第08章重积分习题详解Word下载.docx
《第08章重积分习题详解Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第08章重积分习题详解Word下载.docx（31页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
=2所围
成；
（3）JJIn（x+yMb与j!
[In（x+y'
db，其中D是三角形闭区域，三顶点分别为
（1,0）,（1,1）,（2,0）；
（4）JJIn（x+y）dD与JJ[ln（x+y）]2dc7,其中D=｛（x,y）I3<
5,0<
1｝.
解
（1）在积分区域D±
0<
x+y<
l,故有（X+y）Y（x+y）\根据二重积分的性
质4,可得ff（x+y）3db<
JJ（x+y）2dcy.
（2）由于积分区域D位于半平面｛（x,y）x+y>
l｝内，故在D上有（x+y）2<
（x+y），.从而JJ（x+y）2db<
JJ（x+y）W.
（3）由于积分区域D位于条形区域｛（X,y）戸x+y<
2内，故知D上的点满足0<
lnx+y）1
从而有[In（x+y）]2<
ln（x+y）.因此JJ[In（x+y）]2db<
n（x+y）dcr.
I=ffsin2xsin'
ydct其中D二{（x,y）|0<
x〈兀，0<
兀};
D
I=JJ（x+y+l）dcr其中D二{（x,y）0<
1,0<
y<
2}:
JJ（X2+4y2+9）db其中D二{（x,y）x:
+y=<
4}・
解
（1）在积分区域D上，0<
l,0<
y<
l,从而0<
xy（x+y）<
2,又D的面积等
于1,因此0〈JJxy（x+y）db
〈2.
在积分区域D上，0〈sinx<
siny<
1,从而O〈sin:
xsin:
l,又D的面积等于rr,因此0<
JJsirTxsirTydb〈n.
在积分区域D上，0〈x+y+l〈4,D的面积等于2,因此2<
JJ（x+y+l）db<
8.
在积分区域D±
0<
x:
<
4,从而9<
+4y:
+9<
4（x:
+y:
）+9<
25,,又D
的面积等于4n,因此36n<
JJ（x2+4y2+9）db<
100n
习题8-2
i计算下列二重积分：
（1丨1（x2+y2）db,其中D={（x,y）||x|M,|y|M};
JJ（3x+2y）dcr,其屮D是由两坐标轴及直线x+y二2所围成的闭区域；
ff（x3+3x2y+y3）db,其中D={（x,y）|0<
y兰
1}；
Dffxcos（x+y）dey其中D是顶点分别为（0,0）,（兀0）和（兀冗）的三角形闭区域.
⑴JJ（Xs+y2）db=f"
dxL（xs+y2）dy=jjx5yltExSxL（2x2八dx二弓.
DL3「33
D可用不等式表示为0〈y〈3—X,0<
2,于是
22a2:
:
x
JJ（3x+2y）db=[dxL（3x+2y）dy=[[3xy+y]0dxD
220=[（4+2x一2x:
）dx=J.
3
JJ（XJ+3x:
y+y3）db二[dyj；
（x9+3xsy+ys）dx
1IX33113.
4
=£
!
-+xy+yXidy=o（-+y+y）dy=1.li。
D可用不等式表示为0<
x,0<
n,于是
nxnx
JJxcos（x+y）db=10xdxocos（x+y）dy=ox[sin（x+yjdxd°
°
n3
_x（sin2x-sinx）dx=n
2.画出积分区域，并计算下列二重积分：
JJX阿，其中D是由两条抛物线y=jx,y二疋所围成的闭区域；
JJxydcr,其中D是由圆周x2+y:
=4及y轴所围成的右半闭区域;
[@十此,其中D={（x,y）||x|+|y|M}；
y=x及y二2x所围成的闭区域.
ff（x2+y2一xjdcy,其屮D是由直线y二2,
（1）D可用不等式表示为
X2<
jx,0<
l,于是
JJxVydb:
=oxdx■血dy
D可用不等式表示为0〈X<
J4—y%
—2<
2
叔（4—y
其中积分区域D是:
y）dy或
222y22ff（x+y一x）db=[dyy（x+y-x）dxd-=
b[32y
3•化二重积分
I=JJf（x,y）dcr
为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分）
由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域；
由x轴及半圆周W=rs（Y>
0）所围成的闭区域;
由直线y二x,x=2及双曲线y二」（x〉0）所围成的闭区域；
环形闭区域{（X,y）1Cx：
+r<
4}.
（1）直线y二x及抛物线r=4x的交点为（0,0）和（4,4）4"
4x、4y
1二・0dx[f（x,y）dy或I=[dypf（x,y）dx
将D用不等式表示为0〈y〈JF-X2,-r<
r,于是可将I化为
r
I=Ldxof（x,y）dy;
如将D用不等式表示为J2—r<
Jr-r,0<
rJ「*
I二.0dyJyrf（x,y）dx.
、12x
二个交点为（1,1）、（2,—）和（2,2）,于是I二1dxj】f（x,
21x
1222
I=Jidy£
f（x,y）dxLdyff（x,y）dx・
2y
将D划分为4块，得
j4-y22J4?
rdb1
I=J2dy［牙（x,y）dx屮J/yL有
QdyBf（X，
、rf（x,）d
y）dx+JdyJRyX
*47*
aHTX*
'
=Ldx—x,y）dy+Ldy
or
2HjTzx2
+Ldy
（X,y）dy+HdyL&
f（X,y）dy.
4-改换下列二次积分的积分次序:
iy
⑴odyof（x,
22y
（2）T；
v^2f（X>
v）dX
f（x,y）dx;
⑷[dx[sf（x,y）dy;
eInX
[dx」f（x,y）dy;
sinx
（6）od\f\nXf（X，y）dy.
（1）所给二次积分等于二重积分
JJf（x,y）dcr,
其屮
二{（x,y）0<
y,0<
l},D可改写为{（x,y）
11
原式二dxxf（x,y）dy.
（2）所给二次积分等于二重积分JJf（x,y）dCT,
={（x,y）ys<
2y,0<
2},D可改写为{（x,y）
.4欢
原式二[dxjxf（x,y）dy.
⑶所给二次积分等于二重积分JJf（x,y）dCT,
氓（x,y）|—J—r<
Jl—r,0<
l},D可改写为
{（x,y）0<
J1一X2,一1<
1},于是
1
原式二Ldxof（x,y）dy.
（4）所给二次积分等于二重积分JJf
（x,y）dCT,
<
1,0<
l},于是
其中
A/x,0<
4},于是
可改写为
D={（x,y）2一x<
j2x一X2,1<
2},D{（x,y）12—y<
xEl+Jl-y>
0<
f（x,y）dx.
（5）所给二次积分等于二重积分
fjf（x,y）db,其中
Dx,y）0<
lnx,1<
e},
D可改写为{（x,y）
ey<
e,0<
所给二次积分等于二重积分
JJf（x,y）dcr,将D表示为D"
1Da,其中
Dr={（x,y）arcsiny<
冗一arcsiny,0<
1},
D2={（x,y）-2arcsiny<
n-l<
0},于是
、1n_arcsiny0n
原式二』dy[rcsinyf（X,y）dx+LdyLrcsinyf（X,y）dX・
5•计算由四个平面x=0,y=0,X二1,y二1所围成柱体被平面z二0及2x+3y+z=6截得的立体的体积.
解此立体为一曲顶柱体，它的底是xOy面上的闭区域D={（X,y）|0<
l},顶是曲面Z=6-2x-3y,因此所求立体的体积为
117V=□（6-2x-3y）dxdy=Jdxo（6-2x-3y）dy二-.
6.求由曲面z=x:
+2歹及z=6-2x2-y:
所围成的立体的体积.解所求立体在xOy面上的投影区域为
c9
D={（x,y）x+y<
2}
所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差：
V二JJ（6-2x=-ys）db—JJ（x=+2ya）db
=JJ（6-3x=-3y=）db=JJ（6-3俨川內£
二［d叫（6—3PdP=6n
7.画岀积分区域，把积分JJf（x,y）dcr表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D
是:
（1）
（2）{（x,y）x2+y兰2x}；
{（X,y）X2+y2<
a2}（a>
0）；
{（X,y）a<
x+y<
b},其中0<
a<
b;
（4）{（x,y）|0<
l—x,0<
l}.
0<
2n,故
（1）在极坐标中,D={（PO）0<
P<
a,
sm9+cos6
i
Pcos日，Psin£
）PdP.
2护
「xJxf（x>
y）dy；
D?
两部分：
〈上},
JJf（x,y）db=JJf（PcosH,Psin£
）PdfldO=odOJof（Pcos日,Psin日）PdP.
DDv0
（2）在极坐标中,D={（P,T）0<
P兰2cosa—\n,故
22
n2cosfl
（Pcos
JJf（X,y）db二fff（PcosT,PsinT）PdPdO=f,def0f
日,Psin日）PdP・
DD—
（3）在极坐标中，D={（P,£
）a<
P<
b,0<
2nb
fff（x,y）db=fff（PcosT,PsinT）PdPdO=fd9[f（PcosS,PsinH）PdP.LL
・0La
在极坐标中，直线x+y=l的方程为P二2,故
o-0〃一—（叫心齐而，弓，
于是
JJf（x,y）db二fff（PcosT,Psin£
）PdfdO二
D1
8化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：
•11
（1[dxff
）（x,y）dy;
f（x,y）dy
■
♦
（1）用直线y二x将积分区域D分成D】、
Dx={（P,日）0<
se出，0<
。
2二{（P,日）|0<
PWcsc日，11兰日5,
42
原式
二俞9『叫（Pcos日，Psin0）FdP+魚9『叫（Pcos0,Psin日）PdP.
日二一O
在极坐标屮，直线X=2,y二x和y二J3x的方程分别是P二2secII,&
二一和
因此D二{（P,日）|0<
P兰2sec日，11兰日<
-},又f（Jx，+y。
二f（P）,于是
43
a2secA
原式巧3d牡八（TPdP.
（3）在极坐标屮，直线y二l-x的方程为P=1,圆y
sin9+cos6
的方程为
P=l,因此D={（BT）
1n
〈P〈l,0<
9<
—）,故
sin9+cos92
原式二『dHJi日）pdp・
f（pcosFl,psinsin涉OS
日
⑷在极坐标中，直线X二1的方程为P二sec日，抛物线y二才的方程为
PsinO二P2cos:
o,即P二tanIIse闵；
两者的交点与原点的连线的方程是0二-。
因此
D={（P,0）tan9sec0<
P〈seC：
9〈上},故
原式涉cJWcosyPsin切PdP・把下列积分化
9为极坐标形式，并计算积分值：
•ax2
2a72ax-r22dx
0dxj（x+y）dy;
oMF'
dy;
寸aJ」
LdyL（x+y）dx-
（1）在极坐标屮，D={（2II）0<
2acosa0<
0<
4,故
在极坐标中，
D二{（P0）I0<
P<
asecq0<
8<
-},故
nQ
原式二「dT_o
P•內P=a[jftL+ln（'
/2+1）]・
质式=Fd叮Fp2edP#na1.
在极坐标屮，抛物线y二x‘的方程为Psin0=P2cos2Q,即P=tan£
se止J;
直线
y二x的方程是9二一,故D={（,t）0空血，00}隹<
ntanAecQ!
原式二Fdejo¥
2dP=72-l.
（4）在极坐标屮，积分区域
D二{（P,0）0<
a,0<
{}
原式二『dQ,P2P=
10.利用极坐标计算下列各题:
ffexH\JdcT,其中D是由圆周X?
D“
+『二4所围成的闭区域;
TJarctanydcr,其屮D是由圆周d2222
x+v二4・x+v=1兀盲线v=0・v二乂硏雨成的在第一象限内的闭区域・
解
（1）在极坐标屮，D二{（P,Q）10<
2,0<
2n,故
原式2n2合4
八二n阿n訂”php二nA—1）
在极坐标中，D二{（P,6）1<
2,0<
；
},故
x232原式二[4d0[PdP=2n:
•b山64
11.选用适当的坐标计算下列各题：
H笃dcT,其中D是由直线x=2,y二x及曲线xy二1所围成的闭区域；
DV
f琲工才，其屮D是由圆周x2+y:
=1及坐标轴所围成的在第一象限内的DJl+x+y
闭区域；
ff（x2+y2）db,其中D是由直线y二x,y二x+a,y=a,y=3a（aAO）所围成
的闭区域;
JJJx2+y2db，其中D是圆环形闭区域{（x,y）|a2<
b:
}.
（1）选用直角坐标,
D二{（x,y）I-<
x,1<
2},
XXy
JJ-ydxJdxLdy二；
•d
选用极坐标，D={（P,H）0<
P2,0兰Fl吕，故
2屁•用Pd—f;
吋儒.Pdp
二昭耳•丹P=n（-2）.
（3）选用直角坐标,
%yV99
口（X+y）db二[dyjyjx+y）dx=J。
3a
s22a
（2av——av-i
）dv=14a.
12.
选用极坐标，D二｛（P,0）0<
1,
Jjjx2+y2db=JJP4^9=0de
求由平面y二0,y二kx（k）0）,
-｝,故
a用dP=?
nb3~as）.
二0以及球心在原点、半径为
R的上半球面所围
成的在第一卦限内的立体的体积（图8-21）.
JJJR—X2—y2db=JJJR-P2,pdpd日
R3
PdP=一arctank.
Fz=HJGP
口-3°
[x+y?
dv=GP]（z-a）dzTf
dxdy
g2「xw+（z
+（z-a）2]2
=GPo（z-a）dzodIIo=-2£
P[h+JR2+（h-a）3-JR2+a2_
[r:
+（z~a）2]2
复习题A
、填空题
1•设D是正方形区域｛（X,y）0<
1｝,则JJxydxdy:
二
2•已知D是长方形区域｛（x,y）&
兰b,0匠1｝又已知Jfyf（x）dxdy1则
b
f（x）dx=2：
3•若D是由X+y二1和两坐标轴围城的三角形区域，则二重积分
JJf（x）dxdy可以表示
为定积分JJf（x）dxdy=0®
（x）dx,那么®
（x）二
.第八章重积分习题详解
68-.
f.dxo一f（x,y）dy二fdQorf（rcosII,rsin9）dr,
f\
则区间（8P）二.n
2,
I*2
二、选择题
1・设D是由y二kx（k；
>
0）,y二0和x二1所围成的三角形区域，且
JJxy:
二亦，贝H
k二（）・A；
A.1；
B・普;
D.
2.设必是正方形区域,
点在（一1,1）点，记
rr2口少b=JJedxdy,
D2是Di的内切圆区域，D3是Di的外接圆区域,
3=JJe2y»
「dxdy,
Di的屮心
则Ii,I2,I3的大小顺序为（
A.li〈I2〈I3；
B.I2〈li〈〈3；
l3<
12<
11.
3•将极坐标系下的二次积分:
I=0d810
rf
2sinQ
（rcos8,rsin8）dr
化为直角坐标系下的二次积分，则
（
114;
戸
A.I二.Ldy
1j2y3
C.I二帥匚2’fZdx；
）dxy
4•设D是第二彖限内的一个有界闭区域,
而且
0cy
11=
JJyxdcT
12=
JJy2xdcr,
13
则11,12,13的庆小顺序为
（D
JJy"
xdcT,
A.Il兰12兰
〈3；
】〃J
）d0
yy;
1=34
〈1•记
C.兰>
2；
13兰11
1如丄
一f（X,）d
yy-
li.
AZ.\AZ.
二乃二
5.计算旋转抛物面Z=1+
A.ffJI+x+ydcT；
y
X3<
C.JJJI+x+ydcT；
f出
B.JJJ-X-y2dcr；
y二
D.ffJ—X2—y2db・
x3-/<
三、计算题
1计算重积分ffePxdy,其中D是由x二0,yp和y=2所围成的区域.
2lnyx21
JJe*dxdy=idyoe=d£
d鬼（y-1）dy=-.D
/x二-2,y二x和xy二1所围成的区域.
2•计算重积分ff—dxdy,其中D是由
Dy
lA*.J：
x2dxXy勺y二J：
（—Xs+x）dx
升级会员 