第十一章反常积分习题课.docx

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第十一章反常积分习题课

第十一章反常积分习题课

一概念叙述

1．叙述收敛的定义．

答：

收敛存在．

．

2．叙述（是暇点）收敛的定义．

答：

收敛存在．

当，有．

3．叙述收敛的柯西准则．

答：

无穷积分收敛的柯西准则是：

任给，存在，只要，便有

．

4．叙述（是暇点）收敛的柯西准则．

答：

瑕积分（瑕点为）收敛的充要条件是：

任给，存在，只要，总有

．

二疑难问题

1．试问收敛与有无联系？

答：

首先，肯定不是收敛的充分条件，例如，但发散．那么是否是收敛的必要条件呢？

也不是！

例如，，都收敛，因为前两个无穷积分经换元得到，=，则，是条件收敛，对于第三个无穷积分，经换元而得=，它也是条件收敛的．从这三个无穷积分的收敛性可以看到，当时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛．

注：

若，则发散．

注：

1）若收敛,且存在,则定有；

2）若收敛,且在上为单调，则；

3）若收敛，且在上一致连续，则；

4）若收敛，且收敛，则．

证：

1）设．若（不妨设），则由极限保号性，，当时满足

于是有

，

于是

而这与收敛相矛盾，故．

2）不妨在上单调增，若在上无上界，则，，当时，使．类似于1）的证明，推知，矛盾．所以在上单调增而有上界，于是由单调有界定理知存在．依据已证得的命题1），．

3）由在上一致连续，则，（设时，就有．又因收敛，故对上述，当时，有

．

现对任何，取，且使此时由

便得这就证得

4）因为收敛，则存在，于是存在，由1）得证．

2．收敛，与收敛，收敛的关系？

答：

1）因为绝对收敛收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例，则

收敛收敛．

2）收敛收敛，

例条件收敛，但

，

发散，发散，则发散．

例收敛，但发散．

3）收敛收敛，

例，对，总存在，使当时，都有

．

故

但对于，

例绝对收敛，即收敛，因为

绝对收敛，即收敛，而，是暇点，取，则，因为收敛．

因为，

收敛．，是暇点，取，则

，

因为，则发散．

例收敛，但发散．

3．（为瑕点）收敛，与收敛，收敛的关系？

答：

1）收敛收敛．因为绝对收敛收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例．

2）收敛收敛，收敛收敛．

反例收敛，但发散．

3）若（为瑕点）收敛，则（为瑕点）收敛．

证因，则由比较原则，可得收敛，从而收敛．

3．下列说法对吗？

1）因为在没有定义，则是瑕积分；

2）因为在没有定义，则是的暇点．

答：

若被积函数在点的近旁是无界的，这时点称为的瑕点．

1）错误，因为，则在的近旁有界，因此不是瑕点，是定积分．若在上连续，（常数），则可看成正常积分，

事实上，定义知在上连续，即存在，而，由于在上连续，知变下限函数在上连续，有，即故可看成正常积分。

2）错误，因为，则在近旁有界，因此不是瑕点．

注我们经常通过证（）来判断为的瑕点．

例因为，则是的暇点．

4．定积分，无穷积分有什么区别？

答1）在可积

在可积在可积

收敛

收敛收敛

2），但对于不一定具有这个性质，因为此时可能发散．

3）在可积，则在上有界，但收敛不能保证在上有界，例如，，不仅不存在，而且在上无界．再如条件收敛，但在上无界．

5．定积分与瑕积分有什么区别？

答收敛（为瑕点）

收敛（为瑕点）收敛（为瑕点）

在可积

在可积在可积

2），但对于（为瑕点）不一定具有这个性质，因为此时可能发散．

3）在可积，则在上有界，但（为瑕点）收敛不能保证在上有界．

注反常积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上积分时，先要检查是否有瑕点，不能把定积分的性质直接平移到反常积分中．

5．定积分哪些性质可以平移到反常积分中？

答：

定积分的线性运算，牛顿莱布尼茨公式，换元积分，分部积分，在反常积分中，仍然成立．若广义积分收敛，也有线性运算法则，不等式性质，也有凑微分，变量替换，分部积分公式，换句话说可以像正常的定积分一样运算。

例如．这里．

由在连续必有原函数，设的原函数为。

于是

．

（为瑕点）；

（为瑕点）．

6．总结对无穷积分（或瑕积分）收敛判别的一般步骤：

1）首先用比较法则及其推论来判别是否绝对收敛,当判得（或

）收敛时,（或）绝对收敛；

2）当判得（或）发散时，还需依赖其它方法（如狄利克雷判别法、阿贝尔（Abel）判别法，或者直接使用收敛定义或柯西收敛准则）来判别（或）是否条件收敛．

注意：

1）看到有限区间上的积分，一定要观察有无瑕点，有瑕点的是瑕积分，没有暇

点的是定积分，定积分是一个数，总认为是收敛的．

2）假如一个积分中既有无穷积分又有瑕积分，首先利用

，

使变成两个积分的和，使其中一个积分是无穷积分，另一个是瑕积分．

3）假如积分中有两个暇点，利用，使变成两个积分的和，一个积分中只有1个瑕点．

4）假如积分中既有，又有，先利用．

7．在确定反常积分类型时有哪些值得注意的地方？

答

（1）有时，无穷积分与瑕积分存在于同一个反常积分中，例如

这个形式上的无穷积分，其实还含有瑕点（当）这时需要先把它拆成几个单纯形式的反常积分：

当且仅当这四个反常积分都收敛时，原来的反常积分才是收敛的．显然，其中的瑕积分

都是发散的，故原来的反常积分亦为发散．

（2）不要把瑕积分混淆为定积分，例如．其实它是一个以为瑕点的瑕积分，必须先化为

而后讨论等号右边的两个瑕积分，当且仅当它们都收敛时，等号左边的瑕积分才是收敛的．显然，这里两个瑕积分（等号右边）都是发散的，故原来的瑕积分亦为发散．需要注意的是，不要误将这个瑕积分当作是定积分，并利用奇函数在[-1,1]上的积分值为0，轻率地得出这样一个错误的结论．

8.两个发散的无穷积分的代数和是否必为发散？

答不一定．如果，则有

发散；

至于是否收敛，则无肯定结论．

三重要例题

1．重要结论：

1）当时,反常积分收敛；时反常积分发散．

2），当时,反常积分收敛；时反常积分发散．

3）与当时绝对收敛，当时条件收敛，当时发散．

2．计算下列反常积分：

1）；2）；

3）（）．

解1）．

2）

3）法1：

为去根号，令，则，于是

法2：

为去根号，还可以令，则，于是

3．判断下列无穷积分的敛散性：

1）；2）；

3）；

1）分析，根据定理3，是比高阶的无穷大量，即不论是何值，，而根据柯西判别法，只能判定收敛，因此我们取为任何一个大于的数．

解取为任何一个大于的数，不妨取，因为，因此根据柯西判别法知，对任何，无穷积分都收敛．

2）取使中分子分母最高次数相同，则取．

因为，因此根据柯西判别法知，是发散的．

3）解，根据定理3，是比的高阶的无穷大量，当，，而根据柯西判别法，只能判定收敛，因此需要取，即当时，收敛；当时，．而根据柯西判别法，只能判定发散，因此需要取，即当时，发散．

小结：

的取法：

取法1若或或，则的选取方法是让中分子分母的最高次数相同，其中．

以说明为例，由定理1、2有

取，则，根据柯西判别法，若，则收敛，若，则发散．

取法2若中含有或，则要借助于下面定理来取．

定理对任意的正数和任意常数，当，函数是比的高阶的无穷大量，函数是比高阶的无穷大量．

4．判别下列瑕积分的收敛性：

1）；2）；

3）；4）；

5）．

解五个瑕积分的被积函数在各自的积分区间上分别保持同号——上

恒为负，在上恒为正，等——所以它们的瑕积分收敛与绝对收敛是同一回事．

1）此瑕积分的瑕点为．

分析，

当时，由于，则，而极限为0只能判收敛，而要判收敛，取，因此取的一个数．

取时，有

，

所以瑕积分1）收敛．

2）此瑕积分的瑕点为．

分析，

当，分子分母为无穷小量，考虑等价无穷小替换，

，取，则．

取时，由

==1，

推知该瑕积分发散．

小结：

取法：

取法1：

先找等价无穷小量，让分子分母中无穷小量次数相同，即当，让的次数相同当，让的次数相同．

取法2：

利用，而极限等于0只能判收敛，取．

3）此瑕积分的瑕点为，，

当时，由于，则，而极限为0只能判收敛，而要判收敛，取，因此取的一个数．

取时，有

，

所以瑕积分3）收敛．

4）此瑕积分的瑕点为．，

当时，由于，则，而极限为0只能判收敛，而要判收敛，取，因此取的一个数．

取时，有

，

所以瑕积分4）收敛．

5）此瑕积分的瑕点为，，

，

对于，此瑕积分的瑕点为，

取时，则，瑕积分发散，因此发散．

5．讨论下列积分的收敛性

1）；2）．

1）分析:

被积函数在上为非负函数,为参数．时,0点为瑕点；时,1为瑕点；时为正常积分．

解:

时原积分为正常积分；

时,瑕点为．此时,故收敛；

时,瑕点为．当时,

故原积分在时收敛,在时发散．

综上,时,收敛,时发散．

2）．

当，是正常积分，当时，当时,,故时,收敛,时,发散；

（由于只要,极限便为零,从而收敛）

当时,,此时收敛,

当时,,此时发散．

综上知,当时,收敛,其它情况时发散．

6．证明：

若收敛，则亦必收敛．

分析由于条件中没有指出是否保持定号，也没有说是绝对收敛，因此不能用比较法则错误地写成：

且收敛，故绝对收敛．

正确的作法应该借助狄利克雷判别法或阿贝尔判别法来证明．

证由于

而收敛，在上单调有界，故由阿贝尔判别法证得收敛．