第3章 32 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式精品教育doc文档格式.docx
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n,即2n>
n.
【答案】 A
[质疑·
手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
解惑:
疑问2:
疑问3:
[小组合作型]
数学归纳法证明不等式
已知Sn=1+++…+(n>
1,n∈N+),求证:
S2n>
1+(n≥2,n∈N+).
【精彩点拨】 求Sn再证明比较困难,可运用数学归纳法直接证明,注意Sn表示前n项的和(n>
1),首先验证n=2,然后证明归纳递推.
【自主解答】
(1)当n=2时,S22=1+++=>
1+,即n=2时命题成立.
(2)假设n=k(k≥2,k∈N+)时命题成立,即S2k=1+++…+>
1+.
当n=k+1时,
S2k+1=1+++…+++…+
>
1++=1++=1+.
故当n=k+1时,命题也成立.
由
(1)
(2)知,对n∈N+,n≥2,S2n>
1+都成立.
此题容易犯两个错误,一是由n=k到n=k+1项数变化弄错,认为的后一项为,实际上应为;
二是++…+共有多少项之和,实际上2k+1到2k+1是自然数递增,项数为2k+1-(2k+1)+1=2k.
[再练一题]
1.若在本例中,条件变为“设f(n)=1+++…+(n∈N+),由f
(1)=1>
,f(3)>
1,f(7)>
,f(15)>
2,…”.试问:
你能得到怎样的结论?
并加以证明.
【解】 数列1,3,7,15,…,通项公式为an=2n-1,数列,1,,2,…,通项公式为an=,
∴猜想:
f(2n-1)>
.下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,f(21-1)=f
(1)=1>
,不等式成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时不等式成立,
即f(2k-1)>
,
则f(2k+1-1)=f(2k-1)+++…++
f(2k-1)+
=f(2k-1)+>
+=.
∴当n=k+1时不等式也成立.
据①②知对任何n∈N+原不等式均成立.
利用数学归纳法比较大小
设Pn=(1+x)n,Qn=1+nx+x2,n∈N+,x∈(-1,+∞),试比较Pn与Qn的大小,并加以证明.
【导学号:
38000059】
【精彩点拨】 本题考查数学归纳法的应用,解答本题需要先对n取特殊值,猜想Pn与Qn的大小关系,然后利用数学归纳法证明.
【自主解答】
(1)当n=1,2时,Pn=Qn.
(2)当n≥3时,(以下再对x进行分类).
①若x∈(0,+∞),显然有Pn>Qn.
②若x=0,则Pn=Qn.
③若x∈(-1,0),
则P3-Q3=x3<0,所以P3<Q3.
P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)<0,所以P4<Q4.
假设Pk<Qk(k≥3),
则Pk+1=(1+x)Pk<(1+x)Qk=Qk+xQk
=1+kx++x+kx2+
=1+(k+1)x+x2+x3
=Qk+1+x3<Qk+1,
即当n=k+1时,不等式成立.
所以当n≥3,且x∈(-1,0)时,Pn<Qn.
1.利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向,再用数学归纳法证明结论成立.
2.本题除对n的不同取值会有Pn与Qn之间的大小变化,变量x也影响Pn与Qn的大小关系,这就要求我们在探索大小关系时,不能只顾“n”,而忽视其他变量(参数)的作用.
2.已知数列{an},{bn}与函数f(x),g(x),x∈R,满足条件:
b1=b,an=f(bn)=g(bn+1)(n∈N+),若函数y=f(x)为R上的增函数,g(x)=f-1(x),b=1,f
(1)<1,证明:
对任意x∈N+,an+1<an.
【证明】 因为g(x)=f-1(x),所以an=g(bn+1)
=f-1(bn+1),即bn+1=f(an).
下面用数学归纳法证明an+1<an(n∈N+).
(1)当n=1时,由f(x)为增函数,且f
(1)<1,得
a1=f(b1)=f
(1)<1,
b2=f(a1)<f
(1)<1,
a2=f(b2)<f
(1)=a1,
即a2<a1,结论成立.
(2)假设n=k时结论成立,即ak+1<ak.
由f(x)为增函数,得f(ak+1)<f(ak),即bk+2<bk+1.
进而得f(bk+2)<f(bk+1),即ak+2<ak+1.
这就是说当n=k+1时,结论也成立.
根据
(1)和
(2)可知,对任意的n∈N+,an+1<an.
利用贝努利不等式证明不等式
设n为正整数,记an=n+1,n=1,2,3,….求证:
an+1<
an.
【精彩点拨】 用求商比较法证明an+1<
an,其中要用贝努利不等式.
【自主解答】 由an的意义知对一切n=1,2,3,…都成立.
∴只需证明>
1,n=1,2,3,….
由于==×
-1
=×
因此,根据贝努利不等式,
有>
×
=1.
∴an>
an+1对于一切正整数n都成立.
本题在证明的过程中,综合运用了求商比较法,放缩法,进而通过贝努利不等式证明不等式成立.
3.设a为有理数,x>
-1.如果0<
a<
1,证明:
(1+x)a≤1+ax,当且仅当x=0时等号成立.
【证明】 0<
1,令a=,1≤m<
n,其中m,n为正整数,则由平均值不等式,得(1+x)a=(1+x)
≤==1+x=1+ax,当且仅当1+x=1,即x=0时,等号成立.
[探究共研型]
放缩法在数学归纳法证明不等式中的应用
探究1 用数学归纳法证明不等式时,如何利用放缩法?
【提示】 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩必须有目标.而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考虑.常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等.比如:
舍去或加上一些项:
+>;
将分子或分母放大(缩小):
<,>,<,>(k∈R,k>1)等.
证明:
2n+2>
n2(n∈N+).
【精彩点拨】 ⇒
⇒
【自主解答】
(1)当n=1时,左边=21+2=4;
右边=1,左边>
右边;
当n=2时,左边=22+2=6,右边=22=4,
所以左边>
当n=3时,左边=23+2=10,右边=32=9,所以左边>
右边.
因此当n=1,2,3时,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥3且k∈N+)时,不等式成立,即2k+2>
k2(k∈N+).
当n=k+1时,2k+1+2=2·
2k+2
=2(2k+2)-2>
2k2-2
=k2+2k+1+k2-2k-3
=(k2+2k+1)+(k+1)(k-3)≥k2+2k+1=(k+1)2.(因为k≥3,则k-3≥0,k+1>
0)
所以2k+1+2>
(k+1)2,
故当n=k+1时,原不等式也成立.
根据
(1)
(2)知,原不等式对于任何n∈N+都成立.
1.本例中,针对目标k2+2k+1,由于k的取值范围(k≥1)太大,不便于缩小.因此,用增加奠基步骤(把验证n=1扩大到验证n=1,2,3)的方法,使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3,促使放缩成功,达到目标.
2.利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n=k到n=k+1的变形.为满足题目的要求,常常要采用“放”与“缩”等手段,但是放缩要有度,这是一个难点,解决这个难题一是要仔细观察题目结构,二是要靠经验积累.
4.设x>-1,且x≠0,n为大于1的自然数,用数学归纳法证明(1+x)n>1+nx.
【证明】
(1)当n=2时,由x≠0,知
(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,
因此n=2时命题成立.
(2)假设n=k(k≥2为正整数)时命题成立,
即(1+x)k>1+kx,
则当n=k+1时,
(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+x+kx+kx2
>1+(k+1)x.
即n=k+1时,命题也成立.
由
(1)
(2)及数学归纳法知原命题成立.
不等式中的探索、猜想、证明
探究2 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是什么?
【提示】 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是先通过观察、判断,猜想出结论,然后用数学归纳法证明.这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的,特别是在求解存在型或探索型问题时.
若不等式+++…+>
对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值,并证明你的结论.
38000060】
【精彩点拨】 先通过n取值计算,求出a的最大值,再用数学归纳法进行证明,证明时,根据不等式特征,在第二步,运用比差法较方便.
【自主解答】 当n=1时,++>
则>
,∴a<
26.
又a∈N+,∴取a=25.
下面用数学归纳法证明++…+>
.
(1)n=1时,已证.
(2)假设当n=k时(k≥1,k∈N+),++…+>
∴当n=k+1时,
++…++++
=+
+.
∵+=>
∴+->
0,
∴++…+>
也成立.
由
(1)
(2)可知,对一切n∈N+,
都有++…+>
∴a的最大值为25.
1.不完全归纳的作用在于发现规律,探究结论,但结论必须证明.
2.本题中从n=k到n=k+1时,左边添加项是++-,这一点必须清楚.
5.设an=1+++…+(n∈N+),是否存在n的整式g(n),使得等式a1+a2+a3+…+an-1=g(n)(an-1)对大于1的一切正整数n都成立?
证明你的结论.
【解】 假设g(n)存在,那么当n=2时,
由a1=g
(2)(a2-1),
即1=g
(2),∴g
(2)=2;
当n=3时,由a1+a2=g(3)(a3-1),
即1+=g(3),
∴g(3)=3,
当n=4时,由a1+a2+a3=g(4)(a4-1),
即1++
=g(4),
∴g(4)=4,
由此猜想g(n)=n(n≥2,n∈N+).
下面用数学归纳法证明:
当n≥2,n∈N+时,等式a1+a2+a3+…+an-1=n(an-1)成立.
(1)当n=2时,a1=1,
g
(2)(a2-1)=2×
=1,
结论成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时结论成立,
即a1+a2+a3+…+ak-1=k(ak-1)成立,
那么当n=k+1时,a1+a2+…+ak-1+ak
=k(ak-1)+ak=(k+1)ak-k
=(k+1)ak-(k+1)+1
=(k+1)=(k+1)(ak+1-1),
说明当n=k+1时,结论也成立,
由
(1)
(2)可知,对一切大于1的正整数n,存在g(n)=n使等式a1+a2+a3+…+an-1=g(n)(an-1)成立.
[构建·
体系]
1.用数学归纳法证不等式:
1+++…+>成立,起始值至少取( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】 左边等比数列求和Sn==2>,
即1->,<,
∴<,∴n>7,
∴n取8,选B.
【答案】 B
2.用数学归纳法证明2n≥n2(n≥5,n∈N+)成立时第二步归纳假设的正确写法是( )
A.假设n=k时命题成立
B.假设n=k(k∈N+)时命题成立
C.假设n=k(k≥5)时命题成立
D.假设n=k(k>
5)时命题成立
【解析】 由题意知n≥5,n∈N+,
故应假设n=k(k≥5)时命题成立.
【答案】 C
3.用数学归纳法证明不等式++…+>
(n≥2,n∈N+)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等式左边( )
38000061】
A.增加了一项
B.增加了两项,
C.增加了两项,,但减少了一项
D.以上各种情况均不对
【解析】 ∵n=k时,左边=++…+,n=k+1时,左边=++…+++,
∴增加了两项,,少了一项.
4.用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N+)”时,第一步的验证为________.
【解析】 当n=1时,21+1≥12+1+2,即4≥4成立.
【答案】 21+1≥12+1+2
5.试证明:
1+++…+<
2(n∈N+).
【证明】
(1)当n=1时,不等式成立.
(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式成立,即
2.
那么n=k+1时,
+
<
2+=
=2.
这就是说,n=k+1时,不等式也成立.
根据
(1)
(2)可知,不等式对n∈N+成立.
我还有这些不足:
(1)
(2)
我的课下提升方案: