Ax0+By0+C
A2+B2
②点到直线的距离d=③夹角公式:
k2-k1
1+k2k1
tanα=
(3)弦长公式直线y=kx+b
上两点
A(x1,y1),B(x2,y2)
间的距离:
1+k2
AB=x-x
(1+k2)[(x+x)2-4xx]
=或AB=
1+1
k2
y-y
(4)两条直线的位置关系
①l1⊥l2⇔k1k2=-1②l1//l2⇔k1=k2且b1≠b2
2、圆锥曲线方程及性质
(1)、椭圆的方程的形式有几种?
(三种形式)
标准方程:
x2+y2=1(m>
0,n>
0且m≠
n)
mn
(x+c)2+y2
(x-c)2+y2
距离式方程:
+=2a
参数方程:
x=acosθ,y=bsinθ
(2)、双曲线的方程的形式有两种
x2+y2=⋅<
1(mn0)
|-|=2a
(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?
2b22b2
椭圆:
;
双曲线:
抛物线:
2paa
(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗?
x2
已知F1、F2是椭圆4
+y2
3
=1的两个焦点,平面内一个动
点M满足MF1
MF2
=2则动点M的轨迹是()
A、双曲线;
B、双曲线的一支;
C、两条射线;
D、一条射线
(5)、焦点三角形面积公式:
P在椭圆上时,S
∆F1PF2
=b2tanθ
P在双曲线上时,S
=b2cotθ
(其中
|PF|2+|PF|2-4c2
∠F1PF2=θ,cosθ=12,PF1∙PF2=|PF1||PF2|cosθ
|PF1|⋅|PF2|
)
(6)、记住焦半径公式:
(1)
椭圆焦点在x轴上时为a±
ex0;
焦点在y轴上
,可简记为“左加右减,上加下减”。
(2)双曲线焦点在x轴上时为e|x0|±
a
(3)抛物线焦点在x轴上时为|x|+p,焦点在y轴上时为|y|+p
1212
(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗?
第二、方法储备1、点差法(中点弦问题)
设A(x,y)、(),()为椭圆x2+y2=的弦中点
11Bx2,y2
Ma,b
1AB
则有
(x2-x2)(y2-y2)
1+1=1,2+2=1;
两式相减得12+12=0
434343
⇒(x1-x2)(x1+x2)=-(y1-y2)(y1+y2)⇒k=-3a
43AB4b
2、联立消元法:
你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?
经典套路是什么?
如果有两个参数怎么办?
设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,使用判别式∆≥0,以及根与系数的关系,代入弦长公式,设曲线上的两点A(x1,y1),B(x2,y2),将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子,然后○1-○2,整体消元·
·
,若有两个字母未知数,则要找到它们的联系,消去一个,比如直线过焦点,则可以利用三点A、B、F共线解决之。
若有向量的关系,则寻找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元处理。
一旦设直线为y=kx+b,就意味着k存在。
例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x2+5y2=80上,且点A是椭圆短轴的一个端点(点A在y轴正半轴上).
(1)若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC的方程;
(2)若角A为900,AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.分析:
第一问抓住“重心”,利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率,从而写出直线BC的方程。
第二问抓住
角A为900可得出AB⊥AC,从而得xx
+y1y2
-14(y1
+y2
)+16=0,
然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程;
解:
(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),BC中点为(x0,y0),F(2,0)
x2y2x2y2
则有1+1=1,2+2=1
20162016
两式作差有
(x1
+x2)(x1-x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0x0+y0k=0
201654
(1)
F(2,0)为三角形重心,所以由
x1+x2
=2,得x0
=3,由
y1+y2+4=0得y
30
=-2,代入
(1)得k=6
5
直线BC的方程为6x-5y-28=0
2)由AB⊥AC得x1x2+y1y2-14(y1+y2)+16=0
(2)
设直线BC方程为y=kx+b,代入4x2+5y2=80,得
(4+5k2)x2+10bkx+5b2-80=0
x+x=-10kb,xx=
124+5k212
5b2-80
4+5k2
y+y=8k,yy=
124+5k212
4b2-80k2
代入
(2)式得
9b2-32b-16
=0,解得b=4(舍)或b=-4
9
y+4
直线过定点(0,-4),设D(x,y),则
9y2+9x2-32y-16=0
9⨯y-4=-1,即
xx
所以所求点D的轨迹方程是
x2+(y-16)2=(20)2(y≠4)。
99
4、设而不求法
例2、如图,已知梯形ABCD中AB=2CD,点E分有向线段AC
所成的比为λ,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点当
2≤λ≤3时,求双曲线离心率e的取值范围。
34
分析:
本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能力和综合运用数学知识解决问
题的能力。
建立直角坐标系xOy,如图,若设C⎛c,h⎫,代入
x2-y2=1,求得h=,进而求得x=
ç
⎝
y=
⎪
⎭
再代入
a2b2EE
x2-y2=
,建立目标函数f(a,b,c,λ)=0,整理f(e,λ)=0,此运
算量可见是难上加难.我们对h可采取设而不求的解题策略,建立目标函数f(a,b,c,λ)=0,整理f(e,λ)=0,化繁为简.
解法一:
如图,以AB为垂直平分线为y轴,直线AB为x轴,建立直角坐标系xOy,则CD⊥y轴因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于y轴对
称
依题意,记A(-c,0),C⎛c,h⎫,E(x,y),
⎪00
⎝⎭
其中c=1|AB|为双曲线的半焦距,h是梯
形的高,由定比分点坐标公式得
-c+cλ
x0=2=
(λ-
(
2)c,
y=λh
01+λ
1+λ
2λ+1)
设双曲线的方程为x2-y2=,则离心率=c
e
a2b2a
由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和e=c代入双
曲线方程得
e2-h2=,①
4b21
e2⎛λ-2⎫-⎛λ⎫h2=②
4ç
λ+1⎪ç
λ+1⎪b21
⎝⎭⎝⎭
由①式得
h2=e2-,③
b24
将③式代入②式,整理得
e44
λ)=1+
2λ,
4
故λ=1-
e2+1
由题设2≤λ≤3得,2≤1-3≤3
343
e2+24
解得7≤e≤10
所以双曲线的离心率的取值范围为[7,10]
考虑
AE,AC为焦半径,可用焦半径公式,
AE,AC用
E,C的横坐标表示,回避h的计算,达到设而不求的解题策略.
解法二:
建系同解法一,AE
=-(a+exE),AC
=a+exC,
x=2=
E1+λ
(λ-2)c,又
2(λ+1)
λ
AE
AC
=1+λ
,代入整理λ=1-
3,
5、判别式法
例3已知双曲线C:
y
-x2
=1,直线l过点A(
2,0),斜率为k,
当0<
k<
1时,双曲线的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为2,试求k的值及此时点B的坐标。
分析1:
解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因此,数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从
“有且仅有”这个微观入手,对照草图,不难想到:
过点B作与l平行的直线,必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式∆=0.由此出发,可设计如下解题
思路:
l:
y=k(x-2)
(0<
1)
直线l’在l的上方且到直线l的距离为2
2k2+2
l'
:
y=kx+
2k
解得k的值
解题过程略.
分析2:
如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用
代数式表达,即所谓“有且仅有一点B到直线l的距离为”,
问题
关于x的方程
kx-2+x2-2k
k2+1
=2(0<
1)有唯一
转化为一元二次方程根的问题
相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路:
求解
简解:
设点M(x,2+x2)为双曲线C上支上任一点,则点M
到直线l的距离为:
kx-2+x2-2k
k2+1
=2
(*)
于是,问题即可转化为如上关于x的方程.
2+x2
由于0<
1,所以>
x>
kx,从而有
kx-
于是关于x的方程(*)
=-kx+
+2k.
2+x2
2(k2+1)
⇔-kx++2k=
⇔⎧⎪(
2+x2)2=(
-2k+kx)2,
⎨
⎩⎪2(k2+1)-2k+kx>
0
⇔
⎧⎪(k2-1)x2+2k(
-2k)x+(
-2k)2-2=0,
⎩⎪2(k2+1)-
2k+kx>
0.
由0<
1可知:
方程(k2-1)x2+2k(
2(k2+1)-
2k)x+(
2k)2-2=0
的二根同正,故
0恒成立,于是(*)等价于
(k2-1)x2+2k(
2k)2-2=0.
由如上关于x的方程有唯一解,得其判别式∆=0,就可解
25
得k=.
点评:
上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分
体现了全局观念与整体思维的优越性.
例4已知椭圆C:
x2+2y2=8和点P(4,1),过P作直线交
椭圆于A、B两点,在线段AB上取点Q,使AP=-AQ,求动
PBQB
点Q的轨迹所在曲线的方程.
这是一个轨迹问题,解题困难在于多动点的困扰,学生往往不知从何入手。
其实,应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此,首先是选定参数,然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达,最后通过消参可达到解题的目的.由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的,自然可选
择直线AB的斜率k作为参数,如何将x,y与k联系起来?
一方面利用点Q在直线AB上;
另一方面就是运用题目条件:
AP=-AQ来转化.由A、B、P、Q四点共线,不难得到
x=4(xA+xB)-2xAxB,要建立x与k的关系,只需将直线AB的方程
8-(xA+xB)
代入椭圆C的方程,利用韦达