《高校自主招生考试》数学真题分类解析之5概率.docx

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《高校自主招生考试》数学真题分类解析之5概率

专题之5、概率

一、选择题。

1．（2009年华中科技大学）从0,1,2,…,9这十个数码中不放回地随机取n（2≤n≤10）个数码,能排成n位偶数的概率记为Pn,则数列{Pn}

A.既是等差数列又是等比数列

B.是等比数列但不是等差数列

C.是等差数列但不是等比数列

D.既不是等差数列也不是等比数列

2．（2009年华中科技大学）5张票中有1张奖票,5个人按照排定的顺序从中各抽1张以决定谁得到其中的奖票,且后抽的人不知道先抽的人抽出的结果,则第3个人抽到奖票的概率是

A.

B.

C.

D.

3．（2009年复旦大学）某种细胞如果不能分裂则死亡,并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率都为,现有两个这样的细胞,则两次分裂后还有细胞存活的概率是

A.

B.

C.

D.

4．（2012年复旦大学）随机任取一个正整数,则它的3次方的个位和十位上的数字都是1的概率是

A.

B.

C.

D.

二、填空题。

5．（2009年南京大学）有一个1,2,…,9的排列,现将其重新排列,则1和2不在原来位置的概率是　 　.

三、解答题。

6．（2010年中南财经政法大学）某市在36位“政协委员”候选人中任选2名,其中来自教育界的候选人共有6人,求:

（1）至少有1名来自教育界的人当选的概率是多少?

（2）候选人中任何人都有当选的可能性,若选得同性别委员的概率等于,则男女候选人相差几名?

（注:

男候选人多于女候选人）

7．（2011年同济大学等九校联考）一袋中有a个白球和b个黑球,从中任取一个球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在进行n次这样的操作后,记袋中白球的个数为Xn.

（1）求E;

（2）设P（=a+k）=,求P（=a+k）,k=0,1,…,b;

（3）证明:

EXn+1=

（1）EXn+1.

8．（2009年清华大学）12名职工（其中3名为男性）被平均分配到3个部门.

（1）试求3名男员工分配到不同部门的概率;

（2）试求3名男员工分配到相同部门的概率;

（3）试求1名男员工指定到某一部门,另两名不在同部门的概率.

9．（2009年清华大学）M为三位的自然数,求:

（1）M含因子5的概率;

（2）M中恰有两位数码相同的概率.

10．（2010年清华大学）12个人玩一个游戏,游戏开始后每个人被随机地戴上红、黄、蓝、绿四种颜色之一的帽子,每个人都可以看到其余11个人帽子的颜色,游戏开始后12个人不能再交流,并被要求猜出自己帽子的颜色,请为这12个人在游戏前商定一个方案,使得他们同时猜对自己帽子的颜色的概率尽可能大.

11．（2010年清华大学等五校联考）假定亲本总体中三种基因型式:

AA,Aa,aa的比例为u∶2v∶w（u>0,v>0,w>0,u+2v+w=1）且数量充分多,参与交配的亲本是该总体中随机的两个.

（1）求子一代的三种基因型式的比例;

（2）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗?

并说明理由.

12．（2011年清华大学等七校联考）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次,以表示未出现连续三次正面的概率.

（1）求、、和;

（2）探究数列{}的递推公式,并给出证明

（3）讨论数列{}的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义.

13．（2012年清华大学等七校联考）系统内有2k−1（k∈N*）个元件,每个元件正常工作的概率为p（0

（1）求该系统正常工作的概率;

（2）试讨论的单调性,并讨论增加两个元件后,能否提高系统的可靠性.

因此两次分裂后还有细胞存活的概率为1−P（E）=.

4.D

【解析】首先,一个正整数的3次方的个位数是1,则这个正整数的个位数也必须是1.其次可试得1~100中只有71符合要求,而且末两位是71的均符合要求.故选D.

5..

【解析】2+=57×或+7×7×,∴P=.

6.

（1）. 

（2）6

【解析】

（1）任意选取2人的选法为,其中2人都不是来自教育界的选法为,因此所求概率为p==.

（2）设男候选人为x（x>18）人,则女候选人为36−x人,

选出两人都是男性的概率为p1=,选出两人都是女性的概率为p2=,+=,∴x2−36x+35×9=0,∴x=21（x>18）,

∴男女相差6人.

7.

（1） . 

（2）P（Xn+1=a+k）=pk·+pk−1·（k≥1）.

（3）第n次白球个数的数学期望为EXn,由于白球和黑球的总个数为a+b,则将第n+1次白球个数的数学期望分为两类:

第n+1次取出来的是白球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数为EXn;第n+1次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数是EXn+1,

数的数学期望分为两类:

第n+1次取出来的是白球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数为EXn;第n+1次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数是EXn+1,

故EXn+1=EXn+·（EXn+1）=+

（1）（EXn+1）=+EXn+1=

（1）EXn+1.

8.（1 

（2） （3）

【解析】

（1）P1==;

（2）P2==;

（3）P3==.

9.

（1）  

（2）.

【解析】

（1）当个位数字为0时,有9×10=90个符合题意的三位数;当个位数字为5时,有9×10=90个符合题意的三位数,故M含因子5的概率为=.

（2）当M中含有数字0,且0是重复数码时,有9个符合题意的三位数;

当M中含有数字0,且0不是重复数码时,有9×=18个符合题意的三位数;

当M中不含数字0时,有9×8×3=216个符合题意的三位数,故M中恰有两位数码相同的概率为=.

10.12个人同时猜对的概率一定不大于单独一个人猜对的概率,即.

【解析】首先将问题数学化,将红、黄、蓝、绿四种颜色分别用数字0、1、2、3代表.策略是每个人将其余11人的帽子的颜色所对应的数字求和,记为S,S除以4的余数设为d,（4−d）对应的颜色即为他所猜的颜色.

例如,若12个人都戴黄帽子,每个人看到其余11个人的帽子颜色对应数字和均为11,11除以4余3,4−3=1对应黄色,全都猜对.这样的策略使得同时猜对头上帽子颜色的概率为.当且仅当12个人的帽子颜色所对应数字之和为4的倍数时,12个人能够同时猜对.不然,12个人会同时猜错.这12个人或者同时猜对,或者同时猜错,同时猜对的概率与一个人随机猜测正确的概率相等,为.而多个人猜测时,由于不能由他人的帽子颜色推断出有关自己帽子颜色的信息,因此12个人同时猜对的概率一定不大于单独一个人猜对的概率,即.因此上述方案是最优的.

11.

（1）AA,Aa,aa的比例为p2∶2pq∶q2.

（2）相同  可知子二代的基因型式AA,Aa,aa的比例为α2∶2αβ∶β2,其中α=p2+pq,β=pq+q2.由p+q=1,可得α=p,β=q.故子二代的三种基因型式AA,Aa,aa的比例为p2∶2pq∶q2,与子一代的三种基因型式的比例相同.

【解析】

（1）参与交配的两个亲本（一个称为父本,一个称为母本）的基因型式的情况,及相应情

p1=u2×1+2uv×+2uv×+4v2×=（u+v）2.

由对称性知子一代的基因型式为aa的概率为

p3=（v+w）2.

子一代的基因型式为Aa的概率为

p2=2uv×+uw×1+2uv×+4v2×+2vw×+uw×1+2vw×=2（uv+uw+v2+vw）=2（u+v）（v+w）.

若记p=u+v,q=v+w,则p>0,q>0,p+q=1,子一代的三种基因型式AA,Aa,aa的比例为p2∶2pq∶q2.

（2）由

（1）可知子二代的基因型式AA,Aa,aa的比例为α2∶2αβ∶β2,其中

①×②,有pn=pn−1pn−4（n≥5）.

（3）n≥4时,{pn}单调递减.又p1=p2>p3>p4,∴n≥2时,数列{pn}单调递减,且有下界0.

∴pn的极限存在记为a,对pn=pn−1pn−4两边同时取极限可得a=aa,a=0,故pn=0.

其概率意义:

当投掷的次数足够多时,不出现连续三次正面的概率非常小.

【解析】

（1）显然p1=p2=1,p3=1=;又投掷四次出现连续三次正面的情况只有:

正正正正或正正正反或反正正正,故p4=1=.

（2）共分三种情况:

1）如果第n次出现反面,那么前n次不出现连续三次正面和前n−1次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是×pn−1;

2）如果第n次出现正面,第n−1次出现反面,那么前n次不出现连续三次正面和前n−2次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是×pn−2;

增加两个元件时,系统可靠性降低;当p>时,Pk+1>Pk,函数Pk单调递增,增加两个元件时,系统可靠性提高.

【解析】

（1）当系统有2k−1（k∈N*）个元件时,恰有k个元件正常工作的概率为·pk（1−p）k−1,恰有k+1个元件正常工作的概率为·pk+1（1−p）k−2,…,恰有2k−1个元件正常工作的概率为·p2k−1（1−p）0,

Pk=·pk（1−p）k−1+·pk+1（1−p）k−2+…+·p2k−1（1−p）0