浙江专版19版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语学案Word文件下载.docx

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　表示

运算　

图形语言

交集

属于集合A且属于集合B的元素组成的集合

{x|x∈A，且x∈B}

A∩B

并集

属于集合A或属于集合B的元素组成的集合

{x|x∈A，或x∈B}

A∪B

补集

全集U中不属于集合A的元素组成的集合

{x|x∈U，且x∉A}

∁UA

4．集合问题中的几个基本结论

（1）集合A是其本身的子集，即A⊆A；

（2）子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；

（3）A∪A＝A∩A＝A，A∪∅＝A，A∩∅＝∅，∁UU＝∅，∁U∅＝U.

（4）A∩B＝A⇒A⊆B，A∪B＝B⇒A⊆B.

[小题体验]

1．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|0<

x<

5，x∈N}，则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　）

A．1　　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

答案：

D

2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．

5

3．设集合A＝{x|（x＋1）（x－2）<

0}，B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝________.

{x|0≤x<

2}

1．认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．

2．解题时注意区分两大关系：

一是元素与集合的从属关系；

二是集合与集合的包含关系．

3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．

4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．

5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．

[小题纠偏]

1．设全集U＝R，集合A＝{x|7－6x≤0}，集合B＝{x|y＝lg（x＋2）}，则（∁UA）∩B等于（　　）

A.

B.

C.

D.

解析：

选A　依题意得A＝

，∁UA＝

；

B＝{x|x＋2>

0}＝{x|x>

－2}，因此（∁UA）∩B＝

.

2．已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B的个数为________．

由A中的不等式解得0≤x≤2，x∈N，即A＝{0,1,2}．∵A∪B＝{0,1,2}，∴B可能为{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，∅，共8个．

8

3．已知集合A＝{0,x＋1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．

∵－4∈A，∴x＋1＝－4或x2－5x＝－4.

∴x＝－5或x＝1或x＝4.

若x＝1，则A＝{0,2，－4}，满足条件；

若x＝4，则A＝{0,5，－4}，满足条件；

若x＝－5，则A＝{0，－4,50}，满足条件．

所以x＝1或x＝4或－5.

1或4或－5

[题组练透]

1．（易错题）已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{（x，y）|x∈A，y∈A}中元素的个数为（　　）

A．3　　　　　　　　　B．6

C．8D．9

选D　集合B中元素有（1,1），（1,2），（1,4），（2,1），（2,2），（2,4），（4,1），（4,2），（4,4），共9个．

2．已知a>

0，b∈R，若

＝{a－b,0，a2}，则a2＋b2的值为（　　）

A．2B．4

C．6D．8

选B　由已知得a≠0，则

＝0，所以b＝0，于是a2＝4，即a＝2或a＝－2，因为a>

0，所以a＝2，故a2＋b2＝22＋02＝4.

3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于（　　）

C．0D．0或

选D　若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．

当a＝0时，x＝

，符合题意．

当a≠0时，由Δ＝（－3）2－8a＝0，得a＝

，

所以a的值为0或

4．（易错题）已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－

，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；

当m＝－

时，m＋2＝

，而2m2＋m＝3，故m＝－

－

[谨记通法]

与集合中的元素有关问题的求解策略

（1）确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．如“题组练透”第1题．

（2）看这些元素满足什么限制条件．

（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．如“题组练透”第4题．

[典例引领]

1．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M且2x∉M}的子集有（　　）

A．8个　　　　　　　　B．4个

C．3个D．2个

选B　由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个．

2．已知集合A＝{2,3}，B＝{x|ax－6＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（　　）

A．3B．2

C．2或3D．0或2或3

选D　由题意可得，因为B⊆A，所以B＝{2}，{3}或∅；

若B＝{2}，则2∈B，所以2a－6＝0，解得a＝3；

若B＝{3}，则3∈B，所以3a－6＝0，解得a＝2；

若B＝∅，则a＝0.所以满足条件的实数a的值为0或2或3.

[由题悟法]

集合间基本关系的两种判定方法和一个关键

[即时应用]

1．集合{a，b，c，d，e}的真子集的个数为（　　）

A．32B．31

C．30D．29

选B　因为集合有5个元素，所以其子集的个数为25＝32个，其真子集的个数为25－1＝31个．

2．已知集合A＝{x|－1<

3}，B＝{x|－m<

m}，若B⊆A，则m的取值范围为________．

当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.

当m>

0时，

∵A＝{x|－1<

3}．

当B⊆A时，在数轴上标出两集合，如图，

∴

∴0<

m≤1.

综上所述m的取值范围为（－∞，1]．

（－∞，1]

[锁定考向]

集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；

有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．

常见的命题角度有：

（1）集合的运算；

（2）利用集合运算求参数；

（3）新定义集合问题．　　　

[题点全练]

角度一：

集合的运算

1．（2018·

宁波模拟）已知全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}，A∩（∁UB）＝{1,3,5}，则B＝（　　）

A．{2,4,6}　　　　　　B．{1,3,5}

C．{0,2,4,6}D．{x∈Z|0≤x≤6}

选C　因为U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}＝{0,1,2,3,4,5,6}，A∩（∁UB）＝{1,3,5}，所以B＝{0,2,4,6}．

2．（2016·

浙江高考）已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）＝（　　）

A．[2,3]B．（－2,3]

C．[1,2）D．（－∞，－2]∪[1，＋∞）

选B　∵Q＝{x∈R|x2≥4}，

∴∁RQ＝{x∈R|x2＜4}＝{x∈R|－2＜x＜2}．

∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，

∴P∪（∁RQ）＝{x∈R|－2＜x≤3}＝（－2,3]．

角度二：

利用集合运算求参数

3．设集合A＝{x|－1≤x<

2}，B＝{x|x<

a，a∈R，a<

0}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－1,0）B．[－1,0）

C．（－2,2）D．[－1，＋∞）

选A　因为A∩B≠∅，所以a>

－1，又因为a<

0，所以－1<

a<

0.

角度三：

新定义集合问题

4．（2015·

浙江高考）设A，B是有限集，定义：

d（A，B）＝card（A∪B）－card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中元素的个数，

命题①：

对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）>

0”的充分必要条件；

命题②：

对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）＋d（B，C）．　

A．命题①和命题②都成立

B．命题①和命题②都不成立

C．命题①成立，命题②不成立

D．命题①不成立，命题②成立

选A　命题①成立，若A≠B，则card（A∪B）＞card（A∩B），所以d（A，B）＝card（A∪B）－card（A∩B）＞0.反之可以把上述过程逆推，故“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；

命题②成立，由Venn图，知card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B），

d（A，C）＝card（A）＋card（C）－2card（A∩C），

d（B，C）＝card（B）＋card（C）－2card（B∩C），

∴d（A，B）＋d（B，C）－d（A，C）

＝card（A）＋card（B）－2card（A∩B）＋card（B）＋card（C）

－2card（B∩C）－[card（A）＋card（C）－2card（A∩C）]

＝2card（B）－2card（A∩B）－2card（B∩C）＋2card（A∩C）

＝2card（B）＋2card（A∩C）－2[card（A∩B）＋card（B∩C）]

＝2card（B）＋2card（A∩C）－2[card（（A∪C）∩B）＋card（A∩B∩C）]

＝[2card（B）－2card（（A∪C）∩B）]＋[2card（A∩C）－2card（A∩B∩C）]≥0，

∴d（A，C）≤d（A，B）＋d（B，C）得证．

[通法在握]

解集合运算问题4个技巧

看元素构成

集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键

对集合化简

有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决

应用数形

常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图

创新性问题

以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决

[演练冲关]

台州模拟）若集合A＝{x|－1<

1}，B＝{x|y＝

}，则A∪B＝（　　）

A．[0,1）B．（－1，＋∞）

C．（－1,1）∪[2，＋∞）D．∅

选C　因为x－2≥0，解得x≥2，所以B＝[2，＋∞），所以A∪B＝（－1,1）∪[2，＋∞）．

2．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝（　　）

A．4B．2

C．0D．0或4

选A　由题意得方程ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，当a＝0时，方程无实数解；

当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4（a＝0不符合题意，舍去）．

3．（2018·

吴越联盟模拟）已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{2,4,6}，P＝M∩N，则满足条件的P的子集有（　　）

A．2个B．4个

C．6个D．8个

选B　因为P＝M∩N＝{2,4}，所以集合P的子集有∅，{2}，{4}，{2,4}，共4个．

4.

如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合AB为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝

}，B＝{y|y＝3x，x>

0}，则AB为（　　）

A．{x|0<

2}B．{x|1<

x≤2}

C．{x|0≤x≤1或x≥2}D．{x|0≤x≤1或x>

选D　因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>

1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1<

x≤2}，所以AB＝∁A∪B（A∩B）＝{x|0≤x≤1或x>

2}，故选D.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．（2016·

全国卷Ⅱ）已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|（x＋1）（x－2）<

0，x∈Z}，则A∪B＝（　　）

A．{1}　　　　　　　　　B．{1,2}

C．{0,1,2,3}D．{－1,0,1,2,3}

选C　因为B＝{x|（x＋1）（x－2）<

0，x∈Z}＝{x|－1<

2，x∈Z}＝{0,1}，A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．

2．（2018·

浙江三地联考）已知集合P＝{x|

<

2}，Q＝{x|－1≤x≤3}，则P∩Q＝（　　）

A．[－1,2）B．（－2,2）

C．（－2,3]D．[－1,3]

选A　由|x|<

2，可得－2<

2，所以P＝{x|－2<

2}，所以P∩Q＝[－1,2）．

3．（2017·

全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x<

1}，B＝{x|3x<

1}，则（　　）

A．A∩B＝{x|x<

0}　　B．A∪B＝R

C．A∪B＝{x|x>

1}D．A∩B＝∅

选A　∵集合A＝{x|x<

1}，B＝{x|x<

0}，

∴A∩B＝{x|x<

0}，A∪B＝{x|x<

1}，故选A.

4．设集合A＝{3，m}，B＝{3m,3}，且A＝B，则实数m的值是________．

由集合A＝{3，m}＝B＝{3m,3}，得3m＝m，则m＝0.

5．已知A＝{x|x2－3x＋2<

0}，B＝{x|1<

a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．

因为A＝{x|x2－3x＋2<

0}＝{x|1<

2}⊆B，

所以a≥2.

[2，＋∞）

二保高考，全练题型做到高考达标

1．已知集合A＝

，则集合A中的元素个数为（　　）

A．2B．3

C．4D．5

选C　∵

∈Z，

∴2－x的取值有－3，－1,1,3，

又∵x∈Z，∴x值分别为5,3,1，－1，

故集合A中的元素个数为4.

杭州名校联考）已知全集为R，集合A＝

，B＝{x|y＝log2（－x2＋6x－8）}，则A∩（∁RB）＝（　　）

x≤2或x≥4}B．{x|2≤x≤4}

C．{x|0<

2或x>

4}D．{x|x≤0}

选A　由y＝

x，得y>

0，即A＝{y|y>

0}，由－x2＋6x－8>

0，解得2<

4，所以∁RB＝{x|x≤2或x≥4}，所以A∩（∁RB）＝{x|0<

x≤2或x≥4}．

永康模拟）设集合M＝{x|x2－2x－3≥0}，N＝{x|－3<

3}，则（　　）

A．M⊆NB．N⊆M

C．M∪N＝RD．M∩N＝∅

选C　由x2－2x－3≥0，解得x≥3或x≤－1，所以M＝{x|x≤－1或x≥3}，所以M∪N＝R.

4．（2018·

河南六市第一次联考）已知集合A＝{x|x2－3x<

0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0,3）B．（0,1）∪（1,3）

C．（0,1）D．（－∞，1）∪（3，＋∞）

选B　∵A∩B有4个子集，∴A∩B中有2个不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a<

0，解得0<

3且a≠1，即实数a的取值范围是（0,1）∪（1,3），故选B.

5．已知集合A＝{x|x2－5x－6<

0}，B＝{x|2x<

1}，则图中阴影部分表示的集合是（　　）

A．{x|2<

3}B．{x|－1<

x≤0}

C．{x|0≤x<

6}D．{x|x<

－1}

选C　由x2－5x－6<

0，解得－1<

6，所以A＝{x|－1<

6}．由2x<

1，解得x<

0，所以B＝{x|x<

0}．又图中阴影部分表示的集合为（∁UB）∩A，因为∁UB＝{x|x≥0}，所以（∁UB）∩A＝{x|0≤x<

6}，故选C.

6．设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<

1，且x∈Z}，则A∩B＝________.

依题意得A＝{x|（x＋1）（x－2）≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<

1，x∈Z}＝{－1,0}．

{－1,0}

7．（2017·

嘉兴二模）已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x2－4x≤0}，则A∪B＝________，A∩（∁RB）＝________.

因为B＝{x|x2－4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤4}；

因为∁RB＝{x|x<

0或x>

4}，所以A∩（∁RB）＝{x|－1≤x<

0}．

{x|－1≤x≤4}　{x|－1≤x<

0}

8．设集合A＝{（x，y）|y≥|x－2|，x≥0}，B＝{（x，y）|y≤－x＋b}，A∩B≠∅.

（1）b的取值范围是________；

（2）若（x，y）∈A∩B，且x＋2y的最大值为9，则b的值是________．

由图可知，当y＝－x往右移动到阴影区域时，才满足条件，所以b≥2；

要使z＝x＋2y取得最大值，则过点（0，b），有0＋2b＝9⇒b＝

（1）[2，＋∞）　

（2）

9．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．

集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是（－∞，－2]．

（－∞，－2]

10．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．

（1）若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；

（2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．

解：

由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，

B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．

（1）因为A∩B＝[0,3]，

所以

所以m＝2.

（2）∁RB＝{x|x<

m－2或x>

m＋2}，

因为A⊆∁RB，

所以m－2>

3或m＋2<

－1，

即m>

5或m<

－3.

因此实数m的取值范围是（－∞，－3）∪（5，＋∞）．

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

杭州名校联考）设集合A＝{y|y＝sinx，x∈R}，集合B＝{x|y＝lgx}，则（∁RA）∩B＝（　　）

A．（－∞，－1）∪（1，＋∞）B．[－1,1]

C．（1，＋∞）D．[1，＋∞）

选C　由题可得，A＝[－1,1]，所以∁RA＝（－∞，－1）∪（1，＋∞）．又B＝（0，＋∞），所以（∁RA）∩B＝（1，＋∞）．

2．对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M⊕N＝（M－N）∪（N－M），设A＝

，B＝{x|x<

0，x∈R}，则A⊕B＝（　　）

C.

∪[0，＋∞）D.

∪（0，＋∞）

选C　依题意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝

，故A⊕B＝

∪[0，＋∞）．故选C.

3．设全集U＝R，且集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，集合B＝{x|x2＋2x－3>

0}，C＝{x|x2－3ax＋2a2<

（1）求A∩B；

（2）试求实数a的取值范围，使得C⊆A∪（∁UB）．

（1）因为A＝{x|x2－2x－8≤0}＝[－2,4]，

B＝{x|x2＋2x－3>

0}＝（－∞，－3）∪（1，＋∞），

所以A∩B＝（1,4]．

（2）由题可得，∁UB＝[－3,1]，

所以A∪（∁UB）＝[－3,4]．

因为C＝{x|x2－3ax＋2a2<

0}＝{x|（x－a）（x－2a）<

所以当a<

0时，C＝（2a，a），

因为C⊆A∪（∁UB），

所以此时只需－3≤2a，解得a≥－

，所以－

≤a<

当a＝0时，C＝∅，满足C⊆A∪（∁UB），所以a＝0.

当a>

0时，C＝（a,2a），

所以此时只需满足2a≤4，解得a≤2，所以0<

a≤2.

综上可知，要使得C⊆A∪（∁UB），只需－

≤a≤2.

故所求实数a的取值范围为

第二节

命题及其关系、充分条件与必要条件

1．命题

概念

使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句

特点

（1）能判断真假；

（2）陈述句

分类

真命题、假命题

2．四种命题及其相互关系

（1）四种命题间的相互关系：

（2）四种命题中真假性的等价关系：

原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.

3．充要条件

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为B

p是q的充分不必要条件

p⇒q且q

p

A是B的真子集

集合与

充要条件

p是q的必要不充分条件

p

q且q⇒p

B是A的真子集

p是q的充要条件

p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件

q且q

A，B互不包含

1．下列命题是真命题的是（　　）

A．若log2a>

0，则函数f（x）＝logax（a>

0，a≠1）在其定义域上是减函数

B．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题

C．“m＝3”是“直线（m＋3）x＋my－2＝0与mx－6y＋5＝0垂直”的充要条件

D．命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题

B

2．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的______条件．

充要

3．设a，b是向量，则命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆否命题为：

________.

若|a|≠|b|，则a≠－b

1．易混淆否命题与命题的否定：

否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．

2．易忽视A是B的充分不必要条件（A⇒B且B

A）与A的充分不必要条件是B（B⇒A且A

B）两者的不同．

杭州模拟）“x<

0”是“ln（x＋1）<

0”的（　　）

A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2．“在△ABC中，若∠C＝90°

，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：

________________.

原命题的条件：

在△ABC中，∠C＝90°

结论：

∠A，∠B都是锐角．

否命题是否定条件和结论．

即“在△ABC中，若∠C≠90°

则∠A，∠B不都是锐角”．

在△ABC中，若∠C≠