普通高等学校届高三招生全国统一考试仿真卷二数学理试题含答案.docx
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普通高等学校届高三招生全国统一考试仿真卷二数学理试题含答案
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
理科数学
（二）
本试题卷共页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：
每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：
用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：
先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（）
A．B．C．D．
2．若双曲线的一个焦点为，则（）
A．B．C．D．
3．将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则（）
A．B．C．D．
4．函数，的值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（）
A．B．C．D．1
5．记，则的值为（）
A．1B．2C．129D．2188
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．8
7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：
“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？
”其意思：
“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（）
A．一鹿、三分鹿之一B．一鹿
C．三分鹿之二D．三分鹿之一
8．函数的部分图像大致为（）
A．B．
C．D．
9．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（）
A．12B．18C．120D．125
10．当实数，满足约束条件，表示的平面区域为，目标函数的最小值为，而由曲线，直线及轴围成的平面区域为，向区域内任投入一个质点，该质点落入的概率为，则的值为（）
A．B．C．D．
11．已知点是抛物线：
的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
12．已知函数（其中是自然对数的底数），若当时，恒成立，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第（13）~（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第（22）~（23）题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分。
13．已知，，则“”是直线与直线平行的__________条件（从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择一个）
14．若当时，函数取得最小值，则______．
15．在矩形中，，．边上（包含、）上的动点与延长线上（包含点）的动点满足，则的最小值为__________．
16．设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则__________．
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小：
（2）若，．求的面积．
18．基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：
月份
2017.8
2017.9
2017.10
2017.11
2017.12
2018.1
月份代码
1
2
3
4
5
6
市场占有率
11
13
16
15
20
21
（1）请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率与月份代码之间的关系；
（2）求关于的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；
（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的，两款车型报废年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：
经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？
参考数据：
，，．
参考公式：
相关系数；
回归直线方程为，其中，．
19．如图，四棱锥中，为正三角形，，，，，为棱的中点．
（1）求证：
平面平面；
（2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值．
20．如图，曲线与正方形：
的边界相切．
（1）求的值；
（2）设直线交曲线于，，交于，，是否存在这样的曲线，使得，，成等差数列？
若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．已知函数．
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）证明：
且．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线．
（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求，的极坐标方程；
（2）射线与异于极点的交点为，与的交点为，求．
22．选修4-5：
不等式选讲
已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围．
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
理科数学
（二）答案
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D2．B3．D4．B5．C6．B
7．B8．B9．C10．B11．C12．B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第（13）~（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第（22）~（23）题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分。
13．充要14．15．16．
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【答案】
（1）；
（2）4．
【解析】
（1）在中，由正弦定理得．······1分
即，又角为三角形内角，，
所以，···········3分
即，···········4分
又因为，所以．···········6分
（2）在中，由余弦定理得：
，
则．···········7分
即．···········8分
解得（舍）或．···········10分
所以．···········12分
18．【答案】
（1）见解析；
（2），23%；（3）见解析．
【解析】
（1）散点图如图所示：
···········1分
，∴，
∴，
所以两变量之间具有较强的线性相关关系，···········3分
故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．
（2），···········4分
又，
∴，···········5分
∴回归直线方程为．···········6分
2018年2月的月份代码，∴，
所以估计2018年2月的市场占有率为23%．···········7分
（3）用频率估计概率，款单车的利润的分布列为：
∴（元）．···········9分
款单车的利润的分布列为：
∴（元）．······11分
以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择款车型．········12分
19．【答案】
（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
（1）取中点，连接，．
为中点，，又，，
为平行四边形，···········2分
．···········3分
又为正三角形，，从而，···········4分
又，，平面，···········5分
又平面，平面平面．···········6分
（2），，又，，平面．平面为与平面所成的角，即，．
以为原点，建系如图，设，则，，，，···········8分
，．设为平面的法向量，
则，令，得，···········10分
由
（1）知，为平面的一个法向量．···········11分
，即二面角的余弦值为，即二面角的余弦值为．······12分
20．【答案】
（1）；
（2）．
【解析】
（1）由题，得，
有，···········2分
化简的．
又，，所以从而有；···········4分
（2）由，
得，即···········5分
由，得，
由可得，
且，，···········7分
所以，···········8分
可得，
从而，
所以，即有，···········10分
符合，故当实数的取值范围是时，存在直线和曲线，使得，，成等差数列．···········12分
21．【答案】
（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
（1）解：
，．
令，得，···········1分
①当，即时，则，
在上单调递增；···········3分
②当，即时，令，得；令，得．
在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．···········5分
（2）证明：
先证．当时，，
由
（1）可得当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
，，．···········8分
再证．
设，
则，当且仅当时取等号．
设，则，
∴当时，，单调递增；
令，得时，，单调递减．
．，
又此不等式中两个等号的成立条件不同，故，
从而得证．
综上可得且．···········12分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．【答案】
（1）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为；
（2）．
【解析】
（1）曲线：
（为参数）化为普通方程为，
所以曲线的极坐标方程为，···········3分
曲线的极坐标方程为．···········5分
（2）射线与曲线的交点的极径为，···········7分
射线与曲线的交点的极径满足，
解得，···········9分
所以．···········10分
23．【答案】
（1）；
（2）．
【解析】
（1）由得，
∴，或，或，······3分
解得．···········5分
（2）当时，，·········6分
∴存在，使得即成立，
∴存在，使得成立，···········8分
∴，∴．···········10分
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