普通高等学校招生全国统一考试文科数学二Word格式文档下载.docx
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f（x）ex，可得
1
f（x）e1，
当0xln2时，f（x）0，函数是减函数，
当xln2时，函数是增函数，排除选项A，D，故选C.
4.在ABC中，B90，AB（1,2），AC（3,），（）
A.1B.2C.3D.4
【答案】A
【解析】ABC中，B90，AB（1,2），AC（3,），∴BCACAB2（,2），
又B90，∴ABBC，∴ABBC0，即22
（2）0，解得1.
5.在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，（abc）（acb）2ab，则
角C的正弦值为（）
A.
B.3
2
C.2
D.1
【解析】由（abc）（acb）2ab，可得
2220
abc，
根据余弦定理得
222
abc
cosC0
2ab
∵B（0,），∴sinC1.
6.双曲线
221
mxny（mn0）的一条渐近线方程为
yx，则它的离心率为（）
5
A.B.5
C.5或5
D.5或5
【解析】∵双曲线
1
yx，
b
∴2
a
或
，∴双曲线的离心率为
e
cb
1（）5
aa
5
.
7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为1，则判断框中可以填入的条件是（）
A.n999B.n999C.n999D.n999
【解析】该程序框图的功能是计算
12n
S2lglglg2lg（n1）
23n1
的值.
要使输出的S的值为1，则2lg（n1）1，即n999.故①中应填n999.
8.已知单位圆有一条直径AB，动点P在圆内，则使得APAB2的概率为（）
B.
4
C.
D.
44
【解析】由APAB2可知，AP在AB向量上的投影为1，
所以P点所在位置为半个圆，面积占整个圆的
，所以概率为
9.长方体ABCDA1B1C1D1，AB4，AD2，AA15，则异面直线A1B1与AC1所
成角的余弦值为（）
3
【解析】∵
C1D1//A1B1，∴异面直线A1B1与AC1所成的角即为C1D1与AC1所成的角
ACD.
在
Rt中，
ACD
C1D14，
222
AC142（5）5，∴
cos
CD
AC
10.将函数f（x）sin2xcos2x图象上所有点向左平移
8
个单位长度，得到函数g（x）
的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（）
A.（,0）
3
B.（,0）
4
C.（,0）
6
D.（,0）
【解析】将函数（）sin2cos22（2sin22cos2）2sin
（2）
fxxxxxx图
224
象上
所有点向左平移
个单位长度，得到函数g（x）2sin（2x）2sin2x的图象，
令2xk，求得
k
x，kZ，令k1，可得g（x）图象的一个对称中心为（,0）
22
11.已知f（x）是定义在R上偶函数，对任意xR都有f（x3）f（x）且f
（1）4，
则f（2020）的值为（）
A.2B.3C.4D.5
【解析】由f（x3）f（x），知函数f（x）为周期函数，且周期T3，
则f（2020）f（36731）f
（1）f
（1）4.
12.过抛物线C：
xpy（p0）的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，
若4AFBF，O为坐标原点，则
AF
OF
（）
B.3C.4D.5
【解析】由题意得
p
xpy，则F（0,），所以
OF，
设直线AB的方程为
ykx，设
A（x,y），B（x2,y2），且x1x2，
因为4AFBF，所以4AFBF，则
x24x1，①
ykx
由，整理得
x2py
xpkxp，所以x1x22pk，
xxp，②
12
联立①②可得
k，即直线AB的方程为
3p
yx，
42
又
yx
，整理得
2x3px2p0，
解得x2p或
ppp
x，故A（,），B（2p,2p），
228
所以根据抛物线的定义可知
pp5
AFp，所以
828
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第（13）~（21）题为必考题，每个试题考生
都必须作答。
第（22）~（23）题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知某大学由大一500人，大二750人，大三850人.为该大学学生的身体健康状况，
该大学负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若在大二学生中随机抽取了50
人，试问这次抽样调查抽取的人数是人.
【答案】140
【解析】根据题意可得抽样比为
501
75015
则这次抽样调查抽取的人数是
（500750850）2100140
1515
xy8
14.若变量x，y满足约束条件xy4，则zx2y的最大值为.
x0,y0
【答案】16
xy4
【解析】由约束条件作出可行域如图所示：
x0,y0
zx2y可化为
1z
yx.当直线过点C（0,8）时，z取最大值，即zmax2816.
15.已知
23
sincos
，则cos2.
【答案】
【解析】由已知得
sincos1，解得
21
cos22cos1
16.已知一个正八面体的所有棱长均为2，则该正八面体的外接球的表面积为.
【答案】4
【解析】∵正八面体的所有棱长均为2，∴外接球的直径为正八面体的体对角线长2，
所以球的半R1，故外接球的表面积为
S4R4.
三、解答题：
本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（12分）已知正项等比数列{}
a满足S3S112，2a23S114.
n
（1）求数列{}
a的通项公式；
（2）记
logaloga
22a122n1
，求数列{bn}的前n项和Tn.
（1）a2；
（2）
T
2n1
【解析】
（1）设数列{}
a的公比为q，由已知q0，由题意得
aq+aq12
3a2aq14
所以
2n
7q5q180，解得q2，a12.因此数列{an}的通项公式为a2.
（2）由
（1）知，
11111
logaloga（2n1）（2n1）22n12n1
∴
11111111n
（1）
（1）
23352n12n122n12n1
18.（12分）经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？
血压多少是正常
的？
经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常
值变化情况如下表：
其中：
?
i
xynxy
ii
，a?
yb?
x，
x17232，
xy47384.
xnx
i1i1
i1
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y?
b?
xa?
.（a?
b的值精确到0.01）
（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.91.06倍，则为血压正常人群；
收缩压为标
准值的1.061.12倍，则为轻度高血压人群；
收缩压为标准值的1.121.20倍，则为中度
高血压人群；
收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群.一位收缩压为
180mmHg的70岁的老人，属于哪类人群？
（1）见解析；
（2）见解析；
（3）见解析.
（1）画出散点图如图：
2832384248525862
x45
114118122127129135140147
y129，
47384845129118
0.91
17232845129
a?
ybx1290.914588.05.∴回归直线方程为y?
0.91x88.05.
（3）根据回归直线方程的预测，
年龄为70岁的老人标准收缩压约为0.917088.05151.75（mmHg），
∵
180
19.
1.19，∴收缩压为180mmHg的70岁老人为中度高血压人群.
19.（12分）已知椭圆E：
xy
221（ab0）
ab
，其短轴为4，离心率为e1，双曲线
mn
（m0，n0）的渐近线为yx，离心率为e2，且e1e21.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E的右焦点为F，过点G（4,0）作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，
设直线FM和FN的斜率为k1，k2，试判断k1k2是否为定值，若是定值，求出该定值；
若不是定值，请说明理由.
（1）
84
；
（2）见解析.
（1）由题意可知：
2b4，b2，1
，双曲线的离心率e212
m
则椭圆的离心率为
e，椭圆的离心率
e1
，则a22.
∴椭圆的标准方程：
（2）设直线MN的方程为yk（x4）（k0），
yk（x4）
x2y8
消去y整理得：
（12k2）x216k2x32k280，设
M（x,y），N（x2,y2），
则
16k
xx
122
2k1
32k8
kk
yyk（x4）k（x4）
1212
x2x2x2x2
（x4）（x2）（x4）（x2）2xx6（xx）16
12211212
（x2）（x2）（x2）（x2）
将
代入上式得2x1x26（x1x2）160，即k1k20.
20.（12分）在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD中，AD//BC，ADBC，
ADDC;
PAD中PAPD，APD60，平面PAD平面PCD.
（1）证明：
AB平面PCD；
（2）若AB4，Q为线段PB的中点，求三棱锥QPCD的体积.
83
V.
QPCD
（1）由AD//BC，ADBC，ADBC可知，四边形为ABCD为正方形，
由PAD中PAPD，APD60，所以为PAD为等边三角形.取PD得中点O，
连接AO，因为PAD为等边三角形，所以AOPD，
又因为AO平面PAD，平面PAD平面PCD，所以AO平面PCD，
因为CD平面PCD，所以AOCD，因为底面ABCD为正方形，所以CDAD，
因为AOADA，所以CD平面PAD，因为AB//CD，所以AB平面PAD.
（2）由
（1）得AO平面PCD，所以A到平面PCD的距离dAO23，
因为底面ABCD为正方形，所以AB//CD，
又因为AB平面PCD，所以AB//平面PCD，
所以A，B两点到平面PCD的距离相等，均为d，
d
又Q为线段PB的中点，所以Q到平面PCD的距离h3，
由
（1）知，CD平面PAD，因为PD平面PAD，所以CDPD，
11183
VSh443.
QPCDPCD
3323
21.（12分）已知函数
xa
f（x）xex1，a1，e2.718为自然对数的底数.
（1）当a0时，判断f（x）零点个数并求出零点
（2）若函数f（x）存在两个不同的极值点
x，x2，求实数a的取值范围.
（1）f（x）只有一个零点，零点为0；
（2）0a1.
xxx【解析】
（1）由题知：
（）1
fxeax，令g（x）1eax，g（x）ae，
当a0，g（x）0，所以f（x）在（,）上单调递减，
因为f（0）0，所以f（x）在（,0）上单调递增，在（0,）单调递减，
所以f（x）f（0）0，故f（x）只有一个零点，零点为0.
（2）由
（1）知：
a0不合题意，
当0a1时，因为x（,lna），g（x）0；
（lna,），g（x）0；
又因为f（0）0，所以f（lna）0；
又因为
fe
（）a0
，因为函数
（a）lna
11a1
（a）0
，22
aaa
a（0,1），
所以（a）
（1）10，及
lna
x（,lna）
，所以存在1
，满足f（x1）0，
x（,x），f（x）0；
x（x1,0），f（x）0，x（0,），f（x）0；
此时f（x）存在两个极值点
x，0，符合题意.
当a1时，因为x（,0），g（x）0；
x（0,），g（x）0；
所以g（x）g（0）0；
所以f（x）0，f（x）在（,）上单调递减，
所以f（x）无极值点，不合题意.综上可得：
0a1.
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
【选修4-4：
坐标系与参数方程】
22.（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标
系，曲线C1，C2的极坐标方程分别为2sin，cos（）2
（1）求C1和C2交点的极坐标；
（2）直线l的参数方程为：
x2t
yt
（t为参数），直线l与x轴的交点
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