浅谈条件概率在生活中的应用Word格式文档下载.docx
《浅谈条件概率在生活中的应用Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浅谈条件概率在生活中的应用Word格式文档下载.docx（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
（正,反），（正,正），（反，正），（反,反）的可能性是一样的•若以A记随机选取一次抛物中出现一正一反这一事件，则显然P（A）=1/2,但是，若预先知道这次事件中至少有一个反面，那么这个事件的概率就应该是
2/3.显然两种情况下算出的概率不同的，因为在第二种情况下，我们多知道了一个条件：
事件B（至少有一反面）发生，因此我们算得的概率事实上是"
在已知事件B发生的条件下,事件A发生的概率"
这个概率我们记为P（AIB）.
条件概率是概率论中一个重要而实用的概念，所考虑的是在事件A已发生的条件下事件B发生的概率.对于条件概率，一是知道实际生活中哪些是条件概率，条件是什么；
二是如何计算条件概率.
设A与B是样本空间门中的两事件,若P（B）>
0,则称P（AlB）=P（AB/P（B）为“在B的发生下A的条件概率”，简称条件概率.
类似地,当P（A）>
0时,在事件A发生下事件B发生的条件概率为：
P（BIA）=P（AB/P（A）
1.3条件概率计算方法
结合实例谈谈条件概率的计算方法：
方法一，由公式P（AlB）=P（AB）/P（B）计算：
例1.1中,AB――“出现一正一反这一事件”，P（AB=丄，贝U
2
132
P（AlB）=P（AB/P（B）=—/=
243
方法二，“改变样本空间法”：
硬币抛出后，我们得到的样本空间是C={（正，反），（正，正），（反，正），（反,反）},当得知第二个条件“事件B发生”时，则转而在“新样本空间”D={（正，反），
（反，正），（反,反）}的基础上计算了，于是很容易得到P（AlB）=-.
3
前面给出的概率公理化定义是比较严密的数学定义，我们可以通过定义对概率进行讨论，但是它并没有给出具体的计算方法，下面就让我们从几个公式入手重点谈谈条件概率的计算问题：
2.条件概率三公式及其简单应用
2.1乘法公式
我们把条件概率公式改写为:
P（AB=P（B）P（AlB）
（1）
将其进一步延伸我们得到另一个式子：
P（A代）=P（A）P（A2lA）P（A3lAA2）P（AIAA2代」）
（2）
这就是乘法公式,可见乘法公式是利用条件概率P（AlB）来计算P（AB的.乘法公式是普遍成立的，只要作为“条件的事件“的概率不等于零即可•
例2.1（配对问题）在一次生日聚会上，n嘉宾的n把伞（各不相同）被放在了同一个橱柜，离开的时候每人从橱柜中任意取出一把伞，求没有一个人拿到自己伞的
概率p0.
n
解：
令Bj=“第i个人拿到了自己的伞”，i=1,2,,,n,则Bi表示“n个人中
至少有一个人拿到了自己的伞”，所以p°
=1-PlUBi.ly丿
每个人可以从n把伞中随意拿一把，所以第i个人拿到自己伞的概率PBi=-,
故G八PB=1
i
若B出现，第j个人共有n-1把伞可以选择，故
111
PBj|Bi二荷PBB「PBiPBj|Bi不，从而
C21
1
n-1k1
k!
同理，「,（日,2,,,n）
所以，p0=1-P°
Bi二1-7
li#丿km
从式子中我们可以看出，R与n有关,进一步计算知
2.2全概率公式
即B!
B2,,,Bn互不相容,
设B「B2,,,Bn为样本空间门的一个分割（见图）
且Bi-」，如果P（Bi）>
0,i=1,2,,n,则对任一事件A有
i=1
（3）
P（A二、P（Bi）P（A|BJ
i4
全概率公式由两类概率组成，一类是完备事件组的概率，另一类是条件概率.在较复杂的问题中，只有一类概率是已知的，而另一类概率需用其他方法计算得到•
例2.2（摸奖模型）n个灯泡中有一个是坏的（假设分辨不出好坏），现在有n个人去任意挑选,求第二个人挑到坏灯泡的概率是多少？
设“第i个人挑到坏灯泡”为事件B,i=1,2,,,n.第二个人挑到坏灯泡的
概率即PB2,根据题意，可知PBzRJ'
PBJB二一.又因为
n-1
1,-n—1
PBi,PBi
n-111
I—
nn-1n
nn
所以，由全概率公式可得
J1
PB2-PB1PB2IB1+PB1PB2IB1--0+n
类似方法我们可以知道，不分先后，每个人挑到坏灯泡的概率都是
相同的.
2.3贝叶斯公式
在乘法公式和全概率公式的基础上可推得一个很著名的贝叶斯公式:
卩侣阳严皿,i
=1,2,,n.
（4）
其中B1,B2,,,Bn为样本空间门的一个分割，且B^'
1,P（Bi）>
0,P（A）>
0,
i=1,2,,n.
例题2.3（确诊率问题）某地区白化病被准确诊断出的概率是0.98,无这种病却被误诊的概率是0.3%,现假设该地区患此病的概率0.06%,若随机选出一个人诊断患有白化病，求这个人确实患有此病的概率是多少？
令事件A为“此人被诊断出患有白化病”，事件B为“此人确实患有白化病”，则所求的概率为PB|A,我们又知道PB=0.0006,PA|B=0.98,PA|B=0.003.所以,由贝叶斯公式得：
P（B|A）二
P（B）P（A|B）
P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）
0.00060.98
0.00060.980.99940.003
=0.161
答：
这个人确实患有此病的概率是0.161.
从形式上看，贝叶斯公式是条件概率、乘法公式、全概率公式的结合，事实上,贝
叶斯公式总是和全概率公式连在一起的.条件概率的这三个公式中，乘法公式是求事件交的概率，全概率公式是求复杂事件的概率，而贝叶斯公式是求一个条件概率.在
讨论了有关条件概率的定义、性质以及三个重要公式之后，我们进一步研究条件概率
的应用.
3.条件概率公式的综合应用
一位哲学家曾经说过：
“概率是人生的真正指南”.随着生产的发展和科学技术水平的提高，概率已渗透到我们生活的各个领域.众所周知的保险、招工考试录取分数线的预测甚至经济学中的很多领域无不充分利用概率知识，下面我们就一起来看看条件概率在我们身边的应用.
例3.1两个车床加工同一种鞋，已知甲车床出现不合格品的概率是0.02,乙车床出现不合格品的概率是0.04,加工出来的鞋子放在一起，并且已知甲车床加工的鞋子数量是乙车床的二倍.求：
（1）任取一双鞋子合格的概率；
（2）若取出的鞋子不合格，试求它是由乙车床加工的概率；
设事件A为“取到甲车床加工的鞋”，事件B为“取到的是合格品”.则PA=-.
3所以
（1）由全概率公式得
PB=PAPB|A+PAPB|A=-
0.98+10.96=0.97
（2）由贝叶斯公式得
=3°
.04
=0.44
PA|B二
0.03
（1）任取一双鞋子合格的概率为0.97;
（2）不合格鞋子由乙车床加工的概率为0.44.
例3.2某大型超市整盒出售中性笔替芯，每盒20只，已知盒中有0、1、2个次品（假设不下水即是次品）的概率别是0.7、0.2、0.1，今有一顾客随机取了一盒，
并当场开盒随机的取2个检查，若没有发现次品就买下，求买下的一盒无次品的概率.
解设事件B。
、Bi、B2分别表示盒中有0、1、2个次品；
事件A表示顾客买下,则由题意可知：
PB。
A0.7，PBi]=0.2，PB21=0.1，
222
PA|B0=1，PA|B1，PA|B2-c8-153，
10190
C20C20C20
全概率公式：
PA=PB0卩A|B。
PBiPA|BiPB2PA|B?
9153
=0.71+0.2+0.1=0.961,
10190
又由贝叶斯公式得，
PB0|A二
Pb°
a
PA
P（B°
）P（A|B0）
PB°
卩A|B。
PBi卩A|BiPB2PA|B2
07汉1
=―=0.728
0.961
买下的一盒无次品的概率为0.728
结束语
以上就是我对概率及条件概率的理解，以及它们在实际生活中的应用，事实上
只要我们认真观察生活，就会发现其实我们的生活中到处充满着概率知识，对概率的实际应用会使我们的生活更加美好.
参考文献
1】张丽霞，韩积成.关于条件概率的几点注记【D】.张掖师范高等专科学校数学系，2001.
【2】张继昌.概率论与数理统计教程（修订版）
【M】.浙江大学出版社，2008.17—27.
3】孙荣恒.应用概率论【M】.科学出版社，2001.30—40.
4】茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程【M】.高等教育出版社，2009.38
—48.
5】王梓坤.概率论基础及其应用【M】.北京师范大学出版社，1996.20—26.
6】李子强，李逢高等.概率论与数理统计教程（第二版）
【M】.科学出版社，2008.16
—21.
7】茆诗松.概率论与数理统计教程习题与解答【M】.高等教育出版社,2005.25—40.
8】陈焕然.从全概率公式的教学看整体性原理【J】.《湖南商学院学报》2003年，1期：
4-8.
9】叶载良等.条件概率的计算公式【J】.《商洛师范专科学校学报》2002年，4期：
6-9.
10】魏玲等.条件概率系列公式的学习技巧与应用【J】.《高等理科教育》2004年，2期：
1-10.
升级会员 