第3章离散傅里叶变换及其快速算法Word格式文档下载.docx

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.・

f

.A

-TT°

•—na

i（«

）

n

图3.1（d）周期离散时间信号的傅里叶变换

L——°

NT

A

ZT

—N点*

3.1.1离散傅里叶级数（DFS）

LDFS的定义：

一个周期为N的周期序列，即：

x（n）=x（n-hkN）

其中，（）S<

N-1,k为任意整数，N为周期。

周期序列不能进行Z变换，因为其在n二-0O到+8都周而复始永不衰减，即Z平面上没有收敛域。

但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。

为了容易理解DFS我们首先回顾一下模拟信号及采样信号的傅里叶级数。

一周期为T］模拟信号的指数形式的傅里叶级数为:

0O

壬⑴=£

心小5其屮：

昭为基频频率

上=一€0

若以AT为采样间隔对该信号进行采样，一周内采样点数为N,则T产NAT,上式中：

八，2%at2兀

£

27=——t—«

AT=——n

'

T\NATN

采样信号的基频成分为：

（77）=F&

心/N*

第k次谐波为：

勺（允）=耳

与连续信号的傅氏级数的不同之处是离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的，因为：

7（2兀/NX（R+NM）_丿（2兀/小如

匕—匕

BP：

W—nO）=蘇（n）

所以将周期序列展成离散傅里叶级数时，只W取k=0到（N-1）这N个独立的谐波分量，即一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数

1N-1

x（z7）=—伙）NK=0

系数X伙）的求解：

对上式两边乘以£

a并对一个周期求和得：

X伙）

11

上式中［］部分显然只有当Jtw+MV时才有值为1,其他任意k值时均为零，所以有：

N-1-■2<

壬（72比7声厂"

=X（r）0<

r<

N-1;

灯=0

0<

k<

N-\

或写成：

X伙）=£

巩"

比%万）"

/i=0

可求N次谐波的系数X{k）

沁）也是一个由N个独立i皆波分S组成的傅立叶级数

X伙）为周期序列，周期为N（见下式推导）°

N-I

X{k+mN}=工元⑺0比讪）曲叫

幵=0

=£

丘仇比汕2〃小如=%伙）

H-0

以上推导说明：

时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列。

定义：

X伙）0壬⑺）是一个周期序列的离散傅里叶级数（DFS）变换对，这种对称关系可表为：

1N_\

x{n}=IDFS\X{k}}=—伙）JS/nm

X（k）=DFS[x（n）\=工壬⑺比」"

/“血12

zj—O

通常沁必=£

一心小）

则DFS变换对可写为

文伙）=工宪（舁）吩=DFS[x{n）]

n=：

O

1N-Ir

X（”）=—工X伙）WJ如=/DFs[x（k）

N

DFS[・]——离散傅里叶级数变换

IDFS[]——离散傅里叶级数反变换。

DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列,但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。

补例1已知周期序列丘⑺）如图3.2（a）所示，其周期N=10＞试求它的傅里叶级数系数X伙）。

4,

T答Asin（5I；

T/10）

=eu

sin伙;

r/lO）

lV|3.2（a）周期序列壬S）

解：

由傅里叶级数逆变换公式知：

AM10-1

去仏）=£

左何必"

左（舁）％席

n=0n=0

_l-e忖_cq（/w-e1°

）

・2M■•宵I♦斤■・戻t

-J——k-J—kJ一k-J—k

l-e'

w1°

（e1°

-w1°

周期序列XU）的幅值示意图如下图示:

图3.2（b）傅里叶系数的幅值

补例2若双⑵是上例中周期序列x"

）的主值序列，求其傅里叶变换X（ej3）。

如将3=27rk/N（N=10）代入X（e^）则得:

Xps）的IMF值如图3・3所示,

2.DFS的性质

假设戈⑺）、刃①都是周期为N的两个周期序列，各自的离散傅里叶级数为：

Jx（/:

）=/>

FS[x（Z7）]

[Y（k）=DFS[y（n）]

（1）线性

DFS[ax{n）十hy（n）]=aX{k）十bY（k）

其中：

a.b为任意常数。

（2）序列的移位

fDFS\x（n-^m）]=X（k）

[IDFs[x（k+/）]=Wh皎O）

（3）序列的对称性

对于复序列丘S）,其共辄序列戸（刃）满足:

DFSx{n）=X*（-k）

证明:

DFs[l*（«

）]=S）W胪

zi=0

jV—1

=（》xS）Wh）•=&

（*）

M=0

同理：

DFS[x（-/;

）]=X*（^）

共觇偶对称分量X^（k）=-[X伙）4亍（N-Z：

）]和k）=X：

（N-k）

共轨奇对称分量X°

（可=1戊伙）_灯（2"

）]沐Q=-X：

（N-k）

由于％伙）、X（-k）是周期为N的周期序列，所以

X（-k）=X（N-k）

进一步可得

+X（/z）l

DFS[Re{x（〃）}]=-DFS[x（«

2

=-[X伙）+0（-幻]=才文伙）+0（"

-上）]

U|J：

DFSRe{%（«

）}=-[X{k）+X\N-k）]=X^{k）」2

同样可推得:

DFSjhn{x（n）}=-[X（k）-X^N-k）]=X^（k}

J」2

（4）周期卷积定理a・时域周期卷积定理若

21

F（k）=X{k）Y（k）

f（n）=IDESF伙）=x{m}y{n—m}

ZH-0

~N-\

7（aO=工$（m）左G-m）

/ZI=（）

这是一个卷积公式，但与前面讨论的线性卷积的差别在于，这里的卷积过程只限于一个周期内（即/n=（MV・l）,称为周期卷积。

补例3：

x（n）.歹⑺）分如图3・5所示其周期均为朋7,宽度分别为4和3,求周期卷积。

-N

•••

X（H}

J（n）f

y（O-m）

♦•••丨》I

—N/（/!

）'

图3.5周期卷积

从上面的例题中可以看出，两个周期为N的序列周期卷积的结果仍为周期序列，且周期为N。

b・频域卷积定理

由于DFS与IDFS的对称性，对周期序列乘积，存在着频域的周期卷积定理。

若f{n）=x（n）y（n）

则心沁“寿”门

1NT

点文（"

3.1.2离散傅里叶变换

我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义,因此它的许多特性可推广到有限长序列上。

一个有限长序列x（n）.长为N,

x（z/）0<

<

N-l

咖珂0其它”

为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列壬⑺）,它由长度为e的有限长序列双川延拓而成，它们的关系：

co

x（n）=工x（z2+zTV）

r——m

A（Z7）=

25

JxG）0<

N—1“0其它n

1.周期序列的主值区间与主值序列：

对于周期序列x（n）,定义其第一个周期为x{n）的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列x（n）O丿与x（n）的关系可描述为:

\双嚟豎驚是壬ooiTr主值丿于夕屮fl0<

rt<

/V-1即：

X（A7）=龙（Z7）心（”）,其屮，心（/?

）=]0其它

\x（n）=x（（n））^■匕

亦可表示：

5〜

1x（"

）=x（n）Rj^（n）=兀（（仍几心⑺）

其中，R3是长度为N的矩形序列。

符号（（II））卜是余数运算表达式，表示《对^求余数（令H=//,+"

2N,O<

H]<

N-1,则卩为挖对N的余数。

补例4：

x（n）是周期为N=8的序列，求n=ll和"

d对N的余数。

H=11=1x8+3=>

（（Il））s=3

=-2=（-1）X8+6=>

（（-2））g=6

元（11）=x（3）,丘（一2）=x（6）

频域上的主值区间与主值序列:

周期序列壬⑺）的离散付氏级数x（R）也是一个周期序列，也可给它定义一个主值区间，以及主值序列X伙几

数学林霭;

27

再看周期序列的离散傅里叶级数变换（DFS）公式:

N.\

乂伙）=DFS［左（77）1=工壬（舁）叫如

=0

1N—\

x（n）=IDFS\X{k）]=令工乂伙）

这两个公式的求和都只限于主值区间

完全适用于主值序列x（n）与X（k）,因而我们可得到一个新的定义一限长序列离散傅里叶变换定义。

2.DFT的定义

长度为N的有限长序列x（n）,其离散傅里叶变换X（k）仍是一个长度为N的有限长序列，它们的关系为：

AM

X（k）=DFT[x（n）]=工x（n）W^0<

A<

N—1

-0

1N-\

x（n）=IDFT[X（k）]=—yX{k）Wj^^0<

n<

N-[

N仁

x（砒与X（Q是一个有限长序列离散傅里叶变换对，己知xm丿就能唯一地确定同样己知X（k）也就唯一地确定双耐,实际上双丹丿与X伙丿都是长度为N的序列（复序列）都有N个独立值，因而具有等量的信息。

注:

在涉及DFT关系的场合，有限长序列总是表示周期序列的一个周期性.

29

DFT的矩阵方程表示

■A-（0）

x（l）

x=

■X（0）x（l）

x（N-l）

X（N-l）

X=

X=Wz

vv,=

I

"

W'

■…1

...严'

••

B•

IDFT的矩阵方程表示兀=Wn"

X

旳严）

例3.1

解:

求复数序列x（n）={1+72,2+72,川+刀的DFT©

1■

「1

11

W；

W?

W/

-j-1

-J

Wj

-11

-1

WJ

J-1

-7J

W产

根据X=W肿对求得,

x（0）

1111

1+72

4+76

1-J-1-J

2+72

X⑵

1-11-1

j

-2

X⑶

1j-1-7

•+2

_J2

3.DFT特性:

以下讨论DFT的一些主要特性，这些特性都与周期序列的DFS有关。

假定x（n）^y（n）是长度为N的有限长序列，其各自的离散傅里叶变换分别为=

y（k）=DFT[y（n）]

X（k）=OFT[x{n）]

DFT[ax（n）+by（n）]=cX伙）+bY（k）

其中，a,b为任意常数

33

（2）循环移位（圆周移位）性

a・有限长序列的循环移位定义为:

f（n）=x（（n+加n）

含义s1）x（（H+m））N表示x（n）的周期延拓序列亍何的移位

x（（n+w））N=x（n+w）

2）表示对移位的周期序列x（（H+m））N取主

值序列，所以ZS丿仍然是一个长度为N的有限长序列。

见图3・6（a）~（d）。

从以上分析可知：

循环移位序列与线性移位序列在外形上不一样，循环移位屮，当一个样本从0到N-1这个区间的某一端点移出去时，它又从另一端点处移了进来，移位后序列的长度不变。

而线性移位中移出0到N・1这个区间的序列就不会再出现在该区间内了，移位后区间内的长度己发生了变化。

序列的循环移位实际上可看作：

将序列

If'

：

X（H）其林样本值逆时针等间隔排列在圆周上,并旋转加位;

m>

0f顺时针旋转；

wvO,逆时针旋转。

见图3・7。

循环移位x（"

）t

0NJ

b.序列循环移位后的DFT为；

F伙）=DFTVG）]=⑷

证：

利用周期序列的移位特性：

DFS[x（（n+w））N]=DFS[丘（打+加）]=吩皿文伙）

・•・DFr[/（z7）]=DFT[x{{n+（n）]

）Fr[x（z7+

={DFS[x（n+〃2）]}心伙）=（幻

实际上，利用的周期性，粉刚几心例代入

DFT定义式，同样很容易证明。

同样，对于频域有限长序列的循环移位，有如下反变换特性:

/QF7IX（伙伙）1=%”

（3）循环卷积（圆周卷积）

a.循环卷积的定义

设X仞、jG丿均是长度为N的序列，

若/（«

）=工尤（加），（（允一加））"

心（n）

加二0

或f5）=工x（（n-oNRn5）

/rt=0

则为xS八刃砒的循环卷积，用符号“®

”或“®

”表示，以区别于线性卷积。

/（/2）=x（n）0y（n）或/（/?

）=y（n）0x{n）

39

这个卷积可看作是周期序列x（n）hiy（n）作周期卷积后再取其主值序列。

证明：

设7（n）为壬（”）与5^0）的周期卷积，即〜N-1

7（n）=x（n}*y（n）=工x（m）y（n—ni）

w-0

〜N7

贝|」fO）心（n）=［工x（m）y（n一加）］心⑺）

m=0

=［工x（（n7））Ny（（n一龙））N\Rn（挖）

/n=0

当:

09"

三V-ni寸，x（伽丿加=/伽丿，伏］此

iV-l■

同理町得:

〜N-I

75）Rn00=工y（加）x（3-/?

?

））NRn何=〉'

（八）®

x（n）m=Q

这一卷积与周期卷积比较，过程是一样的，只是这里只取结果的主值序列，由于卷积过程只在主值区间®

5"

』内进行，所以y（（m））NRn快际上就足ySO的圆周移位，因此该卷积称为“圆周卷积”或“循环卷积”，习惯上常用符号“®

”表示循环卷积，以区别于线性卷积。

由有限长序列y伽丿构造周期为N的周期序列y（m）确定循环港积移位序列y（S-m）片心⑺）

/V-I

计算工x（m）y（（"

-"

i））/vR/vS）

b.循环卷积计算过程：

2）

3）

41

1）

循环卷积的另外两种计算方法:

bl

周法；

笫一步：

将x（切）逆时针等间隔排列在内圜周上，将y（m）顺时针等间隔排列在外岡周上，将对应位的.v（zH）-L/y（zz7）相乘再和加得/（叫第二步：

将y（/n）逆时针转一位形成y（l-/?

/）,再将对应位的期加）®

（1・加）相乘、相加即罪ir（i）。

以此类推解得全部结果（本方法不适用于N较大的情况）O

利用线性卷积做循环卷积：

先计算.r（zO*>

（n）,然后从N位（冇效位）开始截断，将截断的肩半部分移至下一行，与截断的丽半部人1对齐，然后再相加。

补例6：

设有两个序列，仍为N=4矩形序列，为M=5矩形序列，计算其线性卷积和不同长度乙时的循环拳狙。

x（n）fy（m严）

M=5

线性港积A⑵二口严MU具冇N+M・l=8个非零值庶结果见上图（C）.不同乙下的循坏卷积结果分别见上图（d）-（fb

43

C・循环卷积（圆周卷积）定理如（⑵、VG丿均是长度为川的序列，若

/G）=x（n）®

y（n）

则：

F（k）=X（k）Y（k）

同样，若f（n）=x（n）y（n）,则

F（k）=^X（k）0Y（k）=^Y（k）0X伙）

NN

1N_l

即F（k）=DFr[f（n）]=^XX（/）Y（（k-l））^R^（k）

N20

IAM

=775>

）X（伙一/））N心伙）

N/=o

（4）有限长序列的线性卷积与循环卷积

（循环卷积的应用）

实际问题的大多数是求解线性卷积，如信号双町通过系统h（n）,其输出就是线性卷^（n）=x（fi）Vt（n）.而循环卷积比起线性卷积，在运算速度上有很大的优越性，它可以采用快速傅里叶变换（FFE技术，若能利用循环卷积求线性卷积，会带来很大的方便。

如果VG八加町为有限长序列，现在我们来讨论上述x（zj与加⑵的线性淮积，在什么条件下能用循环卷积代替而不产生失真？

45

有限长序列的线性卷积:

假定为有限长序列，长度为MM〃为有限长序列,长度为M,它们的线性卷积^f（n）=x（n）^y（n）.

f（n）=x（n）*y（zz）=工

在这区间以外不是兀伽）二0,就是因而f5）=0。

因此，的非零区间是“9WV+M2,是一个长度为N+M-1的有限长序列。

循环卷积:

将两个有限长序列H⑵、W⑵通过在原序列之后加零的方法将其长度扩展为Q<

.L>

max[N,M}^.并将兀何与y何以工为周期进行周期延拓！

//（n）=x（n）®

y（n）=//（z2）/?

^（n）=^/（n+rL）Rg）

r=^co

当线性卷积周期延拓无重叠，即：

E?

NM.I

/；

（«

）=/（n）,即：

x{n）?

y（/7）x（n）*y（n）

时,

所以使循环（圆周）卷积等于线性卷积而不产生混淆的必要条件是：

L^N+M-r

S

/（n）=x（z0*y（n）=Xx（加）

/n._s

=^x（zn）y（«

-/n）=^x（/n）y（n-/n）=£

/（zz+rL）

r=—<

>

o

fj{n）=x{n）®

y{H）=R&

i）

49

观察补充例6中线性卷积和循环卷积的结果，则可验证线性卷积与循环卷积的关系，当时/何才（"

几

x（n）

TN-4

II»

*

123nk

（a）

fi（n）

L=6

（d）

图3.8

123in

f（n）

N+il1=8

-/II1II1T<

<

>

-Ip12…78910n

4-[

L=8

IT•

（b）

（e）

4・・

（c）

r,（n）

L=9

^910n

（f）

线性卷积与循环卷积