二次函数压轴题题型归纳Word文档下载推荐.docx
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若抛物线
1
3
y
mx
与
轴交于两个不同的整数点，且
为正整数，试确定
此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题
，可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下：
已知关于x的方程mx2
3（m
1）x2m
0（m为实数），求证：
无论
m为何值，方程总
有一个固定的根。
解：
当m
时，x
1；
0时，
m32
0，x
3m1
，x12
3、x21；
2m
综上所述：
m为何值，方程总有一个固定的根是
1。
6、函数过固定点问题
，举例如下：
已知抛物线y
x2
2（m是常数），求证：
不论m为何值，该抛物线总经过一个固
定的点，并求出固定点的坐标。
把原解析式变形为关于
m的方程y
x2
2m1x；
1，－1）。
∴
，解得：
；
∴抛物线总经过一个固定的点（
（题目要求等价于：
关于
m1
x不论m为何值，方程恒成立）
．．
的方程ax
b有无数解
a
小结：
b
7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）
（1）如图，直线l1、l2，点A在l2上，分别在l1、l2上确定两点M、N，使得AMMN之和最小。
（2）如图，直线l1、l2相交，两个固定点A、B，分别在l1、l2上确定两点M、N，使得
BMMNAN之和最小。
，在直线l上确定两点
E、F（E在F的
（）如图，A、B是直线l同旁的两个定点，线段
左侧），使得四边形
AEFB的周长最小。
8、在平面直角坐标系中求面积的方法：
直接用公式、割补法
三角形的面积求解常用方法：
如右图，
S
·
PM·
△x=1/2·
AN·
△y
△PAB=1/2
9、函数的交点问题：
二次函数（y＝ax2＋bx＋c）与一次函数（y＝kx＋h）
（1）解方程组
y＝ax2＋bx＋c可求出两个图象交点的坐标。
y＝kx＋h
（2）解方程组
y＝ax2＋bx＋c
，通过
可判断两个图象的交点
，即ax＋b－kx＋c－h＝0
的个数
有两个交点
＞0
仅有一个交点
没有交点
＜0
10、方程法
（1）设：
设主动点的坐标或基本线段的长度
（2）表示：
用含同一未知数的式子表示其他相关的数量
（3）列方程或关系式
11、几何分析法
特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。
几何要求几何分析
跟平行有关的
平移
图形
勾股定理逆定理
跟直角有关的利用相似、全等、平
图形行、对顶角、互余、互补等
跟线段有关的利用几何中的全等、
图形中垂线的性质等。
利用相似、全等、平
跟角有关的图
行、对顶角、互余、
形
互补等
涉及公式
y1
y2
l1∥l2k1＝k2、k
x1
AB
yAyB
应用图形
平行四边形
矩形
梯形
直角三角形
直角梯形
等腰三角形
全等
等腰梯形
【例题精讲】
一基础构图：
y=x22x3（以下几种分类的函数解析式就是这个）
★和最小，差最大
1在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标
2在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标
BOA
C
D
★求面积最大连接AC,在第四象限找一点P，使得ACP面积最大，求出P坐标
BOAx
★讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P，使得
ACP为直角三角形，
求出P坐标或者在抛物线上求点
P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．
★讨论等腰三角
连接AC,在对称轴上找一点
P，使得
ACP为等腰三角形，
求出P坐标
★讨论平行四边形1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，
且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标
BOAx
二综合题型
例1（中考变式）如图，抛物线yx2bxc与x轴交与A（1,0）,B（-3，0）两点，顶点为D。
交Y轴于C
（1）求该抛物线的解析式与△ABC的面积。
（2）在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形，若存在，求出点P的坐标。
若没有，请说明理由
（3）若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点（不与A、B重合），过E作EF与X轴垂直，交
BC于F，设E点横坐标为x.EF的长度为L，
求L关于X的函数关系式？
关写出X的取值范围？
当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标？
（4）在（5）的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。
当E点运动到什么位置时,以点E、F、H、
D为顶点的四边形为平行四边形？
（5）在（5）的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大？
4
例2
考点：
关于面积最值
如图，在平面直角坐标系中，点
A、C的坐标分别为（－1，0）、（0，－3），点B在x轴上．已知某
二次函数的图象经过
A、B、C三点，且它的对称轴为直线
x＝1，点P为直线BC下方的二次函数图
象上的一个动点（点
P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段
PF的长；
（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点
P的坐标．
AO
F
Bx
P
x＝1
例3
讨论等腰
如图，已知抛物线
y＝
＋bx＋c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A
的坐标为（2，0），
点C的坐标为（0，－1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求
点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，
说明理由．y
BOAxC
E
备用图
例4考点：
讨论直角三角
⑴如图，已知点A（一1，0）和点B（1，2），在坐标轴上
确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）．
（A）2个（B）4个（C）6个（D）7个
5
⑵已知：
如图一次函数
y＝1
x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；
二次函数
2＋
bx＋c的图象与一次函数
1x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，
＝
0）
（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形BDEC的面积S；
（3）在x轴上是否存在点
P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？
若存在，
求出所有的点
P，若不存在，请说明理由．
B
AODE
例5考点：
讨论四边形
已知：
如图所示，关于x的抛物线y＝ax2＋x＋c（a≠0）与x轴交于点A（－2，0），点B（6，0），
与y轴交于点C．
（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的
解析式；
（3）在
（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是
否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？
如果存在，请直接写出点Q的坐标；
如果不
存在，请说明理由．
AOB
6
综合练习：
1、平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24ax4ac与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴
交于点C，点A的坐标为（1,0），OB＝OC，抛物线的顶点为D。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A，若QAQB2，求点Q的坐标和此时△QAA的面积。
2、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y
ax2+2axc的图像与y轴交于点C0，3
，与x
轴交于A、B两点，点B的坐标为
3，0。
（1）求二次函数的解析式及顶点
D的坐标；
（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线
OM把四边形ACDB分成面积为1
2的
两部分，求出此时点M的坐标；
（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：
点
P在何处时△CPB的面积最大？
最大面积
是多少？
并求出此时点
P的坐标。
3、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2x22x与x轴负半轴交于点A，顶点为B，
且对称轴与x轴交于点C。
（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）D为OB中点，直线AD交y轴于E，若E（0，2），求抛物线的解析式；
（3）在
（2）的条件下，点M在直线OB上，且使得AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直
线BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。
4、已知关于x的方程（1m）x2（4m）x30。
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
7
（2）若正整数m满足82m
2，设二次函数
（1m）x2
（4m）x3的图象与x轴交于
A、B两点，将此图象在
x轴下方的部分沿
x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一
个新的图象；
请你结合这个新的图象回答：
当直线ykx
3与此图象恰好有三个公共点时，
求出k的值（只需要求出两个满足题意的
k值即可）。
5如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣4，0）和B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，
连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，
点D的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形？
若存在，请求出点F的坐标；
若不存在，请说明理由．
三、中考二次函数代数型综合题
题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧
例1．已知二次函数y＝x＋（m－1）x＋m－2的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且
x1＜x2．
（1）若x1x2＜0，且m为正整数，求该二次函数的表达式；
（2）若x1＜1，x2＞1，求m的取值范围；
（3）是否存在实数m，使得过A、B两点的圆与y轴相切于点
C（0，2），若存在，求出
m的值；
若
不存在，请说明理由；
MD
（4）若过点D（0，2
）的直线与
（1）中的二次函数图象相交于
M、N两点，且
DN＝
，求该直
线的表达式．
题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题
例2已知二次函数y=x+mx+m-5，
（1）求证：
不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；
（2）求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短．
8
题型三、抛物线方程的整数解问题
例1．已知抛物线yx22（m1）xm20与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m＜5，则
整数m的值为_____________
例2．已知二次函数y＝x2－2mx＋4m－8．
（1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；
（2）以抛物线y＝x2－2mx＋4m－8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正AMN（M，N两点
在拋物线上），请问：
△AMN的面积是与m无关的定值吗？
若是，请求出这个定值；
若不是，请说明理由；
（3）若抛物线y＝x2－2mx＋4m－8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数．．m的值．
Ox
题型四、抛物线与对称，包括：
点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合
A
例1．已知抛物线yx2bxc（其中b>
0，c≠0）与y轴的交点为A，点A关于抛物线对称轴的
对称点为B（m,n），且AB=2.
（1）求m,b的值
（2）如果抛物线的顶点位于x轴的下方，且BO=20。
求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：
请画图思考）
题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）
例1．已知：
二次函数y
4xm的图象与x轴交于不同的两点
A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜
x2），其顶点是点
C，对称轴与x轴的交于点D．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果（x1+1）（x2+1）=8，求二次函数的解析式；
（3）把
（2）中所得的二次函数的图象沿
y轴上下平移，如果平移后的函数图象与
x轴交于点A1、
B1，顶点为点C1，且△A1B1C1是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式．
综合提升
1．已知二次函数的图象与
轴交于，
两点，与
轴交于点（0，4），且|
|＝2
3，图象的
AB
对称轴为x＝1．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若二次函数的图象都在直线y＝x＋m的下方，求m的取值范围．
9
2．已知二次函数
y＝－x＋mx－m＋2．
（1）若该二次函数图象与
x轴的两个交点
A、B分别在原点的两侧，并且
AB＝
5，求m的值；
（2）设该二次函数图象与
y轴的交点为C，二次函数图象上存在关于原点对称的两点
M、N，且S△MNC
＝27，求
的值．
3.已知关于x的一元二次方程x－2（k＋1）x＋k＝0有两个整数根，k＜5且k为整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于
x的二次函数y＝x－2（k＋1）x＋k的图象沿x轴
向左平移
4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；
（3）根据直线
＋
与
（2）中的两个函数图象交点的总个数，求
的取值范围．
y＝x
4．已知二次函数的图象经过点
A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m．
（1）若为定值，求此二次函数的解析式；
x轴还有异于点A的另一个交点，求
m的取值范围；
（2）若二次函数的图象与
（3）若二次函数的图象截直线
y＝－x＋1所得线段的长为2
2，求m的值．
四、中考二次函数定值问题
1.（2012江西南昌8分）如图，已知二次函数L1：
y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B
左边），与y轴交于点C．
（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）研究二次函数L2：
y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？
如果不会，请求出EF
的长度；
如果会，请说明理由．
10
2.（2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A（－2，O）、B（2，0）、C（0，－l）
三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D（0，－2）作平行于x轴的
直线l1、l2．
（1）求抛物线对应二次函数的解析式；
（2）求证以ON为直径的圆与直线l1相切；
（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长．
3.（2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=4x2+22x交于点A（3，6）．
273
（1）求直线y=kx
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