锐角三角函数与解直角三角形Word下载.docx

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C.60°

　　D.90°

6.（2013·

孝感）式子2cos30°

－tan45°

－的值是（　　）

A.2－2　　B.0　　

C.2　　D.2

7.（2013·

宿迁）如图，将∠AOB放置在5×

5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（　　）

A.　　B.C.　D.

8.（2013·

贵阳）如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为（12，5），则tanα的值为（　　）

A.　　B.　　C.　D.

9.（2013·

乐山）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为（　　）

10.（2013·

鄂州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°

，AD⊥BC于点D.若BD∶CD＝3∶2，则tanB的值为（　　）

A.　　B.C.　　D.

11.（2013·

重庆）如图，在△ABC中，∠A＝45°

，∠B＝30°

，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为（　　）

A.2B.2C.＋1　D.＋1

12.（2013·

衢州）如图，将一个有45°

角的三角尺的直角顶点放在一张宽为3cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边与纸带的一边所在的直线成30°

角，则三角尺最大边的长为（　　）

A.3cmB.6cm

C.3cm　D.6cm

13.（2013·

深圳）如图，l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角三角形ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（　　）

A.　　B.C.　D.

14.（2013·

泸州）如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE＝10cm，且tan∠EFC＝，那么该矩形的周长为（　　）

A.72cmB.36cmC.20cmD.16cm

15.（2013·

连云港）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°

，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　）

A.1B.C.4－2　D.3－4

16.（2013·

台州）如图，边长为2的正三角形ABC的顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在A的下方，E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（　　）

A.3B.4－　C.4D.6－2

二、填空题

17.

（1）（2013·

淮安）sin30°

的值是________；

（2）（2013·

德州）cos30°

（3）（2013·

重庆）计算6tan45°

－2cos60°

的结果等于________；

（4）（2013·

菏泽）计算：

2－1－3tan30°

＋（－1）0＋＋cos60°

＝________．

18.（2013·

，AB＝2BC，现给出下列结论：

①sinA＝；

②cosB＝；

③tanA＝；

④tanB＝.其中，正确的结论是________．（填序号）

19.（2013·

河池）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝5，sinA＝，则tanB＝________．

20.（2013·

莆田）在Rt△ABC中，∠C＝90°

，sinA＝，则tanB的值为________．

21.（2013·

扬州）在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝0.8，则BC＝________．

22.（2013·

牡丹江）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，CA＝CB，AB＝9，点D在BC边上，连接AD.若tan∠CAD＝，则BD的长为________．

23.（2013·

安顺）在Rt△ABC中，∠C＝90°

，tanA＝，BC＝8，则△ABC的面积为________．

24.（2013·

陕西）比较大小：

8cos31°

________.（填“>

”、“<

”或“＝”）

25.（2013·

内江）在△ABC中，∠C＝90°

，sinA＋sinB＝，则sinA－sinB＝________．

26.（2013·

南通）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是________．

27.（2013·

荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，D是AB的中点，过点D作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sinA＝，则DE＝________．

28.（2013·

锦州）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE.已知AE＝5，tan∠AED＝，则BE＋CE＝________．

29.（2013·

攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA＝，BE＝4，则tan∠DBE的值是________．

30.（2013·

盘锦）如图，矩形ABCD的边AB上有一点P，且AD＝，BP＝，以点P为直角顶点的直角三角形的两条直角边分别交线段DC、线段BC于点E、F，连接EF，则tan∠PEF＝________．

31．（2013·

陕西）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且BD平分AC，若BD＝8，AC＝6，∠BOC＝120°

，则四边形ABCD的面积为________．（结果保留根号）

32.（2013·

南充）如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tanE＝________．

33.（2013·

哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过O作OE⊥AC，交AB于E.若BC＝4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为________．

34.（2013·

镇江）如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥CD，∠A＝∠E＝120°

，AB＝CD＝1，AE＝2，则五边形ABCDE的面积等于________．

三、解答题

35.（2013·

无锡）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AB＝10，sinA＝，求BC的长和tanB的值．

36.（2013·

常德）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°

，sinB＝，AD＝1.求：

（1）BC的长；

（2）tan∠DAE的值．

37.（2013·

湛江）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：

sin30°

＝，cos30°

＝，则sin230°

＋cos230°

＝________；

sin45°

＝，cos45°

＝，则sin245°

＋cos245°

sin60°

＝，cos60°

＝，则sin260°

＋cos260°

……

观察上述等式，猜想：

对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝________．

（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；

（2）已知∠A为锐角（cosA>

0），且sinA＝，求cosA的值．

38.（2013·

安顺）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到F，使得EF＝BE，连接CF.

（1）求证：

四边形BCFE是菱形；

（2）若CE＝4，∠BCF＝120°

，求菱形BCFE的面积．

39.（2013·

曲靖）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于F，过点A作AG∥CF，交DE于点G.

△DCF≌△ADG；

（2）若E是AB的中点，设∠DCF＝α，求sinα的值．

40.（2013·

贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的边AC在x轴上，边BC⊥x轴，双曲线y＝（x>

0）与边BC交于点D（4，m），与边AB交于点E（2，n）．

（1）求n关于m的函数解析式；

（2）若BD＝2，tan∠BAC＝，求k的值和点B的坐标．

41.（2013·

苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F.

BD＝BF；

（2）若CF＝1，cosB＝，求⊙O的半径．

42.（2013·

郴州）如图，在△ABC中，AB＝BC，AC＝8，tanA＝k，P为AC边上一动点，设PC＝x，作PE∥AB，交BC于E，PF∥BC，交AB于F.

△PCE是等腰三角形；

（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；

（3）当k＝4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？

并求出S的最大值．

43.（2013·

攀枝花）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC、AF.

直线PA为⊙O的切线；

（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；

（3）若BC＝6，tanF＝，求cos∠ACB的值和线段PE的长．

44.（2013·

大连）将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF.

（1）如图①，若∠ABC＝α＝60°

，BF＝AF.

①求证：

DA∥BC；

②猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想；

（2）如图②，若∠ABC<

α，BF＝mAF（m为常数），求的值．（用含m、α的式子表示）

一、A　D　B　B　D　B　B　C

A　D　D　D　D　A　C　提示：

连接AC交BD于点O，设EF＝x，根据正方形的性质，得AC⊥BD，∠BAO＝∠ABO＝∠BAD＝45°

，AO＝BO＝＝2.又∵EF⊥AB，则在Rt△BFE中，BE＝x.∵∠BAE＝22.5°

，∴AE平分∠BAC，从而EF＝EO＝x.由EO＋BE＝BO得x＋x＝2，解得x＝4－2.　B　提示：

当点E旋转至y轴上时DE最小，设此刻为点E′.∵△ABC是正三角形，D为BC的中点，∴AD⊥BC.∵AB＝BC＝2，∴AD＝AB·

sinB＝.由正六边形得OE′＝OE＝2.又∵点A的坐标为（0，6），∴OA＝6，∴D′E＝OA－AD－OE′＝4－.

二、

（1）　

（2）　（3）5　（4）2＋　②③④　　　6　6　24　>

　±

　　　6或16　2　　提示：

过点E作EH⊥AB于点H.　12

提示：

分别过A、C作AE⊥BD、CF⊥BD，垂足分别为E、F，得到2个含30°

的直角三角形，先求出AE＝CF＝，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△CBD＝BD×

AE＋BD×

CF＝12.　　提示：

设AC、BE交于点F，连接BD交AC于点O，由正方形的性质得△AOB为等腰直角三角形，且AO＝OB＝＝2.证明△AEF∽△OBF，得＝，解得AF＝.在Rt△EAF中，tanE＝＝.　　提示：

连接EC.∵OE为对角线AC的垂直平分线，∴CE＝AE，S△AOE＝S△COE＝5.∴S△AEC＝2S△AOE＝10.∴AE·

BC＝10.又∵BC＝4，∴AE＝5.∴EC＝5.在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE＝3.∵∠EBC＝∠EOC＝90°

，∴B、O在以EC为直径的圆上，∴∠BOE＝∠BCE.∴sin∠BOE＝sin∠BCE＝.　　提示：

构造如图的矩形FGDH，则FH＝GD，FG＝HD.由AE∥CD，∠AED＝120°

，得∠EDC＝180°

－120°

＝60°

.根据五边形的内角和为（5－2）×

180°

＝540°

，结合已知条件可知∠BCD＝150°

.从而图中出现了△BFA、△CGB、△DHE共3个含有30°

的直角三角形，它们的三边之比分别为1∶∶2.设EH＝x，则HD＝x＝FG.在Rt△BFA中，FA＝AB＝，FB＝FA＝.∴GC＝GD－1＝FH－1＝＋x，BG＝FG－FB＝x－.在Rt△CGB中，由GC＝BG，得＋x＝，解得x＝.∴S五边形ABCDE＝S矩形FGDH－S△BFA－S△CGB－S△DHE＝4×

－×

×

3－×

＝.

三、4　　

（1）2＋1　

（2）　1　1　1　1　

（1）如图，过点B作BH⊥BC于点H，则BH2＋AH2＝AB2，sinA＝，cosA＝.∴sin2A＋cos2A＝＋＝＝1

（2）∵sin2A＋cos2A＝1，sinA＝，∴cos2A＝1－＝.∵cosA>

0，∴cosA＝

（1）∵D、E是AB、AC的中点，∴DE∥BC，BC＝2DE.又∵BE＝2DE，EF＝BE.∴BC＝EF.又∵D、E、F共线，∴EF∥BC.∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴▱BCFE是菱形　

（2）连接BF交CE于点O.∵在菱形BCFE中，∠BCF＝120°

，CE＝4，∴BF⊥CE，BF＝2OB，∠BCO＝∠BCF＝60°

，OC＝CE＝2.在Rt△BOC中，OB＝OC·

tan∠BCO＝2tan60°

，∴BF＝4tan60°

＝4.∴S菱形BCFE＝CE×

BF＝8　

（1）∵CF⊥DE，∴∠CFG＝90°

.∵AG∥CF，∴∠AGD＝∠CFG＝90°

.∴∠ADG＋∠DAG＝90°

.在正方形ABCD中，∠ADC＝90°

，∴∠ADG＋∠CDF＝90°

.∴∠CDF＝∠DAG.又∵AD＝CD，∠AGE＝∠CFD＝90°

，∴△DCF≌△ADG　

（2）∵E是AB的中点，∴AD＝AB＝2AE.在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2.∴DE＝AE.∵△DCF≌△ADG，∴∠ADG＝∠DCF＝α.∴sinα＝＝＝　

（1）∵双曲线y＝（x>

0）与边BC交于点D（4，m），与边AB交于点E（2,n），∴4m＝k，2n＝k.∴2n＝4m.∴n关于m的函数解析式是n＝2m　

（2）作EF⊥x轴，垂足为F.∵tan∠BAC＝，∴＝，＝.又∵n＝2m，解得∴点D的坐标为（4，1），BC＝BD＋CD＝3.∴k＝4，点B的坐标为（4，3）　

（1）连接OE.∵AC与⊙O相切于点E，∴OE⊥AC.∴∠OEA＝90°

.∵∠ACB＝90°

，∴∠OEA＝∠ACB.∴OE∥BC.∴∠OED＝∠F.∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE.∴∠F＝∠ODE.∴BD＝BF　

（2）设BC＝3x，则AB＝5x，又CF＝1，∴BF＝3x＋1.由

（1）知BD＝BF，∴BD＝3x＋1.∴OE＝OD＝OB＝，OA＝5x－＝.∵OE∥BF，∴∠AOE＝∠B.∴＝，即∶＝3∶5，解得x＝.∴⊙O的半径为＝　

（1）∵AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵PE∥AB，∴∠CPE＝∠A.∴∠CPE＝∠C.∴△PCE是等腰三角形　

（2）∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，∴CM＝CP＝，tanC＝tanA＝k.∴EM＝CM·

tanC＝·

k＝.同理，FN＝AN·

tanA＝·

k＝4k－.∵BH＝AH·

tanA＝×

8·

k＝4k，∴EM＋FN＝BH　（3）当k＝4时，EM＝2x，FN＝16－2x，BH＝16，∴S△PCE＝x·

2x＝x2，S△APF＝（8－x）·

（16－2x）＝（8－x）2，S△ABC＝×

8×

16＝64，S＝S△ABC－S△PCE－S△APF＝64－x2－（8－x）2＝－2x2＋16x＝－2（x－4）2＋32.∴当x＝4时，S有最大值32　

（1）连接OB.∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°

.∵OA＝OB，BA⊥PO于D，∴AD＝BD，∠POA＝∠POB.又∵PO＝PO，∴△PAO≌△PBO（SAS）．∴∠PAO＝∠PBO＝90°

.∴OA⊥PA.∴直线PA为⊙O的切线　

（2）EF2＝4OD·

OP　理由：

∵∠PAO＝∠PDA＝90°

，∴∠OAD＋∠AOD＝90°

，∠OPA＋∠AOP＝90°

.∴∠OAD＝∠OPA.∴△OAD∽△OPA.∴＝，即OA2＝OD·

OP.又∵EF＝2OA，∴EF2＝4OD·

OP.　（3）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴OD＝BC＝3.设AD＝x，∵tanF＝，∴FD＝2x，OA＝OF＝2x－3.在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x－3）2＝x2＋32，解得x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）．∴AD＝4，OA＝2x－3＝5.∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°

.又∵AC＝2OA＝10，BC＝6，∴cos∠ACB＝＝.∵OA2＝OD·

OP，∴3（PE＋5）＝25.∴PE＝　

（1）①由题意知，点E在AB上，DB＝AB，∠DBA＝∠ABC＝60°

.∴△DBA是等边三角形．∴∠DAB＝60°

＝∠ABC.∴DA∥BC　②猜想：

DF＝2AF　理由：

在DF上截取DG＝AF，连接BG（如图①），由已知得DB＝AB，∠BDG＝∠BAF，∴△DBG≌△ABF.∴BG＝BF，∠DBG＝∠FBA.∴∠GBF＝∠GBE＋∠EBF＝∠GBE＋∠DBG＝∠DBE＝60°

.∴△GBF是等边三角形．∴GF＝BF.∵BF＝AF.∴GF＝AF.∴DF＝DG＋GF＝AF＋AF＝2AF.　

（2）如图②，在DF上截取DG＝AF，连接BG.由

（1），同理可证△DBG≌△ABF.∴BG＝BF，∠GBF＝α.过点B作BN⊥GF于点N，∵BG＝BF，∴N为GF的中点，∠FBN＝.在Rt△BFN中，NF＝BF·

sin∠FBN＝BF·

sin＝mAFsin.∴GF＝2NF＝2mAFsin.∴DF＝DG＋GF＝AF＋2mAFsin.∴＝1＋2msin