广东省珠海市学年高三摸底考试数学理试题 Word版含答案.docx
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广东省珠海市学年高三摸底考试数学理试题Word版含答案
珠海市2017-2018学年度第一学期高三摸底考试
理科数学试题
一．选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知是虚数单位，若，则=
A. B.C.D.
2.设集合，则=
A. B.C.D.
3.已知是公差为的等差数列，是其前项和.若，则的值是
A. B.C.D.
4.一个路口的红绿灯，红灯的时间为秒，黄灯的时间为秒，绿灯的时间为秒，当你到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为
A. B.C.D.
5.已知双曲线的离心率是，则的渐近线方程为
A.B.C.D.
6.如图，网格上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为
A.B.C.D.
7.若平面区域夹在两条斜率为的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是
A．B．C．D．
8.函数在区间上的图像大致是
ABCD
9.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为，则输出的值为
A. B.C.D.
10.设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点，若，且的面积为，则的值为
A. B.C.D.
11.在正方体中，分别是棱的中点，是，面与面相交于，面与面相交于，则直线的夹角为
A.0B.C.D.
12.设，若对任意实数都有，定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是个,则满足条件的有序实数组的组数为
A. B.C.D.
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）
14．已知向量，则实数k的值为.
15．已知函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则
.
16．已知数列满足，若从中提取一个公比为的等比数列，其中且，则满足条件的最小的值为.
三、解答题:
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
在中，.
（1）求的大小；
（2）求的最大值.
18．（本小题满分12分）
在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，是圆台的一条母线.
（1）已知分别为的中点，求证：
；
（2）已知，，求二面角的余弦值.
19．（本小题满分12分）
自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：
产假安排（单位：
周）
14
15
16
17
18
有生育意愿家庭数
4
8
16
20
26
（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？
（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．
①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；
②如果用表示两种方案休假周数之和．求随机变量的分布列及数学期望．
20．（本小题满分12分）
设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，上顶点为，且满足，其中为坐标原点，为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证:
为定值.
21．（本小题满分12分）
已知.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：
对于任意的成立.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22．（本小题满分10分）选修4—1：
几何证明选讲
如图，的角平分线的延长线交它的外接圆于点.
（1）证明：
△ABE∽△ADC；
（2）若的面积，求的大小.
23．（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在在直角坐标系中，直线的参数方程为.在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求.
24．（本小题满分10分）选修4—5：
不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围.
珠海市2016-2017学年度第一学期高三摸底考试
理科数学参考答案
一．选择题：
1－5：
ACDCC 6－10：
BBBCA 11－12：
AD
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．135
14．16
15．－2
16．2
三、解答题:
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
解:
（1）由已知得:
………….2分
……….3分
………….4分
（2）由
（1）知:
………..5分
故……….6分
所以
………..8分
……….9分
…………………..10分
考点:
1.三角恒等变形2.余弦定理3.消元4.三角函数范围
18．（本小题满分12分）
解答:
（1）证明:
设的中点为，连接，……….1分
在中，，又，
，
在中，，………….3分
又，所以
…………………………5分
（2）解法一:
连接，则，又，且是圆的直径，所以…………………………6分
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系（OA方向为x轴，OB方向为y轴，方向为z轴，图略）
由题意得:
过点作于点，
故…………………………………8分
故
设是平面的一个法向量，
取，则，………………………………10分
又平面的一个法向量，
故………………………………11分
所以二面角的余弦值为………………………………12分
解法二:
连接，过点作于点，则有，………..6分
又，所以，故，
…………7分
过点作于点，连接，可得，
故为二面角的平面角.……………9分
因为，且是圆的直径，所以，
………..10分
故，…………………11分
所以二面角的余弦值为………………………………12分
考点：
1.空间平行判定与性质；2.二面角的计算；3.空间想象能力;4.推理论证能力
19．（本小题满分12分）
解：
（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；
当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为……………2分
（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有（种），…………4分
其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，由古典概型概率计算公式得．……………6分
②由题知随机变量的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．……………7分
，，
……………………………………………9分
因而的分布列为
29
30
31
32
33
34
35
0．1
0．1
0．2
0．2
0．2
0．1
0．1
……………………………………………10分
所以.
…………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
解答:
（1）解:
设，由，得:
…….2分
故，
故椭圆的方程为:
………………………………4分
（2）证明:
由
（1）知:
设，则……5分
当时，，
故:
…………………………..7分
当时，直线的方程为:
令,得:
故:
直线的方程为:
令，得:
故:
.………………………….9分
所以
=………………….11分
综上可知:
，即为定值…………….12分
考点：
1.椭圆的标准方程和几何性质;2.直线与椭圆的位置关系；3.定值问题.
21．（本小题满分12分）
解答：
（1）解：
的定义域为，
当，时，，单调递增；，单调递减.………………….2分
当时，.
①时，当时，单调递增，当
时，单调递减；…………………3分
②时，当时单调递增；
③时，，当单调递增，当
时，单调递减.……………….4分
综上所述，
当时，函数在内单调递增，在内单调递减；
当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；
当时，函数在内单调递增；
当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.……………………………..5分
（2）由
（1）知，时，
，……………..7分
设
则
…………………….8分
由
可得：
当且仅当x=1时取等号…………………9分
又，设，则在单调递减，
使得，
，
，………..11分
，
即对于任意的成立.………………..12分
考点：
1.利用导函数判断函数的单调性；2.构造函数；3.分类讨论思想.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22．（本小题满分10分）选修4—1：
几何证明选讲
如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.
（1）证明：
△ABE∽△ADC；
（2）若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小.
（1）证明 由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.………….1分
因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角.
所以∠AEB＝∠ACD.………….3分
故△ABE∽△ADC.………….4分
（2）解 因为△ABE∽△ADC，所以＝，
即AB·AC＝AD·AE………….6分
又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，
故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE，………….8分
则sin∠BAC＝1.
又∠BAC为△ABC的内角，………….9分
所以∠BAC＝90°.………….10分
考点：
1.相似三角形;2.圆
23．（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ＝2sinθ.
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为（3，），求|PA|＋|PB|.
解
（1）由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ.………….2分
∴x2＋y2＝2y，即x2＋（y－）2＝5.………….3分
（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程.
得＋＝5，即t2－3t＋4＝0.………….6分
由于Δ＝（－3）2－4×4＝2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点P（3，），………….8分
故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.………….10分
考点：
1.直线的参数方程；2.
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