四年级奥数秋季班讲义上文档格式.docx

1、例3 有这样一列数，1，2，3,499,100。请你写出这列数各项相加的和。分析 如果我们把数列1，2，3,499,100与数列100,99,98,972,1进行相加，相当于采用两两配对的方法进行求和，并且每对的和为101,共有100个这样的对，从而可以得到所求数列的和。例4 求等差数列2、4、648、50的和。分析 这个数列是公差为2的等差数列，可以根据公式之间计算。注意：要求一数列的和需要先求出项数。练习：1、 等差数列中，首项为1，末项为39，公差为2，这个等差数列共有多少项？2、 有一个等差数列：2、5、8、11101，这个等差数列共有多少项？3、 已知等差数列11、16、21、261

2、001，问这个数列共有多少项？4、 一等差数列，首项为3，公差为2，项数是10，求它的末项是多少？5、 求数列1、5、9、13这个等差数列的第20项。6、 求等差数列1、4、7、10这个等差数列的第30项。7、 求等差数列2、6、10、14这个等差数列的第100项。8、 计算下面各题：（1）12344950（2）678975（3）2610141822（4）17192139；（5）58111450巧妙求和（二）某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可以用等差数列求和公式计算。在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，

3、有时可以考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。例1 小林读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读了60页，正好读完，这本书共有多少页？分析 根据“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天的读的页数是按照一定的规律排列的数，即30、33、3657、60。要求这本书共有多少页就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项是30，末项是60，项数是11，因此可以根据等差数列的公式求解总和。例2 一些同样粗细的圆木，像如图所示的一样均匀的堆放在一起，已知最下面一层有70根，那么一共有多少根圆木？分析 根据图可以发现这是一

4、个公差是1的等差数列，首项是1，末项是70，要求一共有多少根圆木，其实就是求这个等差数列的和。可以根据通项公式求解计算。例3 30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？分析 开第一把锁时如果不凑巧，试了29把钥匙都还不行，那么剩下的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要29次，同样的，开第二把锁至多需要试28次，开第三把锁至多需要试27次等打开第29把锁时，剩下的一把就不用试了，一定能打开。所以，至多需要2928271次，从而将实际问题转化成了等差数列的求和问题。例4 某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手，那么共握了多少次手？分析 假设51个同学排

5、成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个人依次和剩下的人握手，共握了49次，第三个人握了48次，依此类推，第50个人和剩下的人握了一次手，这样他们握手的次数如下：50、49、48、2、1。例5 求199个连续自然数的所有数字之和。分析 注意首先要求的是99个连续自然数的数字之和，而不是求着99个数的和。为了能方便求解，我们不妨把0算进来（它不影响我们求数字之和），计算099这100个数字之和，这100个数头尾两两配对后每两个数字之和都相等，都是99=18，一共有1002=50对，所以199个连续自然数的所有数字之和是1850=900。1、 刘师傅做一批零件，第一天做了20个，以

6、后每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完，这批零件共有多少个？2、 莉莉学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学了1个，最后一天学会了16个，莉莉在这些天中学会了多少个单词？3、 用相同的小立方体摆成如右图所示的图形，那么第10层有多少个小立方体4、 有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？5、 有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁有配上自己的钥匙，问一共有几把锁的钥匙搞乱了？6、 学校进行乒乓球比赛，每个参赛选手都要和其他所有的参赛选手各赛一场，如果有21人参加比赛，问一共要进行多少场比赛？7、 一次同学聚会中，参加的

7、有43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握手一次手。那么一共握了多少次？8、 求1199的199个连续自然数的所有数字之和。9、 求1999的999个连续自然数的所有数字之和。加法乘法原理与几何计算知 识 点 梳 理1、 加法原理：如果完成一项任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这项任务共有：m1+ m2. +mn种不同的方法。关键问题：确定工作的分类方法。基本特征：每一种方法都可完成任务。2、 乘法原理：如果完成一项任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总

8、有m2种方法不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这项任务共有：m1m2. mn种不同的方法。确定工作的完成步骤。每一步只能完成任务的一部分。例1、从南通到上海有两条路可走，从上海到南京有三条路可走。王叔叔从南通经过上海到南京去，有几种方法？分析：用图中的序号表示其中的5条路。可以将王叔叔的各种走法根据线路示意图一一列举出来。例2 、用红、黄、蓝三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？要使信号不同，就要求每一种信号颜色的顺序不同，把这些不同的信号一一列举出来即可。例3、有三张数字卡片，分别为3,6,0。从中挑出两张排成一个两位数，一共可以排成多少个两位数？排成时要

9、注意“0”不能排在最高位，从而可以进行分类考虑：当十位上是6或者是3时所得数的个数。例4、 从18这八个数中，每次取两个数，要使它们的和大于8，有多少种取法？为了既不重复又不遗漏的统计出结果，应该按一定的顺序分类列举，可以按照“几+8，几+7，几+6，几+5”的顺序来思考。例5、 在一次足球比赛中，4个对进行循环赛，需要比赛多少场？4个队进行循环赛，也就是说4个队每两个队都要赛一场，设4个队分别为A、B、C、D可将他们两两比赛的情况列举出来。例6、用0、5、4、9排成各位数字不同的三位数，共可以排成多少个？其中最小的数是多少？最大的数是多少？要排成各位数字不同的三位数，我们知道这个数的首位一定

10、不能是0，因此首位数字只能是5、4、9共有三种情况，首位选定后，只剩下三个数字了，十位数字就可以从这剩下的三个数中选取，共有三种情况，同样地，十位选好后只剩下两个数字了，各位数字就只能从这两个数字中选取了，只有两种情况，最后运用乘法原理可以求出结果。1. 从甲地到乙地，有两条直达铁路和四条直达公路，那么从甲地到乙地有多少种不同的走法？2从甲地到乙地有两条直达铁路，从乙地到丙地有四条直达公路，那么从甲地到丙地有多少种不同的走法？3甲、乙、丙三个同学排成一排，有几种不同的排法？4. 用8、6、3、0这四个数字，可以组成多少个不同的三位数？最大的一个是多少？5从16这六个数字中，每次取两个数，要使它

11、们的和大于6，有多少种取法？6在一次乒乓球比赛中，参加比赛的对进行循环赛，一共赛了28场，问共有几个队参加比赛？7用0、1、3、4、5排成各位数字不同的四位数，共可以排成多少个？8从110这十个数中，每次取两个数，要使它们的和大于10，有多少种取法？巧数图形1、直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。射线：把直线的一端无限延长。2、直线特点：没有端点，没有长度。线段特点：有两个端点，有长度。射线特点：只有一个端点；没有长度。3、数线段规律：总数1+2+3+（点数一1）；数角规律：总数=1+2+3+（射线数一1）；数长方形规律：个数

12、=长的线段数宽的线段数：数正方形规律：个数=11+22+33+行数列数例1、数出下面图形有多少条线段。要正确解答这类问题，需要按照一定的顺序来数，做到不重复、不遗漏，因此我们可以分别从A点、B点、C点出发数线段。想一想：请你数一数下面图中各有多少条线段？（注意：线段都是直的） 例2、数一数图中有多少个锐角。数角的方法和数线段的方法类似，图中的5条射线相当于线段上的5个点，因此要求图中有多少个锐角可根据公式求解。例3、数一数下图中各有多少个三角形。 前图中AD边上的每条线段与顶点O构成了一个三角形，也就是说AD边上有几条线段就构成了几个三角形；后图与前图相比，后图中多了一条线段,三角形的个数应是

13、AD和上面的线段与点O所围成的三角形个数的和。想一想下图中共有多少个三角形？例4、 数一数图中有多少个长方形。 图1 图2数长方形与数线段的方法类似，图1中长方形的个数取决于AB或CD边上的线段；图2可以先算出AB边上的线段数，再把AB边上的每条线段作为长，AD边上的每条线段作为宽，每一个长配一个宽就组成长方形。例5、数一数图中有多少个正方形（每个小方格为边长是1的正方形）。图中边长是1个单位长度的正方形有33=9（个），边长是2个单位长度的正方形有22=4（个），边长是3个单位长度的正方形有11=1（个）。所以图中的正方形总数为13=14（个）。经进一步分析可以发现，有相同的nn个小方格组成

14、的n行n列的正方形其中的小正方形总数为：13+nn。例6 从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同的车票？这些车票中有多少种不同的票价？这道题是数线段的方法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这条铁路上共有10个站，共有1+2+3+8+9=45（条）线段，因此，要准备45种不同的车票，由于这些车站之间的距离各不相同，因此，有多少种不同的车票，就有多少种不同的票价，所以有45种不同的票价。你能在生活中找到一些能够转化为数线段问题的例子吗？请你回答下面两个问题：（1）、在一次篮球比赛中，6个队进行循环赛，需要比赛多少场？ （2）10个好朋友两两握手，一共可以握

15、多少次？思考题：例7 下图中共有多少个三角？为了保证不漏数而又不重复，我们可以分类来数三角形，分为包含有1个、2个、3个、6个小三角形组合成的三角形个数，然后再把各类三角形的个数相加。例8 数出右图中所有三角的个数。同位置的三角形一起数，例如：AFG、BGM、CIM、DIJ、JEF是同类。例9 数一数，下图中共有多少个三角形。1. 数下列图形中分别有多少条线段。2.下列图形中，各有多少个角？ 3.下列图形中各有多少个三角形？4数一数下图中各有多少个长方形。5下列图形中各有多少个正方形？6（1）从上海到青岛的某次直快列车，中途停靠6个大站，这次列车有几种不同的票价？（2）从成都到南京的快车，中途

16、停靠9个大站，有几种不同的票价？7数出下面图中分别有多少个三角形。8. 图中共有（ ）个三角形。和倍问题1、和倍问题：已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题叫做和倍问题。2、基本数量关系：例1、学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍，两种书各有多少本？为了便于理解题意，我们画图来分析：如果把故事书的本数看作1份，那么科技书的本数就是这样的3份，两种书的总份数是份，可以把480本书平均分成份，1份是故事书的本数，3份就是科技书的本数。例2、果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵树是苹果树的3倍，桃树的棵树是苹果树的4倍，求梨树、桃树和苹果树

17、各有多少棵？如果把苹果树的棵树看作1份，三种树的总棵树共有份，从而可以算出苹果树的棵树，再求出梨树和桃树的棵树。例3、有3个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一个的2倍，第三个书橱里的书是第二个的4倍，每个书橱里各放了多少本书？把第一个书橱里的本数看作1份，那么第二个书橱里的本数是这样的2份，第三个就是这样的份，三个书橱里的总本数是这样的份，所以第一个书橱里放了本书，再求出第二个、第三个里放的书即可。例4、少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵树比柳树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？如果杨树少种20棵，那么杨树和柳树的总棵树是棵，这时杨树的棵树恰好是柳树的倍，于是柳树的棵树与杨树

18、的棵树都可以算出来。例5、三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米，三个队各筑了多少米？把乙队的米数看作是1份，甲队筑的米数是这样的2份，假设丙队多筑了240米，三队共筑了米，正好是乙队的倍，再算丙队筑的米数。1. 一块长方形的黑板的周长是96分米，长是宽的3倍，这块长方形黑板的长和宽是多少分米？2甲、乙、丙三数的和是360，又知甲为乙的3倍，丙为乙的2倍，求甲、乙、丙各是多少？3三块钢板共重621千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块的2倍。三块钢板各重多少千克？4小花和小明参加数学竞赛，两人共得168分，小花的得分比小明的2倍少42分，两人

19、各得了多少分？5三个植树队共植树1900棵，甲队植树的棵树是乙队的2倍，乙队比丙队少300棵，三个队各植了多少棵？6全校共有777人参加三个兴趣小组，其中参加美术组的人数是风筝组的5倍，参加风筝组的人数是音乐组的6倍。参加这三个兴趣小组的分别有多少人？7春华小学共有学生212人，其中男生人数比女生人数的2倍少55人，春华小学有男生、女生各多少人？8希望小学新买进篮球、足球和排球共58只，排球的只数是足球的2倍，篮球比足球少6只。篮球、足球和排球各买进多少只？长方形、正方形的周长我们知道，长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。如何用所学的知识巧妙求出表面上看起来不是长方

20、形或正方形的图形的周长，还需要灵活运用所学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算他们的周长。公式：长方形的周长=（长+宽） 正方形的周长=边长4例题1.一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的总面积为192平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米？把截掉的192平方厘米分成A、B、C三块（如图），可先计算出A与B的和，把A、B移到一起拼成一个宽4厘米的长方形，因此长方形的长就是这块木板剩下的部分的周长的一半。例题2.求右图的周长。（单位：厘米）例题3、如右图的正方形分成甲、乙两部分，下面哪几句话正确的？A 甲的周长比乙大B 甲乙周长相等 C 甲的面积

21、比乙大 D 甲乙面积相等可以从图中直接得出甲乙两图的大小关系。例题4、如下图，阴影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米。求最大的长方形的周长。根据题意，可分析出最大长方形的宽就是正方形的边长。因为BC=EF,CF=DE,所以，AB+BC+CF=AB+FE+ED=9+6=15（厘米）。1、有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少44平方米，且剩下部分正好是一个正方形，求这个正方形的周长。2、有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按右图所示叠放在一起，这个图形的周长是多少？3、求下列图形的周长 （单位：厘米）。4、一个长12厘米，宽2厘米的长方形和两个正方形正好拼成

22、下图长方形，求所拼长方形的周长。5、有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。6、右图是边长为4厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。7、在一个长方形硬纸板的一角任意剪去一个正方形，剩下的图形的周长发生了怎样的变化？8、有2个相同的长方体，长7厘米，宽3厘米，如下图重叠着，求重叠图形的周长。图形问题图形问题主要是解决图形的面积问题的。在解决图形问题时应该先从整体上观察图形的特征，掌握图形的本质，找出图中隐藏的条件，然后将图形进行合理的切拼，从而使问题得以顺利的解决。例1、 人民路小学操场长90米，宽45米，改造后，

23、长增加10米，宽增加5米。现在操场面积比原来增加了多少平方米？例2、 一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米，如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？由“如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米”可以求出它的宽；又由“如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米”可以知道它的长，从而可以求出原来正方形的面积。例3 、下图是一个养禽专业户用一段长16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求占地面积有多大？因为一面利用着墙，所以两条长加一条宽等于16米，而宽已知，可以求出长，再计算面积。例4 、街心花园中一个正方形的花

24、坛四周有1米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米？把正方形分成如图所示的四个同样大小的长方形，因此一个长方形的面积是124=3平方米。因为水泥路宽1米，所以小长方形的长是31=3米，从图中可以看出正方形的花坛的边长是小正方形长与宽的差，所以小正方形的边长是31=2米，中间花坛的面积就可以计算出来了。例5 、 一块正方形的钢板，先截去宽5分米的长方形，又截去宽8分米的长方形：（如图）面积比原来的正方形减少181平方分米，原正方形的边长是多少？把阴影部分剪下来的两小长方形拼合起来（如图），再补上长、宽分别是8分米、5分米的小长方形，这个拼合成的长方形的面积是181

25、+85=221（平方分米），长是原来正方形的边长，宽是8+5=13分米。所以原来正方形的边长是22113=17分米。1.有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米，如果长和宽分别减少10分米、3分米，面积比原来减少多少平方分米？2一块长方形铁板，长18分米，宽13分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米？3一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米，如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？4一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米，如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米，这个长方形

26、原来的面积是多少平方米？5下图1是一个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求养鸡场的占地面积有多大？图1 6.用56米长的木栏围成长或宽是20米的长方形，其中一边利用围墙，怎样才能使围成的面积最大？7. 有一个正方形的水池，如图2的阴影部分，在它的周围修一个宽8米的花池，花池的面积的480平方米，求水池的边长？图28. 一个正方形一条边减少6分米，另一条边减少10分米后变为一个长方形，这个长方形的面积比正方形的面积少260平方分米，求原来正方形的边长？逻辑推理基本方法：排除法、假设法、反证法、列表法、图表法。解题步骤：1、选准突破口。2、逐步推理，排除不可能的情况。3、对可能

27、出现的情况作出假设，并判断是否真确。例1 、有三个小朋友再谈论谁做的好事多。东东说：“兰兰做的比芳芳多。”兰兰说：“东东做的比芳芳多。”芳芳说：“兰兰做的比东东少。”这三位小朋友中，谁做的好事最多？谁做的好事最少？例2 、一个正方体，六个面上分别写上ABCDEF，你能根据这个正方体的不同的摆法，求出相对的两个面的字母是什么吗？如果找不出他们相对的是什么，可以先找他们相邻的是什么，再用排除法解题。例3、 甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃窗，甲说：“是丙打碎的”。乙说：“我没有打碎玻璃窗”，丙说：“是乙打碎的。”他们当中只有一个说了谎话，到底是谁打碎了玻璃窗？由题意可知，只有一个人说谎话，而乙和丙的话正好是相反的，因此必然是一对一错，可以以此作为假设的出发点，推理时可以先假设乙说的话是错的，那么甲和丙的话都是实话，但是出现了矛盾，因此我们可以再次假设乙的话的对的，那么丙的话就是错的，从而可以得出玻璃是丙打碎的，再验证一下，看结论和条件是否矛盾，再得出正解。