1、注意该算法要求图中不存在负权边。问题描述:在无向图 G=(V,E) 中,假设每条边 Ei 的长度为 wi,找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。1.2算法描述1.2.1算法思想:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。
2、此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。1.1.2算法步骤:a.初始时,S只包含源点,即Sv,v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U=其余顶点,若v与U中顶点u有边,则正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则权值为。b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边
3、上的权。d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。执行动画过程如下图1.3算法代码实现: const int MAXINT = 32767;const int MAXNUM = 10;int distMAXNUM;int prevMAXNUM;int AMAXUNMMAXNUM;void Dijkstra(int v0) bool SMAXNUM; / 判断是否已存入该点到S集合中 int n=MAXNUM; for(int i=1; i=n; +i) disti = Av0i; Si = false; / 初始都未用过该点 if(disti = MAXINT) previ = -1; el
4、se previ = v0; distv0 = 0; Sv0 = true; for(int i=2; i+) int mindist = MAXINT; int u = v0; / 找出当前未使用的点j的distj最小值 for(int j=1; j +j) if(!Sj) & distjmindist) u = j; / u保存当前邻接点中距离最小的点的号码 mindist = distj; Su = true; j+) AujMAXINT) if(distu + Auj distj) /在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径 distj = distu + Auj; /更新dist
5、 prevj = u; /记录前驱顶点 1.4算法实例先给出一个无向图用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下二、Floyd算法2.1定义概览Floyd-Warshall算法(Floyd-Warshall algorithm)是解决任意两点间的最短路径的一种算法,可以正确处理有向图或负权的最短路径问题,同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3),空间复杂度为O(N2)。2.2算法描述2.2.1算法思想原理:Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话,首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度
6、看问题,我们需要为这个目标重新做一个诠释(这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在) 从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能,1是直接从i到j,2是从i经过若干个节点k到j。所以,我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离,对于每一个节点k,我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) Dis(i,j)是否成立,如果成立,证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短,我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j),这样一来,当我们遍历完所有节点k,Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。2.2.2算法描述:a.从任意一条单边路径开始
7、。所有两点之间的距离是边的权,如果两点之间没有边相连,则权为无穷大。b.对于每一对顶点 u 和 v,看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。2.2.3 Floyd算法过程矩阵的计算-十字交叉法方法:两条线,从左上角开始计算一直到右下角 如下所示给出矩阵,其中矩阵A是邻接矩阵,而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点相应计算方法如下:最后A3即为所求结果。2.3算法代码实现typedef struct char vertexVertexNum; /顶点表 int edgesVertexNumVertexNum; /邻接矩阵,可看做边表
8、 int n,e; /图中当前的顶点数和边数 MGraph;void Floyd(MGraph g) int AMAXVMAXV; int pathMAXVMAXV; int i,j,k,n=g.n; for(i=0;in;i+) for(j=0;jj+) Aij=g.edgesij; pathij=-1; for(k=0;k(Aik+Akj) Aij=Aik+Akj; pathij=k; 三、结论 Dijkstra算法求单源、无负权的最短路时效性较好,时间复杂度为O(V*V+E),可以用优先队列进行优化,优化后时间复杂度变为0(v*lgn)。源点可达的话,O(V*lgV+E*lgV)=O(E
9、*lgV)。当是稀疏图的情况时,此时E=V*V/lgV,所以算法的时间复杂度可为O(V2) 。可以用优先队列进行优化,优化后时间复杂度变为0(v*lgn)。 Floyd算法求多源、无负权边的最短路。用矩阵记录图。时效性较差,时间复杂度O(V3)。Floyd-Warshall算法(Floyd-Warshall algorithm)是解决任意两点间的最短路径的一种算法,可以正确处理有向图或负权的最短路径问题。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3),空间复杂度为O(N2)。Floyd-Warshall的原理是动态规划:设Di,j,k为从i到j的只以(1.k)集合中的节点为中间节点的
10、最短路径的长度。若最短路径经过点k,则Di,j,k = Di,k,k-1 + Dk,j,k-1;若最短路径不经过点k,则Di,j,k = Di,j,k-1。因此,Di,j,k = min(Di,k,k-1 + Dk,j,k-1 , Di,j,k-1)。在实际算法中,为了节约空间,可以直接在原来空间上进行迭代,这样空间可降至二维。四、参考文献1数据结构(C语言版),严蔚敏,清华大学出版社,20052算法设计与分析,王晓东主编,清华大学出版社,20053汪诗林等译,数据结构、算法与应用,(美)Sartaj Sahni著,机械工业出版社, 19994数据结构与算法分析,CLIFFORD A. SHAFFER著,张铭、刘晓丹译,电子工业出版社,19985 计算机算法设计与分析,王晓东,电子工业出版社,20076 数据结构与算法使用教程,刘玉龙,电子工业大学出版社,2009
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