圆锥曲线问题巧在设难在算高考文科数学通用讲义文档格式.docx

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所以|GP|＝|GN|，

所以|GM|＋|GN|＝|GM|＋|GP|＝|MP|＝4>

2＝|MN|，

所以点G在以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆上，

设椭圆的方程为＋＝1（a>

b>

0），

则2a＝4,2c＝2，

即a＝2，c＝，所以b2＝a2－c2＝1，

所以点G的轨迹C的方程为＋y2＝1.

（2）法一：

依题意可设直线l：

x＝my＋4.

由消去x，得（m2＋4）y2＋8my＋12＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由Δ＝64m2－4×

12×

（m2＋4）＝16（m2－12）>

0，得m2>

12.　①

且y1＋y2＝－，

y1y2＝.　②

因为点A关于x轴的对称点为D，

所以D（x1，－y1），

可设Q（x0,0），

所以kBD＝＝，

所以BD所在直线的方程为y－y2＝（x－my2－4）．

令y＝0，得x0＝.　③

将②代入③，

得x0＝＝1，

所以点Q的坐标为（1,0）．

因为S△ABQ＝|S△TBQ－S△TAQ|＝

|QT||y2－y1|＝

＝，

令t＝m2＋4，结合①得t>

16，

所以S△ABQ＝＝

6

＝6.

当且仅当t＝32，即m＝±

2时，（S△ABQ）max＝.

所以△ABQ面积的最大值为.

法二：

依题意知直线l的斜率存在，设其方程为y＝k（x－4），

A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0,0）．

由对称性知D（x1，－y1），

由消去y，

得（4k2＋1）x2－32k2x＋64k2－4＝0.

由Δ＝（－32k2）2－4（4k2＋1）（64k2－4）>

0，

得k2<

，　①

且x1＋x2＝，x1x2＝.　②

＝（x0－x2，－y2），＝（x0－x1，y1）

由B，D，Q三点共线知∥，

故（x0－x2）y1＋y2（x0－x1）＝0，

即（x0－x2）·

k（x1－4）＋k（x2－4）（x0－x1）＝0.

整理得x0＝.　③

将②代入③，得x0＝1，所以点Q的坐标为（1,0）．

因为点Q（1,0）到直线l的距离为d＝，

|AB|＝·

所以S△ABQ＝|AB|·

d＝.

令t＝4k2＋1，则k2＝，

结合①得1<

t<

，

所以S△ABQ＝＝3

＝3.

当且仅当＝，即k＝±

时，（S△ABQ）max＝.

[题后悟道]

解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤

[针对训练]

已知F为椭圆C：

＋＝1的右焦点，M为C上的任意一点．

（1）求|MF|的取值范围；

（2）P，N是C上异于M的两点，若直线PM与直线PN的斜率之积为－，证明：

M，N两点的横坐标之和为常数．

解：

（1）法一：

依题意得a＝2，b＝，

所以c＝＝1，

所以椭圆C的右焦点F的坐标为（1,0）．

设椭圆C上的任意一点M的坐标为（xM，yM），

则＋＝1，

所以|MF|2＝（xM－1）2＋y＝（xM－1）2＋3－x＝x－2xM＋4＝（xM－4）2.

又－2≤xM≤2，所以1≤|MF|2≤9，

所以1≤|MF|≤3，

所以|MF|的取值范围为[1,3]．

依题意得a＝2，b＝，所以c＝＝1，

所以椭圆C的右焦点F的坐标为（1,0），

设椭圆C上的任意一点M的坐标为（2cosα，sinα），

则|MF|2＝（2cosα－1）2＋（sinα）2＝（cosα－2）2，

又－1≤cosα≤1，所以1≤|MF|2≤9，

证明：

设P，M，N三点的坐标分别为（xP，yP），（xM，yM），（xN，yN），

设直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，则直线PM的方程为y－yP＝k1（x－xP），

联立消去y，

得（3＋4k）x2－8k1（k1xP－yP）x＋4kx－8k1xPyP＋4y－12＝0，

由根与系数的关系可得xM＋xP＝，

所以xM＝－xP＝.

同理可得xN＋xP＝，

又k1·

k2＝－，

故xN＋xP＝＝＝，

则xN＝－xP＝－＝－xM，从而xN＋xM＝0，

即M，N两点的横坐标之和为常数．

设P，M两点的坐标分别为（xP，yP），（xM，yM），线段PM，PN的中点分别为E，T，点E的坐标为（xE，yE），直线PM，PN，OE（O为坐标原点）的斜率分别为k1，k2，k3，

由方程组得＝－，

所以·

＝－，

所以k1·

k3＝－，

所以k2＝k3，

所以PN∥OE，

所以MN的中点在直线OE上，

同理可证MN的中点在直线OT上，

所以点O为线段MN的中点．

根据椭圆的对称性，得xM＋xN＝0，

所以M，N两点的横坐标之和为常数．

[总结升华]

解析几何部分知识点多，运算量大，能力要求高，综合性强，在高考试题中大都是以压轴题的面貌出现，是考生“未考先怕”题型，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算．因此，在遵循“设—列—算”程序化运算的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破不能避繁就简这一瓶颈．　　　　

1.（2018·

济南模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：

x2＝4y，直线l与抛物线C1交于A，B两点．

（1）若直线OA，OB的斜率之积为－，证明：

直线l过定点；

（2）若线段AB的中点M在曲线C2：

y＝4－x2（－2＜x＜2）上，求|AB|的最大值．

（1）证明：

由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，A（x1，y1），B（x2，y2），

由得x2－4kx－4m＝0，

Δ＝16（k2＋m）＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，

则kOA·

kOB＝＝＝＝－，

由已知kOA·

kOB＝－，得m＝1，满足Δ＞0，

∴直线l的方程为y＝kx＋1，∴直线l过定点（0,1）．

（2）设M（x0，y0），由已知及

（1）得x0＝＝2k，

y0＝kx0＋m＝2k2＋m，

将M（x0，y0）代入y＝4－x2（－2＜x＜2），得

2k2＋m＝4－×

（2k）2，∴m＝4－3k2.

∵－2＜x0＜2，∴－2＜2k＜2，∴－＜k＜，

∵Δ＝16（k2＋m）＝16（k2＋4－3k2）＝32（2－k2）＞0，

∴－＜k＜，

故k的取值范围是（－，）．

∴|AB|＝·

＝·

＝4·

≤4·

＝6，

当且仅当k2＋1＝2－k2，即k＝±

时取等号，

∴|AB|的最大值为6.

2．（2018·

石家庄质检）已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．

（1）若以AF1为直径的动圆内切于圆x2＋y2＝9，求椭圆的长轴的长；

（2）当b＝1时，问在x轴上是否存在定点T，使得·

为定值？

并说明理由．

（1）设AF1的中点为M，连接OM，AF2（O为坐标原点），

在△AF1F2中，O为F1F2的中点，

所以|OM|＝|AF2|＝（2a－|AF1|）＝a－|AF1|.

由题意得|OM|＝3－|AF1|，

所以a＝3，故椭圆的长轴的长为6.

（2）由b＝1，＝，a2＝b2＋c2，得c＝2，a＝3，

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x＋2），

由得（9k2＋1）x2＋36k2x＋72k2－9＝0，

则x1＋x2＝－，x1x2＝，

y1y2＝k2（x1＋2）（x2＋2）＝.

设T（x0,0），则＝（x1－x0，y1），＝（x2－x0，y2），

·

＝x1x2－（x1＋x2）x0＋x＋y1y2＝，

当9x＋36x0＋71＝9（x－9），即x0＝－时，

为定值，定值为x－9＝－.

当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，

B，当T时，·

＝－.

综上，在x轴上存在定点T，使得·

为定值．

3．（2019届高三·

西安八校联考）已知直线l：

x＝my＋1过椭圆C：

＋＝1（a>

0）的右焦点F，抛物线x2＝4y的焦点为椭圆C的上顶点，且l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x＝4上的射影依次为D，K，E.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l交y轴于点M，且＝λ1，＝λ2，当m变化时，证明：

λ1＋λ2为定值；

（3）当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？

若是，请求出定点的坐标，并给予证明；

否则，说明理由．

（1）∵l：

x＝my＋1过椭圆C的右焦点F，

∴右焦点F（1,0），c＝1，即c2＝1.

∵x2＝4y的焦点（0，）为椭圆C的上顶点，

∴b＝，即b2＝3，a2＝b2＋c2＝4，

∴椭圆C的方程为＋＝1.

（2）证明：

由题意知m≠0，联立

得（3m2＋4）y2＋6my－9＝0.

则y1＋y2＝－，y1y2＝－.

∵＝λ1，＝λ2，M，

∴＝λ1（1－x1，－y1），

＝λ2（1－x2，－y2），

∴λ1＝－1－，λ2＝－1－，

∴λ1＋λ2＝－2－＝－2－＝－.

综上所述，当m变化时，λ1＋λ2为定值－.

（3）当m＝0时，直线l⊥x轴，则四边形ABED为矩形，易知AE与BD相交于点N，猜想当m变化时，直线AE与BD相交于定点N，证明如下：

则＝＝，

易知E（4，y2），则＝.

∵y2－（－y1）＝（y1＋y2）－my1y2＝－m＝0，

∴∥，即A，N，E三点共线．

同理可得B，N，D三点共线．

则猜想成立，

故当m变化时，直线AE与BD相交于定点N.

4．（2018·

全国卷Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：

＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m>

0）．

k<

－；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：

||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．

则＋＝1，＋＝1.

两式相减，并由＝k得＋·

k＝0.

由题设知＝1，＝m，于是k＝－.①

由题设得0<

m<

，故k<

－.

（2）由题意得F（1,0）．设P（x3，y3），

则（x3－1，y3）＋（x1－1，y1）＋（x2－1，y2）＝（0,0）．

由

（1）及题设得x3＝3－（x1＋x2）＝1，

y3＝－（y1＋y2）＝－2m<

0.

又点P在C上，所以m＝，

从而P，||＝，

于是||＝＝＝2－.

同理||＝2－.

所以||＋||＝4－（x1＋x2）＝3.

故2||＝||＋||，

即||，||，||成等差数列．

设该数列的公差为d，

则2|d|＝|||－|||＝|x1－x2|

＝.②

将m＝代入①得k＝－1，

所以l的方程为y＝－x＋，

代入C的方程，并整理得7x2－14x＋＝0.

故x1＋x2＝2，x1x2＝，代入②解得|d|＝.

所以该数列的公差为或－.