八年级讲义平行四边形教师版Word格式文档下载.docx
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⑶在两条平行线之间的平行线段相等。
⑷如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
（简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”）
⑸平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
（6）平行四边形没有对称轴。
（7）平行四边形有平面图形，立体图形，三维图形等...
判定
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2.对角线互相平分的四边形是平行四边形
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
5.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
6.一组对边平行一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形性质
⑴连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
⑵如果一个四边形的对角线互相平分，那么连接这个四边形的中点所得图形是平行四边形。
⑶平行四边形的对角相等，两邻角互补。
⑷过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
⑸平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。
⑹平行四边形的面积等于底和高的积。
（可视为矩形）平行四边形中常用辅助线的添法
1、连对角线或平移对角线
2、过顶点作对边的垂线构造直角三角形
3、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
4、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
5、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
平行四边形对边平行平行四边形的对角相等平行四边形的对边相等平行四边形的对角线互相平分平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心
【典型例题分析】
平行四边形的性质
A.∠1+∠2=180°
B.∠2+∠3=180°
C.∠3+∠4=180°
D.∠2+∠4=180°
解析：
根据邻补角的定义知∠1+∠2=180°
，由平行四边形的定义可知AD∥BC，AB∥DC，所以∠2+∠3=180°
∠3+∠4=180°
.答案:
D
2.如图,ABCD的周长为16cm，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（）
因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC.又OE⊥AC，所以EA=EC.
则△DCE的周长=CD+DE+CE=CD+DE+EA=CD+AD.在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
且AB+BC+CD+AD=16cm，所以CD+AD=8cm.
答案:
8cm
3.如图，ABCD中,EF过对角线的交点O,如果AB=4cm,AD=3cm,OF=1cm,则四边形BCFE的周长为
OE=OF=1,其周长=BE+BC+CF+EF=CD+BC+EF=AD+AB+2DF=8（cm）.
4.如图,已知在平行四边形ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=cm.
由平行四边形的性质AB∥DC,知∠ABE=∠F，结合角平分线的性质∠ABE=∠EBC，得
∠EBC=∠F，再根据等角对等边得到BC=CF=7，再由AB=CD=4，AD=BC=7得到DF=DE=AD-AE=3.答案:
3
5.如图,在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF，求证:
AE=CF.
答案：
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD，AB=CD.∴∠ABE=∠CDF.
ABCD,
在△ABE和△CDF中，ABECDF,∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF.
BEDF.
6.如图,在ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,BE=2cm,DF=3cm,∠EAF=60°
试求CF的长.
解：
∵∠EAF=60°
AE⊥BC,AF⊥CD,
1.如图,在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边
形DEBF不一定是平行四边形（
C.∠ADE=∠CBF
D.∠AED=∠CFB
当E、F满足AE=CF时，
由平行四边形的对角线相等知OB=OD,OA=OC，故OE=OF.
可知四边形DEBF是平行四边形
.当E、F满足∠ADE=∠CBF时，因为AD∥BC，所以∠DAE=∠BCF.
A.AE=CF
B.DE=BF
又AD=BC，可证出△ADE≌△CBF，所以DE=BF，∠DEA=∠BFC.故∠DEF=∠BFE.因此DE∥BF，可知四边形DEBF是平行四边形.类似地可说明D也可以.
答案:
B
2.
如图,ABDC，DC=EF=10，DE=CF=8，则图中的平行四边形有，理由分别是
DC=EF，DE=CF,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形
CDEF是平行四边形.
四边形ABCD，四边形CDEF一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平
因为ABDC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形
ABCD是平行四边形；
行四边形
3.如图,E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件
:
，使四边形AECF是平行
四边形.
根据平行四边形的定义和判定方法可填BE=DF；
∠BAE=∠CDF等.
BE=DF或∠BAE=∠CDF等任何一个均可
4.如图,AD=BC,要使四边形ABCD是平行四边形,还需补充的一个条件是:
.
根据平行四边形的判定定理,知可填①AD∥BC,②AB=CD,③∠A+∠B=180°
④∠C+∠D=180°
等.答案:
不唯一,以上几个均可.
5.如图,在ABCD中,已知M和N分别是边AB、DC的中点,试说明四边形BMDN也是平行四边形.
∵ABCD,∴ABCD.∵M、N是中点,∴BM=1AB,DN=1CD.∴BMDN.22
∴四边形BMDN也是平行四边形.
【重点知识巩固】
1.ABCD中,∠A比∠B大20°
则∠C的度数为（）
ABCD中,∠A+∠B=180°
又∠A=∠B+20°
所以∠B=80°
∠A=100°
=∠C.答案:
.100°
2.以A、B、C三点为平行四边形的三个顶点,作形状不同的平行四边形,一共可以作（）
A.0个或3个B.2个C.3个D.4个
分两种情况,A、B、C三点共线时,可作0个,当点A、B、C不在同一直线上时,可作3个.答案:
A
3.如图所示,在ABCD中,对角线AC、BD交于点O,下列式子中一定成立的是（）
4.
他线段有（
DEOH，
本题借助于平行四边形的定义，按照从左到右，从小到大的顺序，可找到下列的平行四边形
HOFC，DEFC，EAGO，OGBF，EABF，DAGH，HGBC，ABCD.
C
6.如图,平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证:
∠BAE=∠DCF.
证明：
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°
.∴△ABE≌△CDF.∴∠BAE=∠DCF.
7、如图所示,已知平行四边形ABCD中,E、F分别是BC和AD上的点,且BE=DF.求证:
△ABE≌△CDF.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠B=∠D.在△ABE和△CDF中,
BD,∴△ABE≌△CDF.
BEDF.
8.如图,已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G.
（1）求证:
AF=GB；
（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG是等腰直角三角形,并说明理由
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠AGD=∠CDG.∵∠ADG=∠CDG，∴∠ADG=∠AGD.∴AD=AG.同理,BC=BF.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC,
AG=BF.∴AG-GF=BF-GF，即AF=GB.
11
（2）解:
添加条件EF=EG.理由如下:
由
（1）证明易知∠AGD=∠ADG=∠ADC，∠BFC=∠BCF=∠BCD.
22∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=18°
0.∴∠AGD+∠BFC=90°
.∴∠GEF=90°
.又∵EF=EG，∴△EFG为等腰直角三角形.
平行四边形的判定
1.以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形最多能作（）
A.4个B.3个C.2个D.1个
要求最多能作几个，只要连结起三个顶点后构成三角形，分别以其中一边作为对角线，另两边作为平行四边形的邻边作图，即可得出三种.
2.下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）
A.1∶2∶3∶4B.2∶2∶3∶3C.2∶3∶3∶2D.2∶3∶2∶3
由两组对角分别相等的四边形是平行四边形易知，要使四边形ABCD是平行四边形需满足∠A=∠C，∠B=∠D，因此∠A与∠C，∠B与∠D所占的份数分别相等.
3.九根火柴棒排成如右图形状,图中个平行四边形,你判断的根据是
有3两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4.已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件:
①AB∥CD；
②OA=OC；
③AB=CD；
④∠BAD=∠DCB；
⑤AD∥BC.
（1）从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的有（用序号表示）:
;
（2）对由以上5个条件中任意选取2个条件，不能推出四边形ABCD是平行四边形的，请选取一种情形举出反例说明.
本题是条件开放性试题，要使四边形ABCD是平行四边形，从边、角、对角线上考虑共有5种判定方法，因此只需将任意两个条件组合加以评砼卸?
（1）①与②；
①与③；
①与④；
①与⑤；
②与⑤；
④与⑤
（2）③与⑤两个条件不能推出四边形ABCD是平行四边形.
如图，AB=CD且AD∥BC，而四边形ABCD不是平行四边形.
5.若三条线段的长分别为20cm,14cm,16cm,以其中两条为对角线,另一条为一边,是否可以画平行四边形?
由平行四边形对角线互相平分,能否画平行四边形,应以任两条的一半和第三边为三边,看是否能构成三角形即可.
20,16或20,14为对角线,另一条为一边可画平行四边形.
6.如图,E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE.求证:
（1）△AFD≌△CEB;
（2）四边形ABCD是平行四边形
（1）∵DF∥BE，∴∠AFD=∠CEB.又∵AF=CE，DF=BE，∴△AFD≌△CEB.
（2）由
（1）△AFD≌△CEB知AD=BC，∠DAF=∠BCE，∴AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形
1
7.如图,已知DC∥AB，且DC=AB，E为AB的中点.
2
△AED≌△EBC；
（2）观察图形，在不添加辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△
（直接写出结果，不要求证明）:
∴四边形AECD和四边形EBCD都是平行四边形.∴AD=EC，ED=BC.
AED的面积相等的三角形
又∵AE=BE，∴△AED≌△EBC.
9.（2010江苏南京模拟,19）如图,已知ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点.求证:
（1）△AFD≌△CEB;
（2）四边形AECF是平行四边形
（2）△ACD，△ACE，△CDE（写出其中两个三角形即可）8.如图,已知ABCD中DE⊥AC,BF⊥AC,证明四边形DEBF为平行四边形.
（1）在ABCD中,AD=CB,AB=CD,∠D=∠B.∵E、F分别是AB、CD的中点,11
∴DF=CD,BE=AB.∴DF=BE.∴△AFD≌△CEB.
22
（2）在ABCD中,AB=CD,AB∥CD.由
（1）得BE=DF,∴AE=CF.∴四边形AECF是平行四边形
（3）
【课后强化练习】
1.如图,ABCD中,∠A=52°
BC=5cm,则∠B=,∠C=,AD=
128°
52°
5cm
2.平行四边形有哪些性质？
答案:
平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分.
3.如图,ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,问图中全等的三角形有哪几对
根据平行四边形有关性质,△AOD≌△COB,△AOB≌△COD,△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB.
4.ABCD中，AB=6，AD=4，求它的周长.
2倍.
平行四边形的周长等于四边之和，因平行四边形的对边相等，故平行四边形的周长等于相邻两边之和的故（6+4）×
2=20，即ABCD的周长是20.
1.不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）
A.AB=CD,AD=BCB.AB=CD,AB∥CDC.AB=CD,AD∥BCD.AB∥CD,AD∥BC
2.下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）
A.AB∥CD，AD=BCB.AB=AD，CB=CDC.AB=CD，AD=BCD.∠B=∠C，∠A=∠D
3.如图,已知AD∥BC,要使四边形ABCD为平行四边形,需添加一个条件为
提示：
添加AB∥DC,AD=BC等都可以.
4.如图,在△ABC中，
D、
E分别是AB、AC边的中点，且DE=6cm，则BC=
BC=2DE=12cm.答案:
12cm
根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可知
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