四年级奥数秋季班讲义上文档格式.docx
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例3有这样一列数，1，2，3,4……99,100。
请你写出这列数各项相加的和。
分析如果我们把数列1，2，3,4……99,100与数列100,99,98,97……2,1进行相加，相当于采用两两配对的方法进行求和，并且每对的和为101,共有100个这样的对，从而可以得到所求数列的和。
例4求等差数列2、4、6……48、50的和。
分析这个数列是公差为2的等差数列，可以根据公式之间计算。
注意：
要求一数列的和需要先求出项数。
练习：
1、等差数列中，首项为1，末项为39，公差为2，这个等差数列共有多少项？
2、有一个等差数列：
2、5、8、11……101，这个等差数列共有多少项？
3、已知等差数列11、16、21、26……1001，问这个数列共有多少项？
4、一等差数列，首项为3，公差为2，项数是10，求它的末项是多少？
5、求数列1、5、9、13……这个等差数列的第20项。
6、求等差数列1、4、7、10……这个等差数列的第30项。
7、求等差数列2、6、10、14……这个等差数列的第100项。
8、计算下面各题：
（1）1＋2＋3＋4＋……＋49＋50
（2）6＋7＋8＋9＋……＋75
（3）2＋6＋10＋14＋18＋22
（4）17＋19＋21＋…＋39；
（5）5＋8＋11＋14＋…＋50
巧妙求和
（二）
某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和，才可以用等差数列求和公式计算。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可以考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
例1小林读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读了60页，正好读完，这本书共有多少页？
分析根据“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天的读的页数是按照一定的规律排列的数，即30、33、36……57、60。
要求这本书共有多少页就是求出这列数的和。
这列数是一个等差数列，首项是30，末项是60，项数是11，因此可以根据等差数列的公式求解总和。
例2一些同样粗细的圆木，像如图所示的一样均匀的堆放在一起，已知最下面一层有70根，那么一共有多少根圆木？
分析根据图可以发现这是一个公差是1的等差数列，首项是1，末项是70，要求一共有多少根圆木，其实就是求这个等差数列的和。
可以根据通项公式求解计算。
例330把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
分析开第一把锁时如果不凑巧，试了29把钥匙都还不行，那么剩下的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要29次，同样的，开第二把锁至多需要试28次，开第三把锁至多需要试27次……等打开第29把锁时，剩下的一把就不用试了，一定能打开。
所以，至多需要29＋28＋27＋……＋1次，从而将实际问题转化成了等差数列的求和问题。
例4某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手，那么共握了多少次手？
分析假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个人依次和剩下的人握手，共握了49次，第三个人握了48次，依此类推，第50个人和剩下的人握了一次手，这样他们握手的次数如下：
50、49、48、……、2、1。
例5求1～99个连续自然数的所有数字之和。
分析注意首先要求的是99个连续自然数的数字之和，而不是求着99个数的和。
为了能方便求解，我们不妨把0算进来（它不影响我们求数字之和），计算0～99这100个数字之和，这100个数头尾两两配对后每两个数字之和都相等，都是9＋9=18，一共有100÷
2=50对，所以1～99个连续自然数的所有数字之和是18×
50=900。
1、刘师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完，这批零件共有多少个？
2、莉莉学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学了1个，最后一天学会了16个，莉莉在这些天中学会了多少个单词？
3、用相同的小立方体摆成如右图所示的图形，那么第10层有多少个小立方体
4、有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
5、有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁有配上自己的钥匙，问一共有几把锁的钥匙搞乱了？
6、学校进行乒乓球比赛，每个参赛选手都要和其他所有的参赛选手各赛一场，如果有21人参加比赛，问一共要进行多少场比赛？
7、一次同学聚会中，参加的有43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握手一次手。
那么一共握了多少次？
8、求1～199的199个连续自然数的所有数字之和。
9、求1～999的999个连续自然数的所有数字之和。
加法乘法原理与几何计算
知识点梳理
1、加法原理：
如果完成一项任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这项任务共有：
m1+m2.......+mn种不同的方法。
关键问题：
确定工作的分类方法。
基本特征：
每一种方法都可完成任务。
2、乘法原理：
如果完成一项任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这项任务共有：
m1×
m2.......×
mn种不同的方法。
确定工作的完成步骤。
每一步只能完成任务的一部分。
例1、从南通到上海有两条路可走，从上海到南京有三条路可走。
王叔叔从南通经过上海到南京去，有几种方法？
分析：
用图中的序号表示其中的5条路。
可以将王叔叔的各种走法根据线路示意图一一列举出来。
例2、用红、黄、蓝三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？
要使信号不同，就要求每一种信号颜色的顺序不同，把这些不同的信号一一列举出来即可。
例3、有三张数字卡片，分别为3,6,0。
从中挑出两张排成一个两位数，一共可以排成多少个两位数？
排成时要注意“0”不能排在最高位，从而可以进行分类考虑：
当十位上是6或者是3时所得数的个数。
例4、从1~8这八个数中，每次取两个数，要使它们的和大于8，有多少种取法？
为了既不重复又不遗漏的统计出结果，应该按一定的顺序分类列举，可以按照“几+8，几+7，几+6，几+5”的顺序来思考。
例5、在一次足球比赛中，4个对进行循环赛，需要比赛多少场？
4个队进行循环赛，也就是说4个队每两个队都要赛一场，设4个队分别为A、B、C、D可将他们两两比赛的情况列举出来。
例6、用0、5、4、9排成各位数字不同的三位数，共可以排成多少个？
其中最小的数是多少？
最大的数是多少？
要排成各位数字不同的三位数，我们知道这个数的首位一定不能是0，因此首位数字只能是5、4、9共有三种情况，首位选定后，只剩下三个数字了，十位数字就可以从这剩下的三个数中选取，共有三种情况，同样地，十位选好后只剩下两个数字了，各位数字就只能从这两个数字中选取了，只有两种情况，最后运用乘法原理可以求出结果。
1.从甲地到乙地，有两条直达铁路和四条直达公路，那么从甲地到乙地有多少种不同的走法？
2．从甲地到乙地有两条直达铁路，从乙地到丙地有四条直达公路，那么从甲地到丙地有多少种不同的走法？
3．甲、乙、丙三个同学排成一排，有几种不同的排法？
4.用8、6、3、0这四个数字，可以组成多少个不同的三位数？
最大的一个是多少？
5．从1~6这六个数字中，每次取两个数，要使它们的和大于6，有多少种取法？
6．在一次乒乓球比赛中，参加比赛的对进行循环赛，一共赛了28场，问共有几个队参加比赛？
7．用0、1、3、4、5排成各位数字不同的四位数，共可以排成多少个？
8．从1～10这十个数中，每次取两个数，要使它们的和大于10，有多少种取法？
巧数图形
1、直线：
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
线段：
直线上任意两点间的距离。
这两点叫端点。
射线：
把直线的一端无限延长。
2、直线特点：
没有端点，没有长度。
线段特点：
有两个端点，有长度。
射线特点：
只有一个端点；
没有长度。
3、①数线段规律：
总数＝1+2+3+…+（点数一1）；
②数角规律：
总数=1+2+3+…+（射线数一1）；
③数长方形规律：
个数=长的线段数×
宽的线段数：
④数正方形规律：
个数=1×
1+2×
2+3×
3+…+行数×
列数
例1、数出下面图形有多少条线段。
要正确解答这类问题，需要按照一定的顺序来数，做到不重复、不遗漏，因此我们可以分别从A点、B点、C点出发数线段。
想一想：
请你数一数下面图中各有多少条线段？
（注意：
线段都是直的）
例2、数一数图中有多少个锐角。
数角的方法和数线段的方法类似，图中的5条射线相当于线段上的5个点，因此要求图中有多少个锐角可根据公式求解。
例3、数一数下图中各有多少个三角形。
前图中AD边上的每条线段与顶点O构成了一个三角形，也就是说AD边上有几条线段就构成了几个三角形；
后图与前图相比，后图中多了一条线段
三角形的个数应是AD和
上面的线段与点O所围成的三角形个数的和。
想一想下图中共有多少个三角形？
例4、数一数图中有多少个长方形。
图1图2
数长方形与数线段的方法类似，图1中长方形的个数取决于AB或CD边上的线段；
图2可以先算出AB边上的线段数，再把AB边上的每条线段作为长，AD边上的每条线段作为宽，每一个长配一个宽就组成长方形。
例5、数一数图中有多少个正方形（每个小方格为边长是1的正方形）。
图中边长是1个单位长度的正方形有3×
3=9（个），边长是2个单位长度的正方形有2×
2=4（个），边长是3个单位长度的正方形有1×
1=1（个）。
所以图中的正方形总数为1×
3=14（个）。
经进一步分析可以发现，有相同的n×
n个小方格组成的n行n列的正方形其中的小正方形总数为：
1×
3+…+n×
n。
例6从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同的车票？
这些车票中有多少种不同的票价？
这道题是数线段的方法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这条铁路上共有10个站，共有1+2+3+…+8+9=45（条）线段，因此，要准备45种不同的车票，由于这些车站之间的距离各不相同，因此，有多少种不同的车票，就有多少种不同的票价，所以有45种不同的票价。
你能在生活中找到一些能够转化为数线段问题的例子吗？
请你回答下面两个问题：
（1）、在一次篮球比赛中，6个队进行循环赛，需要比赛多少场？
（2）10个好朋友两两握手，一共可以握多少次？
思考题：
例7下图中共有多少个三角？
为了保证不漏数而又不重复，我们可以分类来数三角形，分为包含有1个、2个、3个、6个小三角形组合成的三角形个数，然后再把各类三角形的个数相加。
例8数出右图中所有三角的个数。
同位置的三角形一起数，例如：
AFG、BGM、CIM、DIJ、JEF是同类。
例9数一数，下图中共有多少个三角形。
1.数下列图形中分别有多少条线段。
2.下列图形中，各有多少个角？
3.下列图形中各有多少个三角形？
4．数一数下图中各有多少个长方形。
5．下列图形中各有多少个正方形？
6．
（1）从上海到青岛的某次直快列车，中途停靠6个大站，这次列车有几种不同的票价？
（2）从成都到南京的快车，中途停靠9个大站，有几种不同的票价？
7．数出下面图中分别有多少个三角形。
8.图中共有（）个三角形。
和倍问题
1、和倍问题：
已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题叫做和倍问题。
2、基本数量关系：
例1、学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍，两种书各有多少本？
为了便于理解题意，我们画图来分析：
如果把故事书的本数看作1份，那么科技书的本数就是这样的3份，两种书的总份数是＿份，可以把480本书平均分成＿份，1份是故事书的本数，3份就是科技书的本数。
例2、果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵树是苹果树的3倍，桃树的棵树是苹果树的4倍，求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？
如果把苹果树的棵树看作1份，三种树的总棵树共有＿份，从而可以算出苹果树的棵树，再求出梨树和桃树的棵树。
例3、有3个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一个的2倍，第三个书橱里的书是第二个的4倍，每个书橱里各放了多少本书？
把第一个书橱里的本数看作1份，那么第二个书橱里的本数是这样的2份，第三个就是这样的＿份，三个书橱里的总本数是这样的＿份，所以第一个书橱里放了＿本书，再求出第二个、第三个里放的书即可。
例4、少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵树比柳树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？
如果杨树少种20棵，那么杨树和柳树的总棵树是＿棵，这时杨树的棵树恰好是柳树的＿倍，于是柳树的棵树与杨树的棵树都可以算出来。
例5、三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米，三个队各筑了多少米？
把乙队的米数看作是1份，甲队筑的米数是这样的2份，假设丙队多筑了240米，三队共筑了＿米，正好是乙队的＿倍，再算丙队筑的米数。
1.一块长方形的黑板的周长是96分米，长是宽的3倍，这块长方形黑板的长和宽是多少分米？
2．甲、乙、丙三数的和是360，又知甲为乙的3倍，丙为乙的2倍，求甲、乙、丙各是多少？
3．三块钢板共重621千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块的2倍。
三块钢板各重多少千克？
4．小花和小明参加数学竞赛，两人共得168分，小花的得分比小明的2倍少42分，两人各得了多少分？
5．三个植树队共植树1900棵，甲队植树的棵树是乙队的2倍，乙队比丙队少300棵，三个队各植了多少棵？
6．全校共有777人参加三个兴趣小组，其中参加美术组的人数是风筝组的5倍，参加风筝组的人数是音乐组的6倍。
参加这三个兴趣小组的分别有多少人？
7．春华小学共有学生212人，其中男生人数比女生人数的2倍少55人，春华小学有男生、女生各多少人？
8．希望小学新买进篮球、足球和排球共58只，排球的只数是足球的2倍，篮球比足球少6只。
篮球、足球和排球各买进多少只？
长方形、正方形的周长
我们知道，长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。
如何用所学的知识巧妙求出表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需要灵活运用所学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算他们的周长。
公式：
长方形的周长=（长+宽）×
正方形的周长=边长×
4
例题1.一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的总面积为192平方厘米。
现在这块木板的周长是多少厘米？
把截掉的192平方厘米分成A、B、C三块（如图），可先计算出A与B的和，把A、B移到一起拼成一个宽4厘米的长方形，因此长方形的长就是这块木板剩下的部分的周长的一半。
例题2.求右图的周长。
（单位：
厘米）
例题3、如右图的正方形分成甲、乙两部分，下面哪几句话正确的？
A甲的周长比乙大
B甲乙周长相等
C甲的面积比乙大
D甲乙面积相等
可以从图中直接得出甲乙两图的大小关系。
例题4、如下图，阴影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米。
求最大的长方形的周长。
根据题意，可分析出最大长方形的宽就是正方形的边长。
因为BC=EF,CF=DE,所以，AB+BC+CF=AB+FE+ED=9+6=15（厘米）。
1、有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少44平方米，且剩下部分正好是一个正方形，求这个正方形的周长。
2、有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按右图所示叠放在一起，这个图形的周长是多少？
3、求下列图形的周长（单位：
厘米）。
4、一个长12厘米，宽2厘米的长方形和两个正方形正好拼成下图长方形，求所拼长方形的周长。
5、有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。
6、右图是边长为4厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。
7、在一个长方形硬纸板的一角任意剪去一个正方形，剩下的图形的周长发生了怎样的变化？
8、有2个相同的长方体，长7厘米，宽3厘米，如下图重叠着，求重叠图形的周长。
图形问题
图形问题主要是解决图形的面积问题的。
在解决图形问题时应该先从整体上观察图形的特征，掌握图形的本质，找出图中隐藏的条件，然后将图形进行合理的切拼，从而使问题得以顺利的解决。
例1、人民路小学操场长90米，宽45米，改造后，长增加10米，宽增加5米。
现在操场面积比原来增加了多少平方米？
例2、一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米，如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？
由“如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米”可以求出它的宽；
又由“如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米”可以知道它的长，从而可以求出原来正方形的面积。
例3、下图是一个养禽专业户用一段长16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求占地面积有多大？
因为一面利用着墙，所以两条长加一条宽等于16米，而宽已知，可以求出长，再计算面积。
例4、街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米？
把正方形分成如图所示的四个同样大小的长方形，因此一个长方形的面积是12÷
4=3平方米。
因为水泥路宽1米，所以小长方形的长是3÷
1=3米，从图中可以看出正方形的花坛的边长是小正方形长与宽的差，所以小正方形的边长是3－1=2米，中间花坛的面积就可以计算出来了。
例5、一块正方形的钢板，先截去宽5分米的长方形，又截去宽8分米的长方形：
（如图）面积比原来的正方形减少181平方分米，原正方形的边长是多少？
把阴影部分剪下来的两小长方形拼合起来（如图），再补上长、宽分别是8分米、5分米的小长方形，这个拼合成的长方形的面积是181+8＋5=221（平方分米），长是原来正方形的边长，宽是8+5=13分米。
所以原来正方形的边长是221÷
13=17分米。
1.有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米，如果长和宽分别减少10分米、3分米，面积比原来减少多少平方分米？
2．一块长方形铁板，长18分米，宽13分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米？
3．一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米，如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？
4．一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米，如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？
5．下图1是一个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求养鸡场的占地面积有多大？
图1
6.用56米长的木栏围成长或宽是20米的长方形，其中一边利用围墙，怎样才能使围成的面积最大？
7.有一个正方形的水池，如图2的阴影部分，在它的周围修一个宽8米的花池，花池的面积的480平方米，求水池的边长？
图2
8.一个正方形一条边减少6分米，另一条边减少10分米后变为一个长方形，这个长方形的面积比正方形的面积少260平方分米，求原来正方形的边长？
逻辑推理
基本方法：
排除法、假设法、反证法、列表法、图表法。
解题步骤：
1、选准突破口。
2、逐步推理，排除不可能的情况。
3、对可能出现的情况作出假设，并判断是否真确。
例1、有三个小朋友再谈论谁做的好事多。
东东说：
“兰兰做的比芳芳多。
”兰兰说：
“东东做的比芳芳多。
”芳芳说：
“兰兰做的比东东少。
”这三位小朋友中，谁做的好事最多？
谁做的好事最少？
例2、一个正方体，六个面上分别写上ABCDEF，你能根据这个正方体的不同的摆法，求出相对的两个面的字母是什么吗？
如果找不出他们相对的是什么，可以先找他们相邻的是什么，再用排除法解题。
例3、甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃窗，甲说：
“是丙打碎的”。
乙说：
“我没有打碎玻璃窗”，丙说：
“是乙打碎的。
”他们当中只有一个说了谎话，到底是谁打碎了玻璃窗？
由题意可知，只有一个人说谎话，而乙和丙的话正好是相反的，因此必然是一对一错，可以以此作为假设的出发点，推理时可以先假设乙说的话是错的，那么甲和丙的话都是实话，但是出现了矛盾，因此我们可以再次假设乙的话的对的，那么丙的话就是错的，从而可以得出玻璃是丙打碎的，再验证一下，看结论和条件是否矛盾，再得出正解。
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