第一轮复习自己整理绝对经典向量第一轮讲课稿Word文件下载.docx

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C、向量AB的长度与向量BA的长度相等

D若非零向量AB与CD是共线向量，则ABCD四点共线

例3.给出下面四个命题:

1对于任意向量a、b,都有|ab|>

ab成立；

2对于任意向量a、b,若a2=b2，贝Ua=b或a=-b；

3对于任意向量a、b、c,都有a（b•）=（b•）•成立；

4对于任意向量a、b、c,都有a（bc）=（ba）c成立.

其中错误的命题共有.

例4.给出下列命题：

1若a2+b2=0,则a=b=0;

2已知A（Xi,yi）,B（X2，y2）,贝U2aB（Xl,yi2"

）；

3已知a,b,c是三个非零向量，若a+b=0,则|ac|=|bc|

4已知10,20,e1,e2是一组基底，a=/1e1+Ae2则a与e1不共线，a与氏也不共线；

其中正确命题的序号是.

例5.如果&

、e2是平面a内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（）

1心+闻2（入）可以表示平面a内的所有向量；

2对于平面a中的任一向量a,使a=2e1+闻2的入卩有无数多对；

3若向量入e+（j）e2与屁计俾e2共线，则有且只有一个实数k,使恋计俾e2=k（入e1+^e）；

4若实数入，卩使备+哙=0，则入=卩=0.

A.①②B.②③C.③④D.仅②

真题：

（2014北京东城区统一检测）若a，b是两个非零向量，则|a+b|=|a-b|是ab的

条件

（2013年高考广东卷（文））设a是已知的平面向量且a0,关于向量a的分解,有如下四个命题：

1给定向量b,总存在向量c,使a

2给定向量b和c,总存在实数和，使abc;

3给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc；

4给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c,使abc;

上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）

（15北京文科）设a,b是非零向量,

rb

ra

A.1B.2C.3D.4

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

（15年安徽文科）ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a、b满足AB2a,

AC2ab，则下列结论中正确的是。

（写出所有正确结论得序号）

①a为单位向量；

②b为单位向量；

③ab;

④b//BC;

⑤（4ab）BC

（15年陕西理科）对任意向量a,b，下列关系式中不恒成立的是（）

rrrrrrrrrr2rr2rrrrr2r2

A.|ab||a||b|B.|ab|||a||b||C.（ab）2|ab|2D.（ab）（ab）ab

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题型二：

平面向量基本定理及基底的相关应用

平面向量的基本定理：

如果ei和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量

a,有且只有一对实数i、2，使a=iei+2e?

urnurnuuu

（3）向量PA、PB、PC中三终点AB、C共线存在实数

uuu

使得PA

PB

uuuPC且

向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

r

（2）||a

||b||

rr|ab|

rrrrrr

|a||b|，特别地，当a、b冋向或有0|a

b||

rr

a||b|

rrr

rrrr

||a||

b|||a

b|；

当

ta、b反向或有0

|ab||a||b|

||a|

|b|||ab|；

当a、b不共线

|b|||a

b||a|

|b|（这些和实数比较类似

）.

例6.如图,ABCD是一个梯形，AB〃CD,AB2CD,M、N分别是DC,AB的中点,已知ABa,ADb,试

D

MC

uuuuuuuuuu

用a、b表示DC,BC和MN.

1

例7.在AOAB中，延长BA到C,

使AC=BA在OB上取点D,使DB=3OB.DC与OA交于E,设OA=a，OB=b，

用a，b表示向量OCDC

例8.已知在△ABC中,BD

2DA,点E为AC的中点，CD与BE交于点F,试用AB与AC表示AF.

uiuuruuiTrrr

例9.在平行四边形ABCD中，M,N分别为DC,BC的中点，已知AMa,ANb，试用a,b表

uuuluir

示AB,AD。

CD（）

A1

2f

2-

1-

3

4

4-

3-

A.a

b,B.

a

b,C.

b,D.

b,

5

三点共线定理的应用:

例12.在厶ABC中,AR

2RB,CP2PR,若APmABnAC,则mn

—1+、:

5c.—

D.

1+・'

2

A.

b.7

例13若A，B，C是直线l上不同的三个点，若0不在I上，存在实数x使得x2OA+xOB+BC=0，实数x为

例14.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于0，E是线段0D的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC=

a,

BD=b,则AF等于（）

1121

A.4a+2bB.§

a+3b

实数m的值为

例16.已知0是

ABC的外心，AB

2,AC1,

BAC

1200

uuruuuuuir

，若AO1AB2AC，贝U

值为（）

A.2B

13

C.

7

D.-

6

例17.若向量a

（3,2）,b（2,1）,c

（7,4）,现用

a、

b表示

c,则c=.

真题:

（湖南六校联考2014）设i、j是平面直角坐标系（坐标原点为0）内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向

量，且OA=-2i+j,OB=4i+3j，则△0AB的面积等于

（2015洛阳市统考）已知直角坐标系内的两个向量a（1,3）,b（m,2m3）使平面内的任意一个c

题型三：

向量的几何运算及三角形的四心

1向量加法：

利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之

uuuruuuruuurr

外，向量加法还可利用“三角形法则”：

设ABa,BCb，那么向量AC叫做a与b的和，即

rruuuuuuuuur

abABBCAC；

uuuruuurrrruuuruuiruur

2向量的减法：

用“三角形法则”：

设ABa,ACb,那么abABACCA，由减向量的终点指

向被减向量的终点。

注意：

此处减向量与被减向量的起点相同

人X2X3力y2y3

3，3

在ABC中:

①若Ax,,y1,Bx2,y2,C%,y3，则其重心的坐标为

nr

uurr

②PG

3（PA

③PA

PC

uuuuuuuuu

G为ABC的重心，特别地PAPBPC

P为ABC的重心;

ULU

PAP为ABC的垂心;

uur

PC）

例21.已知非零向量AB与AC满足（ABAC）BCIABlACl

0，且A

AB

AC

内心

为（）

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形

重心

■■■f

例22.O是ABC内一点，OCOAOB0，则为ABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

垂心

例23.0是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P

满足OPOA

ABCOSB

ACCOSC

）,

R,则点P的轨迹一定通过ABC勺

A.外心

B.内心

C.

D.垂心

外心

例24.已知点O,

N,P在ABC所在平面内,

OA

OB

OC,0NANBNC,

PAPBPB

PCPCPA，则0,

N,

p依次是abcB（

A.重心、

外心、垂心

B.重心、外心

内心C.外心、重心、垂心D.外心、

重心、

题型四:

平面向量坐标运算及共线问题

设a（N,yJ,b区』2）,

则:

①向量的加减法运算：

b（nX2,yi

y2）

②实数与向量的积：

Xi,yi

yi。

③若A（xi,yi）,B（X2,y2），则

X2Xi,y2

yi

即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线

段的终点坐标减去起点坐标。

④平面向量数量积

y〃2

。

如:

⑤向量的模：

|a|

X2y2,a2

|a|2

X2y2。

如

⑥两点间的距离

BX2,y2

则|AB|X2

y2yi

向量的运算律:

i•交换律:

a,a?

bb?

2•结合律:

c,ab

a?

b

ba?

b;

3•分配律:

a,abab,a

b?

c

例25.设A（2,3）,B（

1,5）

UULTiUlUUULTUUU

且AC丄AB,AD3AB,则CD的坐标分别是3

例26.与向量a=（12,5）平行的单位向量为

例27.已知A（0,2）,B（2,2）,C（3,4），求证:

A,B,C三点共线

uuu近rruuurruuurr

例28.设AB（a5b）,BC2a8b,CD3（ab），求证：

AB、D三点共线

（2013年高考辽宁卷（文））已知点A1,3,B4,1,则与向量AB同方向的单位向量为

（2014滁州市统考）已知向量a=（sinx,cosx）,b=（sinx,sinx）,c=（—1,0）。

31

（1）若x=，求向量a、c的夹角；

（2）若x€[-，—]，函数f（x）ab的最大值为-,

3842

求的值。

题型五：

求参量的值

向量数量积的性质：

设两个非零向量a，b，其夹角为，贝U：

1aba?

b0;

i--~rrr2rrr2r血---一

2当a，b同向时，a?

b=ab，特别地，aa?

aa,aVa;

当a与b反向时，a?

b=

—ab;

当为锐角时，a?

b>

0，且a、b不同向，ab0是为锐角的必要非充分条件；

③非零向量a，b夹角的计算公式：

cos

a?

brrrrr'

b:

④|a?

b||a||b|

0是为钝角的必要非充分条件;

为钝角时，a?

bv0，且a、b不反向，ab

提醒:

（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：

对于一个向量等式，可以移项，两边平方、

两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两

边不能约去一个向量，切记两向量不能相除（相约）；

（2）向量的“乘法”不满足结合律，即a（b?

c）（a?

b）c，为什么？

向量平行（共线）的充要条件：

a//babxyyix2=0。

rr「「rrrr

向量垂直的充要条件：

abab0\ab\\ab\x1x2y1y20.

例29.已知向量a=（寸3，1），b=（0，-1），c=（k，寸3）•若a-2b与c共线，则k=

例30.已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）•若入为实数，（a+Ab）//c,则入二.

例31.已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k=

例32.已知e1,

e2是夹角为2n的两个单位向量，a=e1-2e2，b=ke1+ez若ab=0,则实数k的值

题型六：

模的相关运算

例34.已知单位向量e1,e2的夹角为60°

则2e1—氏\=

例36.已知向量a,b夹角为45，且

-<

10

例35.向量a（x,1）,b（1,2）,且ab，则\ab\

例37:

已知\a\1,b|2,|3a2b|3，则|3ab|为

题型七：

求坐标、夹角、数量积及投影

b在a上的投影：

为\b\cos，即它是一个实数，但不一定大于0。

—rr..”「.”

b的几何意义：

数量积a?

b等于a的模\a\与b在a上的投影的积

例38.设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则a与b的夹角为

例39.已知向量a，b满足（a+2b）（a—b）=—6,且|a|=1,|b|=2,贝Ua与b的夹角为

例40.若向量a=（1,2）,b=（1,—1），则2a+b与a—b的夹角等于

n

例41.已知两个单位向量e1,e2的夹角为3，若向量b—&

—2b,b2=3e1+4e2,则bb2=

例42.已知a=（2,3）,b=（-4,7）,则a在b方向上的投影为（）

A.13B.竺C.芒D.65

55

例43•设ab4，若a在b方向上的投影为2,且b在a方向上的投影为1,则a与b的夹角等于（

22

A.B.C.—D.—或—

例44.如图所示，平行四边形

例45.a,b,c满足abc0,

贝UAPAC=

63333

例46.已知a,b是非零向量且满足a|bab,则a与ab的夹角是

aa'

——

例47.若向量a与b不共线，ab0,且ca（——）b,则a与c的夹角是

ab

的取值

例48.已知aV2,b1,a与b的夹角为45°

，求使向量ab与ab的夹角为锐角的范围。

例49.已知a1,b2,a与b夹角为120,abc0,则a与c的夹角为

（黄冈市二模）知非零向量满足abc0，向量a,b的夹角为60，且

ab1,则向量a与c的夹角为

（东北名校联考）已知3a4b5c0,且abc1，则a（bc）=

（15年新课标2文科）已知a1,1,b1,2，则（2ab）a（）

A.1B.0C.1D.2

（2015郑州市一模）已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，贝UAP（AB+AC）为（）

A.最大值为8B.最小值为2

C.是定值6D.与P的位置有关

题型八：

向量的最值问题

例50.已知两向量a（1,3）,b（2,），a与b的夹角为锐角，贝U的范围例51.已知平面向量a,b，且满足a1,ab2，则b的取值范围

uabrru

例52.已知向量p-fb，其中a、b均为非零向量，则|p|的取值范围是（

|a||b|

A.[0^-2]B.[0,1]C.（0,2]D.[0,2]

A.1B.3

C.2

d¥

例53.在厶ABC中，D为BC边中点，若/A=120°

ABAC=-1,则|AD|的最小值是（）

例54.已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a-c）•（b-c）=0，则|c|的最大值

例55.已知单位向量a,b,c，且ab0，（ac）（bc）0,则abc的最大值为

例56.已知直角梯形ABCD中,AD//BC,ADC90°

AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点，则

PA3PB的最小值为

的最小值是

例58.在ABC中，D为BC边的中点，AD=1点P在线段AD上，贝UPA（PBPC）的最小值

例59.在边长为1的正三角形ABC中,BDxBACEyCA,x0,y0,xy1,则CD?

BE的最大值为

题:

（2014•湖南卷）面直角坐标系中，O为原点，A（—1,0）,B（0,.3）,C（3,0）,动点D满足|CD|

=1,则|OA+OB+OD|的最大值是.

（15年天津理科）在等腰梯形ABCD中，已知AB//DC,AB2,BC1,ABC60°

，动点E和Fujuuuurujit1ujituuuuuur

分别在线段BC和DC上，且,BEBC,DF—DC,则AEAF的最小值为

9

（2013年高考湖南（文））已知a,b是单位向量,ab=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值

为（）

A.、21B.、2C.、、21D..22

题型九：

图形类问题（向量相关的坐标解法）

UUlUUU

例60:

在厶ABC中,M是BC的中点，AM=3BC=10贝UABAC=例61:

在矩形ABCD中，AB2,BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若

uuuuuu_uuuULLT

ABgAF72，贝UAEgBF的值是.

例62.平面上有四个互异点ABCD,已知（DB+DC—2DA（AB—AC=0,则厶ABC的形状是

例63.如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E、F两点，且交其对角线于K，其中AE

1f

=3AB，

Af=1ad，Ak=2AC，贝y入

的值为（）

AE

H

1,

r11

A.5

B.1（

D.1

例64.在厶ABC中，C=90°

且CA=CB=3,点M满足BM=2MA，则CMCB等于（）

A.2B.3C.4D.6

例65.在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3,BD=1，则ABAd=.

例66.已知点o是边长为1的等边三角形ABC的中心，贝U（OAOB）?

（OAOC）等于

例

67.在厶ABC中，AB=2,AC=4若点PABC的外心，贝UAP?

BC的值为

例68.已知：

|OA|=1，|Ob^V3，OAOB=0，点C在/AOB内，且/AOC=30°

设OC=mOA+nOB

+rtrm

（m，n€R），则；

=.

A.13B.15C.19

D.21

向量mn2sinB,.3,n

c°

s2B,2c°

s2旦1,且n//n

（A）|a2（B）3a2（C）3a2（D）|a2

2442

题型十：

平面向量在函数及三角函数中的应用

LUUuultuuruuu

例69.在ABC中，已知ABgAC3BAgBC.

（1）求证：

tanB3tanA;

（2）若cosC5，求A的值.

n3n例70.已知A,B,C的坐标分别为A（3,0）,B（0,3）,C（cosa,sina）,a€—,三

（1）若|AC|=|BC|，求角a的值；

・2.

—>

—>

2sina+sin2a

⑵若AC-BC=-1，求T—一的值.

1十tana

例71.在ABC中，已知内角A.B.C所对的边分别为a、b、c,

（I）求锐角B的大小;

（II）如果b2,求ABC的面积SABC的最大值？

1.Q

例72.平面向量a=（.3,-1）,b=（-，亍）.

（1）若存在实数k和t，便得x=a+（t2—3）b,y=—ka+1b,且x丄y，试求函数的关系式k=

f（t）；

⑵根据⑴的结论，确定k=f（t）的单调区间。

若存在不为零的实数

k和角a,使向量C

一1