备战版高考数学考试万能工具包第二篇考前必看解题技巧专题21巧用12个解题技巧.docx

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备战版高考数学考试万能工具包第二篇考前必看解题技巧专题21巧用12个解题技巧

专题01巧用12个解题技巧

技法一　特例法

　　从题干（或选项）出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：

特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等.

　例1（2017·山东卷）若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是（　　）

A.a＋＜＜log2（a＋b）B.＜log2（a＋b）＜a＋

C.a＋＜log2（a＋b）＜D.log2（a＋b）＜a＋＜

▲方法点睛　　1.特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含字母或具有一般性结论的选择题.

2.特例法解选择题时，要注意以下两点：

第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理.第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.

【变式训练】

1.如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（　　）

A.3∶1B.2∶1

C.4∶1D.∶1

2.函数f（x）=cosx·log2|x|的图象大致为（　　）

3.如图,点P为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC,AC的平行线,分别交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S2=（　　）

A.1B.2C.D.

技法二　图解法（数形结合法）

　　对于一些含有几何背景的题目,若能“数中思形”“以形助数”,则往往可以借助图形的直观性,迅速作出判断,简捷地解决问题,得出正确的结果.Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等,都是常用的图形.

　　例2　

（1）设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·b=,（a-c）·（b-c）=0,则|c|的最大值等于（　　）

A.B.

C.D.1

【答案】A

【解析】

（1）解法一（几何法）:

如图,a=,b=,c=.由题意有∠AOB=,点C在圆M上.当点C达到点D时,|c|最大,|c|max=||+||=sin+cos=.选A.

当点C达到点D时,|c|最大,|c|max=||+||=sin+cos=.选A.

（2）【2018山西省太原市实验中学模拟】函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程有且仅有8个不同实数根，则实数的取值范围是________

【答案】

要使关于x的方程，有且仅有8个不同实数根，

设t=f（x），则t2+at+=0的两根均在（-1，--

故答案为

▲方法点睛　数形结合是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果.不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而导致错误的选择.

【变式训练】

1.已知函数f（x）=和函数g（x）=log2x,则函数h（x）=f（x）-g（x）的零点个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

2.设函数f（x）＝其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等.若方程f（x）＝k（x＋1）（k>0）恰有三个不相等的实根，则实数k的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

技法三　估算法

　　估算法就是不需要计算出代数式的准确数值,通过估算其大致取值范围从而解决相应问题的方法.该种方法主要适用于比较大小的有关问题,尤其是在选择题或填空题中,解答不需要详细的过程,因此可以通过猜测、合情推理、估算而获得,从而减少运算量.

　例3　

（1）（2015湖北,7,5分）在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≥”的概率,p2为事件“|x-y|≤”的概率,p3为事件“xy≤”的概率,则（　　）

A.p1

C.p3

（2）已知三棱锥P-ABC的侧面与底面所成二面角都是60°,底面三角形三边长分别是7、8、9,则此三棱锥的侧面面积为　　　（　　）

A.12B.24C.6D.18

答案　

（1）B　

（2）B

解析　

（1）满足条件的x,y构成的点（x,y）在正方形OBCA及其边界上.事件“x+y≥”对应的图形为图①

公式求出侧面面积为32,四个选项中只有24与之最接近,选B.

▲方法点睛　估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法.如某些函数的取值范围或最值、函数图象的变化等问题,常用此法确定正确选项.

【变式训练】设M为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为（　　）

A.B.1

C.D.2

技法四　待定系数法

　　待定系数法是为确定变量间的函数关系,设出未知数,然后根据所给条件确定这些未知数的一种方法,其理论依据是多项式恒等.多项式f（x）≡g（x）的充要条件是:

对于任意的一个a值,都有f（a）≡g（a）;或者两个多项式各项的系数对应相等.

　　例4　衣柜里的樟脑丸,会因为挥发而体积变小,刚放入的新樟脑丸体积为a,经过t天后樟脑丸的体积V（t）与天数t的关系为V（t）=a·e-kt,若新樟脑丸经过80天后,体积变为a,则函数V（t）的解析式为　　　　. 

答案　V（t）=a·（t≥0）

解析　因为樟脑丸经过80天后,体积变为a,所以a=a·e-80k,所以e-80k=,解得k=-ln,所以V（t）=a·=a·,所以函数V（t）的解析式为V（t）=a·（t≥0）.

▲方法点睛　破解此类题的关键是依题设所给的函数模型,利用待定系数法求解,本题的突破口是将题设中的自变量的值与相应的函数值代入所给关系式,得关于参数的方程,利用“两边取对数”,即可求出参数的值.

【变式训练】

1.函数f（x）＝lg为奇函数，则实数a＝________.

2.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f（x）＝________.

技法五　换元法

　　换元法又称辅助元法、变量代换法.通过引入新的变量,可以把分散的条件联系起来,使隐含的条件显露出来,或者变为熟悉的形式,简化计算或证明.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.

典型例题

　　例5　椭圆+=1上有两点P、Q,O为原点,连接OP、OQ,kOP·kOQ=-.

（1）求证:

|OP|2+|OQ|2等于定值;

（2）求线段PQ的中点M的轨迹方程.

解析　

（1）证明:

设

P（4cosθ1,2sinθ1）,Q（4cosθ2,2sinθ2）,

则kOP·kOQ=·=-,

整理得cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2=0,即cos（θ1-θ2）=0.

∴|OP|2+|OQ|2=16cos2θ1+4sin2θ1+16cos2θ2+4sin2θ2

=8+12（cos2θ1+cos2θ2）

=20+6（cos2θ1+cos2θ2）

=20+12cos（θ1+θ2）cos（θ1-θ2）=20,

即|OP|2+|OQ|2等于定值20.

（2）由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的横、纵坐标分别为x=2（cosθ1+cosθ2）,y=sinθ1+sinθ2,

所以有+y2=2+2（cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2）=2+2cos（θ1-θ2）=2,

即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为+=1.

▲方法点睛　由椭圆方程,联想到cos2θ+sin2θ=1,于是可进行“三角换元”（得到的是椭圆的参数方程）,通过换元引入新的参数,转化为三角函数问题进行研究.本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”,在由中点坐标公式求出M点的坐标后,将所得方程稍作变形,再平方相加,即（cosθ1+cosθ2）2+（sinθ1+sinθ2）2,这是求点M的轨迹方程的关键一步.一般地,求动点的轨迹方程运用“参数法”时,我们可以将点的横、纵坐标分别表示为一个或几个参数的函数,再运用“消参法”消去所含的参数,即得到所求的轨迹方程.

【变式训练】

1.设a>0，求f（x）＝2a（sinx＋cosx）－sinx·cosx－2a的最大值和最小值

技法六　构造法

　　用构造法解题的关键是由条件和结论的特殊性构造数学模型,从而简化推导与运算过程.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础上的,首先应观察题目,观察已知条件形式上的特点,然后联想、类比已学过的知识及各种数学式子、数学模型,深刻了解问题及问题的背景（几何背景、代数背景）,通过构造几何、函数、向量等具体的数学模型快速解题.

典型例题

　　例6　

（1）如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体各个面的面积中,最小的值为（　　）

A.2B.8

C.4D.8

（2）已知m,n∈（2,e）,且-

A.m>nB.m

C.m>2+D.m,n的大小关系不确定

答案　

（1）B　

（2）A

解析　

（1）构造棱长为4的正方体,由三视图可知,该几何体为如图所示的三棱锥P-ABC,其中点P、B分别为相应棱的中点.因为S△PAB=S△PBC=××4=4,S△ABC=×4×4=8,S△PAC=·AC·=×4×=8.因为8>4>8,所以该几何体各个面的面积中,最小的值为8,故选B.

▲方法点睛　应用构造法的技巧:

一是“定目标构造”,从已知条件入手,紧扣要解决的问题进行构造,把陌生问题构造为熟悉的问题;二是“解决构造的问题”,用相关的知识解决所构造的问题.

跟踪集训

1.（2018·合肥模拟）如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________.

2.【2018湖北省襄阳市统测】已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为，满足，f（0）=1，则不等式的解集为（）

A.B.C.D.

技法七　反证法

　　反证法是指从命题正面论证比较困难,通过假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明原假设错误,从而证明原命题成立的证明方法.反证法证明问题一般分为三步:

（1）否定结论;

（2）推导矛盾;（3）得出结论.

典型例题

例7　如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则（　　）

A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形

B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形

C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形

D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形

答案　D　

得

所以A2+B2+C2=++,即π=-π,显然该等式不成立,所以假设不成立.

所以△A2B2C2不是锐角三角形,所以△A2B2C2是钝角三角形.故选D.

▲方法点睛　用反证法证明全称命题以及命题中含有“至少”“至多”关键词的问题比较简单.其关键是根据假设导出矛盾——与已知条件、定义、公理、定理或明显的事实相矛盾或自相矛盾.

【变式训练】

【2018吉林省长春市一五0中学模拟】设、、都是正数，则、