迪杰斯特拉算法和floyd算法实现无向图的最短路径的计算和求解Word下载.docx
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注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述：
在无向图G=（V,E）中，假设每条边E[i]的长度为w[i]，找到由顶点V0到其余各点的最短路径。
1.2算法描述
1.2.1算法思想：
设G=（V,E）是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径,就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。
此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
1.1.2算法步骤：
a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。
U包含除v外的其他顶点，即:
U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<
u,v>
正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<
权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；
若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
执行动画过程如下图
1.3算法代码实现：
constintMAXINT=32767;
constintMAXNUM=10;
intdist[MAXNUM];
intprev[MAXNUM];
intA[MAXUNM][MAXNUM];
voidDijkstra（intv0）
{
boolS[MAXNUM];
//判断是否已存入该点到S集合中
intn=MAXNUM;
for（inti=1;
i<
=n;
++i）
{
dist[i]=A[v0][i];
S[i]=false;
//初始都未用过该点
if（dist[i]==MAXINT）
prev[i]=-1;
else
prev[i]=v0;
}
dist[v0]=0;
S[v0]=true;
for（inti=2;
i++）
{
intmindist=MAXINT;
intu=v0;
//找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
for（intj=1;
j<
++j）
if（（!
S[j]）&
&
dist[j]<
mindist）
u=j;
//u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
mindist=dist[j];
S[u]=true;
j++）
A[u][j]<
MAXINT）
if（dist[u]+A[u][j]<
dist[j]）//在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径 {
dist[j]=dist[u]+A[u][j];
//更新dist
prev[j]=u;
//记录前驱顶点 }
}
}
}
1.4算法实例
先给出一个无向图
用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
二、Floyd算法
2.1定义概览
Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshallalgorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O（N3），空间复杂度为O（N2）。
2.2算法描述
2.2.1算法思想原理：
Floyd算法是一个经典的动态规划算法。
用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。
从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）
从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。
所以，我们假设Dis（i,j）为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis（i,k）+Dis（k,j）<
Dis（i,j）是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis（i,j）=Dis（i,k）+Dis（k,j），这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis（i,j）中记录的便是i到j的最短路径的距离。
2.2.2算法描述：
a.从任意一条单边路径开始。
所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。
b.对于每一对顶点u和v，看看是否存在一个顶点w使得从u到w再到v比己知的路径更短。
如果是更新它。
2.2.3Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法
方法：
两条线，从左上角开始计算一直到右下角如下所示
给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点
相应计算方法如下：
最后A3即为所求结果。
2.3算法代码实现
typedefstruct
{
charvertex[VertexNum];
//顶点表
intedges[VertexNum][VertexNum];
//邻接矩阵,可看做边表
intn,e;
//图中当前的顶点数和边数
}MGraph;
voidFloyd（MGraphg）
intA[MAXV][MAXV];
intpath[MAXV][MAXV];
inti,j,k,n=g.n;
for（i=0;
i<
n;
i++）
for（j=0;
j<
j++）
{
A[i][j]=g.edges[i][j];
path[i][j]=-1;
}
for（k=0;
k<
k++）
{
if（A[i][j]>
（A[i][k]+A[k][j]））
A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];
path[i][j]=k;
}
}
}
三、结论
Dijkstra算法求单源、无负权的最短路时效性较好，时间复杂度为O（V*V+E）,可以用优先队列进行优化，优化后时间复杂度变为0（v*lgn）。
源点可达的话，O（V*lgV+E*lgV）=>
O（E*lgV）。
当是稀疏图的情况时，此时E=V*V/lgV，所以算法的时间复杂度可为O（V^2）。
可以用优先队列进行优化，优
化后时间复杂度变为0（v*lgn）。
Floyd算法求多源、无负权边的最短路。
用矩阵记录图。
时效性较差，时间复杂度O（V^3）。
Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshallalgorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O（N^3），空间复杂度为O（N^2）。
Floyd-Warshall的原理是动态规划：
设Di,j,k为从i到j的只以（1..k）集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。
若最短路径经过点k，则Di,j,k=Di,k,k-1+Dk,j,k-1；
若最短路径不经过点k，则Di,j,k=Di,j,k-1。
因此，Di,j,k=min（Di,k,k-1+Dk,j,k-1,Di,j,k-1）。
在实际算法中，为了节约空间，可以直接在原来空间上进行迭代，这样空间可降至二维。
四、参考文献
[1］《数据结构》（C语言版），严蔚敏，清华大学出版社，2005．
[2］《算法设计与分
析》，王晓东主编，清华大学出版社，2005
[3］汪诗林等译，《数据结构、算法与应用》，（美）SartajSahni著，机械工业出版社，1999
[4］《数据结构与算法分析》，CLIFFORDA.SHAFFER著，张铭、刘晓丹译，电子工业出版社，1998
[5]《计算机算法设计与分析》，王晓东，电子工业出版社，2007
[6]《数据结构与算法使用教程》，刘玉龙，电子工业大学出版社，2009
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