（4）x1=6。
x2=4。
（5）最优解为x1=8，x2=0。
（6）不变化。
因为当斜率-1≤-c1
c2
-1，最优解不变，变化后斜率为1，所以最优解3
不变。
7.解：
设x，y分别为甲、乙两种柜的日产量，目标函数z=200x＋240y，线性约束条件：
⎧6x+12y≤120
⎪8x+4y≤64
⎨即
⎪x≥0
⎪⎩y≥0
⎧x+2y≤20
⎪2x+y≤16
⎨
⎪x≥0
⎪⎩y≥0
作出可行域．
解
⎧x+2y=20
⎨
⎩2x+y=16
得Q（4,8）
z最大=200⨯4+240⨯8=2720
答：
该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台，可获最大利润2720元．
8．解：
设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积zm2．目标函数z=x＋2y，线性约束条件：
⎧x+y≥12
⎪2x+y≥15
⎪
⎨x+3y≥27
⎪x≥0
⎪
⎪⎩y≥0
⎧x+3y=27
作出可行域，并做一组一组平行直线x＋2y=t．解⎨
⎩x+y=12
得E（9/2,15/2）
．但E不是可行域内的整点，在可行域的整点中，点（4,8）使z取得最小值。
答：
应截第一种钢板4张，第二种钢板8张，能得所需三种规格的钢板，且使所用钢
板的面积最小．
9．解：
设用甲种规格原料x张，乙种规格原料y张，所用原料的总面积是zm2，目标函数z=
⎧x+2y≥2
3x＋2y，线性约束条件2x+y≥3
⎪
⎪
⎨
⎪x≥0
⎪⎩y≥0
作出可行域．作一组平等直线3x＋2y=t．解
⎧x+2y=2
⎨
⎩2x+y=3
得C（4/3,1/3）
C不是整点，C不是最优解．在可行域内的整点中，点B（1，1）使z取得最小值．
z最小=3×1＋2×1=5，
答：
用甲种规格的原料1张，乙种原料的原料1张，可使所用原料的总面积最小为5m2．
10．解：
设租用大卡车x辆，农用车y辆，最低运费为z元．目标函数为z=960x＋360y．
⎧0≤x≤10
⎨0
线性约束条件是⎪
⎪
≤y≤20
作出可行域，并作直线960x＋360y=0．
⎩8x+2.5y≥100
即8x＋3y=0，向上平移
⎧x=10
由⎨
⎩8x+2.5y=100
得最佳点为（8,10）
作直线960x＋360y=0．
即8x＋3y=0，向上平移至过点B（10，8）时，z=960x＋360y取到最小值．
z最小=960×10＋360×8=12480
答：
大卡车租10辆，农用车租8辆时运费最低，最低运费为12480元．
11．解：
设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y，所获利润为z，则z=6x＋10y．
⎧0.18x+0.09y≤72
⎪
⎧2x+y≤800
⎪
⎪0.08x+0.28y≤56即⎪2x+7y≤1400
作出可行域．平移6x＋10y=0，如图
⎨
⎪x≥0
⎪⎩y≥0
⎨
⎪x≥0
⎪⎩y≥0
⎧2x+y=800
⎨
⎩2x+7y=1400
⎧x=350
得⎨
⎩y=100
即C（350，100）．当直线6x＋10y=0即3x＋5y=0平移到
经过点C（350，100）时，z=6x＋10y最大
12．解：
模型maxz=500x1+400x2
2x1≤300
3x2≤540
2x1+2x1≤440
1.2x1+1.5x2≤300
x1,x2≥0
（1）x1=150，x2=70，即目标函数最优值是103000。
（2）2，4有剩余，分别是330，15，均为松弛变量。
（3）50，0，200，0。
（4）在[0,500]变化，最优解不变；在400到正无穷变化，最优解不变。
（5）因为-c1=-450≤-1，所以原来的最优产品组合不变。
c2430
13．解：
（1）模型minf=8xA+3xB
50xA+100xB≤1200000
5xA+4xB≥60000
100xB≥300000
xA,xB≥0
基金A，B分别为4000元，10000元，回报额为62000元。
（2）模型变为maxz=5xA+4xB
50xA+100xB≤1200000
100xB≥300000
xA,xB≥0
推导出x1=18000，x2=3000，故基金A投资90万元，基金B投资30万元。
第3章线性规划问题的计算机求解
1．解：
⑴甲、乙两种柜的日产量是分别是4和8，这时最大利润是2720
⑵每多生产一件乙柜，可以使总利润提高13.333元
⑶常数项的上下限是指常数项在指定的范围内变化时，与其对应的约束条件的对偶价格不变。
比如油漆时间变为100，因为100在40和160之间，所以其对偶价格不变仍为13.333
⑷不变，因为还在120和480之间。
2．解：
⑴不是，因为上面得到的最优解不为整数解，而本题需要的是整数解⑵最优解为
（4，8）
3．解：
⑴农用车有12辆剩余
⑵大于300
⑶每增加一辆大卡车，总运费降低192元
4．解：
计算机得出的解不为整数解，平移取点得整数最优解为（10，8）
5．解：
圆桌和衣柜的生产件数分别是350和100件，这时最大利润是3100元
相差值为0代表，不需要对相应的目标系数进行改进就可以生产该产品。
最优解不变，因为C1允许增加量20-6=14；C2允许减少量为10-3=7，所有允许增加百分比和允许减少百分比之和（7.5-6）/14+（10-
9）/7〈100%，所以最优解不变。
6．解：
（1）x1=150，x2=70；目标函数最优值103000。
（2）1、3车间的加工工时数已使用完；2、4车间的加工工时数没用完；没用完的加
工工时数为2车间330小时，4车间15小时。
（3）50，0，200，0。
含义：
1车间每增加1工时，总利润增加50元；3车间每增加1工时，总利润增加200
元；2车间与4车间每增加一个工时，总利润不增加。
（4）3车间，因为增加的利润最大。
（5）在400到正无穷的范围内变化，最优产品的组合不变。
（6）不变，因为在[0,500]的范围内。
（7）所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条件
1的右边值在[200,440]变化，对偶价格仍为50（同理解释其他约束条件）。
（8）总利润增加了100×50=5000，最优产品组合不变。
（9）不能，因为对偶价格发生变化。
（10）不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和
25+50≤100%
100100
（11）不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和
50+60≤100%，其最大利润为103000+50×50−60×200=93500元。
140140
7．解：
（1）4000，10000，62000。
（2）约束条件1：
总投资额增加1个单位，风险系数则降低0.057；约束条件2：
年回报额增加1个单位，风险系数升高2.167；约束条件3：
基金B的投资额增加1个单位，风险系数不变。
量是0，表示投资回报额正好是60000；约束条件3的松弛变量为700000，表示投
资B基金的投资额为370000。
（4）当c2不变时，c1在3.75到正无穷的范围内变化，最优解不变；
当c1不变时，c2在负无穷到6.4的范围内变化，最优解不变。
（5）约束条件1的右边值在[780000,1500000]变化，对偶价格仍为0.057（其他同理）
。
（6）不能，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和
4+2
>100%，理由
见百分之一百法则。
4.253.6
8．解：
（1）18000，3000，102000，153000。
（2）总投资额的松弛变量为0，表示投资额正好为1200000；基金B的投资额的剩余变量为0，表示投资B基金的投资额正好为300000；
（3）总投资额每增加1个单位，回报额增加0.1；基金B的投资额每增加1个单位，回报额下降0.06。
（4）c1不变时，c2在负无穷到10的范围内变化，其最优解不变；
c2不变时，c1在2到正无穷的范围内变化，其最优解不变。
（5）约束条件1的右边值在300000到正无穷的范围内变化，对偶价格仍为0.1；
约束条
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