《高校自主招生考试》数学真题分类解析之4创新与综合题Word文档下载推荐.docx

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2．（2011年同济大学等九校联考）设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为

的旋转,τ表示坐标平面关于y轴的镜面反射,用τσ表示变换的复合,先做τ,再做σ,用σk表示连续做k次σ的变换,则στσ2τσ3τσ4是

A.σ4

B.σ5

C.σ2τ

D.τσ2

二、解答题。

3．（2009年南京大学）求所有满足tanA+tanB+tanC≤[tanA]+[tanB]+[tanC]的非直角三角形.

4．（2010年浙江大学）如图,一条公路两边有六个村庄,要建一个车站,要求到六个村庄的距离之和最小,应该建在哪里最合适?

如果再在边上增加一个村庄呢?

5．（2009年清华大学）A、B两人玩一个游戏,A选择n枚硬币,B根据自己的策略将这些硬币全部摆放在位点上,之后A选取一个至少有2枚硬币的位点,取走一枚硬币,再将另一枚硬币移动到相邻位点,A若在有限步内根据规则在指定点P处放上一个硬币则获胜.问在一条有5个位点的线段和7个位点的圆环上,A分别至少选择多少枚硬币时,无论点P的位置如何均可保证获胜?

6．（2009年清华大学）有64匹马,每匹马的速度保持不变且各不相同,现通过比赛来完成排名,若每场比赛最多只能有8匹马参赛,问理想状态下能否在50场比赛内完成排名?

7．（2009年清华大学）有100个集装箱,每个集装箱装有两件货物.在取出来的过程中货物的顺序被打乱了,现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中.集装箱的体积都是1,且每个集装箱最多放两件货物,若装了一件货物后装不下第二件货物,那么就将这个集装箱密封,把第二件货物装到下一个集装箱中.问在最坏情况下需要多少个集装箱?

8．（2009年清华大学）请写出一个整系数多项式f（x）,使得

+

是其一根.

9．（2010年清华大学）将长为n的棒锯开,要求锯成的每段长都是整数,且任意时刻,锯成的所有棒中最长的一根严格小于最短的一根的2倍,如6只能锯一次,6=3+3,而7能锯2次,7=4+3,4又能锯为2+2,问长为30的棒最多能锯成几段?

若a,b,c中没有1,则a≥2,b≥2,c≥2,

a+b+c=abc化为

=1,

而1=

≤

=

显然不成立.

∴三角形三内角的正切值分别为1,2,3.

即满足三内角的正切值分别为1,2,3的三角形,即为所求.

【解析】无

4.1.首先设六个村庄到达公路的距离之和为S0,车站P到六个村庄的距离之和为S,下面我们根据车站所建的位置来讨论它到六个村庄的距离之和.

（1）建在A、B之间（包括端点A）,则

S=AP+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0+4PB.

（2）建在B、C之间（包括两端点B、C）,则

S=PA+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0.

（3）建在C、D之间（包括端点D）,则

S=PA+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0+2PC.

（4）建在D、E之间（包括端点E）,则

S=PA+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0+2PC+2PD.

（5）建在A的左侧或E的右侧,则S均比情况

（2）中的大.

综合以上各种情况,我们可以发现:

当车站建在B、C之间（包括端点B、C）时最合适.

币.于是由结论①可知A可获胜.

③对于4个位点线段的情况,A只要选择8枚硬币,不妨设点P为P1,P2,P3三点中的一点,并设点P4处有硬币S枚,则点P4处的硬币尽可能移到点P3处后,点P1,P2与P3处共有:

8−S+[

]≥4

②左半环内有7枚硬币.

a.若这7枚硬币全在点P7处,则看右半环内的4枚硬币,若点P1处有2枚,则将其移动到点P7处后,点P7处就有8枚硬币,就能保证通过左半环的通路移动硬币,最终让点P处有硬币;

若点P1处仅有1枚或没有硬币,则可将点P7处的硬币移动3枚到点P1处,再将点P1处的硬币移动到点P2处后,点P2与点P3处的硬币就不少于4枚.这样,通过右半环的通路,最终可将至少1枚硬币移动到点P4处.

b.若这7枚硬币不全在点P7处,则将点P7处的硬币移到点P6处后,在点P5与点P6两处的硬币就不少于4枚.于是通过左半环的通路,最终也可保证有硬币移动到点P4处.

③左半环有6枚硬币,则右半环就有5枚硬币.

a.左半环内的6枚硬币全在点P7处,将它们移动到点P1处后,右半环内就有了8枚硬币,则通过右半环的通路,可最终保证至少移动1枚硬币到点P4处.

b.左半环内的6枚硬币,点P7处有5枚,则再看点P1处,若点P1处的硬币数不足2枚,则在点P2与点P3处就有4枚硬币,则从右半环的通路,就能移动硬币到点P4;

若点P1处的硬币数有2枚或2枚以上,则至少可从点P1处移动1枚硬币到点P7处.这样,点P7处就有6枚硬币,于是可移3枚到点P6处.这样点P5与点P6处就有4枚硬币,通过左半环可移动硬币到点P4处.

c.左半环内的6枚硬币,点P7处有4枚或不足4枚,则在点P6与点P5处就有2枚或2枚以上,则将点P7处的硬币移动到点P6处以后,在点P6与点P5处的硬币数就不少于4枚,于是通过左半环可移动硬币到点P4处.

④若左半环内的硬币数不足6枚,则右半环内的硬币就在6枚或6枚以上,则对右半环内硬币的分布情况进行相同的讨论,亦可发现必可将硬币移动到点P4处.

各自的前4名,共8匹马进行一场比赛.这8匹马中的前4名,就是A组与B组32匹马中的前4名;

接下来,又在A组与B组中分别扣除32匹马中的前4名后,再分别按照A组与B组中的排名,再各取4匹马,这8匹马进行一场比赛,它们中的前4名,就是A组与B组32匹马中的第5名到第8名;

重复上述过程,又可分别确定第9名到第12名;

……;

最后留下的8匹马,只需进行一场比赛,就能确定第25名到第32名的排名.这样进行了7场比赛,就将A组与B组中的32匹马进行了排名.

同理进行7场比赛,又可将C组与D组中的32匹马进行排名.这样第三步共进行14场比赛.

第四步:

要来完成AB组的32匹马与CD组的32匹马（它们各自内部的排名已经完成）共计64匹马的排名.

采用第三步中的方法,每次分别选择AB组与CD组中留下的前4名进行一场比赛,都能确定其中4匹马在总体中的排名,这样14场比赛后,就确定了前56匹马的排名,最后留下的8匹马,只需进行一场比赛,就确定了第57名到第64名的排名.

因此,只需15场比赛就能完成这两大组64匹马的排名.

综观以上四个步骤,一共进行:

8+12+14+15=49（场）.所以,可以在50场比赛内完成排名.

7.由题意知共有200件货物.设a1≤a2≤…≤a99≤a100,b1≥b2≥…≥b99≥b100,令ai+bi=1,ai≥bi,则将它们按如下顺序排列:

a1,a2,b1,a3,b2,a4,b3,…,a99,b98,a100,b99,b100,则a1+a2>

1,a2+b1>

1,b1+a3>

1,…,a100+b99>

1,

<

1,a1到a100,b1到b98各在一个箱中,b99,b100在一个箱子中,则在最坏情况下需要199个箱子.换个角度考虑,无论200件货物如何排列,体积最小的货物总能与它前面的或后面的货物合装进一个集装箱的,故有199个集装箱就一定能将200件货物全部装下.

8.设x=

则（x

）3=3,即x3−3x2·

+3x·

2−2

=3,

∴x3+6x−3=（3x2+2）·

∴（x3+6x−3）2=2·

（3x2+2）2,整理得:

x6−6x4−6x3+12x2−36x+1=0,则f（x）=x6−6x4−6x3+12x2−36x+1即为所求的一个整系数多项式.

9.首先,由题意可知:

当我们锯了若干次之后,产生若干根棒,它们中有长度相等与仅差一个单位的棒（例如:

7,8,9;

6,6,7;

5,5,6,6等）,这些棒除了2k−2,2k−1,2k与2k−1,2k−1,2k这两种情况,其他无论锯开哪一根,均不能符合最长的一根严格小于最短一根的2倍,有了这样的认识,我们就可以用枚举法来解本题了.

（1）30=11+19=11+7+12=11+7+6+6=5+6+7+6+6,