平新乔课后习题详解第3讲价格变化对消费者的配置效应与福利效应习Word文档下载推荐.docx
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的变化（如图3-1所示）；
斯拉茨基替代效应是指保持消费者的购买能力不变的情况下，价格变化引起的需求量的变化（如图3-2所示）。
当消费者的偏好为凹的时候，替代效应非正，即替代效应或者为零，或者为负，见图
3-3（这里只考虑希克斯替代效应，斯拉茨基替代效应的分析也是类似的）：
图3-3凹偏好的替代效应
1替代效应为零的情况
当商品1的价格上升引起预算线从AB转动到AC时，消费者对商品1的需求由B减少到C,如果保持消费者的效用不变，仅仅考虑相对价格的变化对商品1的需求的影响，那么由图中虚线BH的位置可以看出，商品1的需求不变，即价格变动的替代效应为零。
2替代效应为负的情况
当商品1的价格上升引起预算线从AC转动到AD时，消费者的最优消费点为A点。
如
果保持消费者的效用不变，仅仅考虑相对价格的变化对商品1的需求的影响，那么由图中虚
线LN的位置可以看出，现在消费者转而消费商品2,即对商品1的消费下降为零，价格变
动的替代效应就是商品1的消费从C点的位置下降到0点的位置。
3•已知一个消费者对牛奶的需求函数为x=10^^，这里x为一周内牛奶的消费量，
10p
y=120元为收入，p=3元/桶，现在假定牛奶价格从3元/桶降为2元/桶。
问：
（1）该价格变化对该消费者的需求总效应是多少？
（即其牛奶消费会变化多少？
）
（2）请算出价格变化的斯拉茨基替代效应。
（提示：
如该消费者维持原消费水平，降价会使他省出多少钱？
现在他用多少钱就相当于原来的120元钱？
（3）请算出价格变化的斯拉茨基收入效应。
解：
（1）P=3（元/桶）时，xp,m=1012014,P=2（元/桶）时，
'
‘10汉3
xp,m=10■丄2016。
所以总效应为：
丿10^2
;
_x=xp；
m；
—xp,m=16-14=2
（2）价格变化后，为了使消费者购买得起价格变化前的商品数量，需要把他的收入增加.制_x14=-14,即他的收入要减少14元。
这样在保持消费者的购买力不变的条件下,
=xp,m"
—xp,m=15.3-14=1.3
（3）收入效应等于总效应减去替代效应，即：
.x^x—:
xs=2-1.3=0.7
L=x2x2亠八Im--p2X2
q2和，分别求偏导得：
:
L
2XX2—；
旧=0
.X1
.k2汉24“
当商品1的价格变为
XP1，P2，m亓16P1丄2时，商品1的需求为：
/、2X24_
二pX=116=16，
XP1,bm=丁2=8价格上涨后，为了保证消费者的购买力不变，应当把他的收入增加这样在保持消费者的购买力不变的条件下，消费者对该商品的需求为：
…2江（24+16）40
XP1,P2，m齐3
从而消费者的替代效应为:
攻二xp；
m-xp,m-2J4_
消费者的收入效应为:
攻hx—.xs—24芒一少
333
（2）恩格尔加总规则是说把消费者在每种商品上的支出份额（si）和该商品的需求收
入弹性（i）之积加总等于
1，即：
n
ri=1i幺
就本题而言，商品1和2的需求函数分别为XiPi,P2,m=—和X2pi,P2,m=—，从
3pi3p2
而s=p1^
2
—P2x2
」,
1川
m2
*=
m1,
2%m1，从而
m
3
；
x3p
2m
Smx，
3Pi
的价格px,py下，他选择的消费束是x,y二5,8,若此消费者的行为满足显示偏好的弱公
理，那么必定有：
（1）2PyCPx
（2）Px£
2py（3）Px>
3py（4）3Px=Py
【答案】
（1）
【解析】显示偏好弱公理的含义：
令x0是当价格向量为P0时消费者的选择，令x1是当
价格为P0时消费者可以支付得起，但实际上并没有选择的商品束，那么x0就被“显示出”
偏好于x1，并且，若x0被“显示出”偏好于x1，那么x1就决不会被“显示出”偏好于x0。
用数学公式表达就是：
如果p°
x°
_卩0£
，那么必有p1x^：
p1x0。
对于本题的消费者，当价格是（3,1）时，他选择的消费束是x,y二6,6。
在新的价
格Px,Py下，他选择的消费束是x,y二5,8，根据显示偏好弱公理，因为：
3616_3518
所以必有：
6Px■6Py5Px8Py
解得：
2Py：
Px，故选
（1）o
6.（单项选择）1997年，小李将他的全部收入用在两种商品x和y上。
与1997年相比,
1998年商品x和y的价格都上升了8%1998年小李消费的x和1997年一样多，但他消费的y却比1997年少。
我们可以断定：
（1）y是个正常商品。
（2）y是个劣等商品。
（3）x是个劣等商品。
（4）由于商品的相对价格没有变，小李的行为是非理性的。
【解析】正常品是指随着消费者收入的增加其需求也增加的商品；
劣等品是指随着消费
者收入的增加其需求减少的商品。
由于1998年的时候，两种商品的价格同比例上涨，从而
两种商品之间的相对价格不变，所以价格上涨的实际效应是消费者的收入减少，从图上看，就是消费者的预算线向内移动，由于商品y的需求变化和消费者收入的变化方向相同，所以
商品y是正常品，如图3-4所示。
图3-4价格变化对需求的影响
7•考虑一个不变弹性需求函数Q=Ap「，A,；
.0。
（1）求反需求函数pQ。
（2）计算需求的价格弹性。
（3）；
的值为多少时，称需求是有弹性的？
■:
的值为多少时，称需求是无弹性的?
（4）证明：
边际收入函数对反需求函数的比pQMRQ独立于产出Q。
（1）由需求函数Q=Ap「，可得消费者的反需求函数为：
⑵由Q=Ap「，由需求价格弹性公式可得：
巳嗥—Ap"
审一。
（3）如果；
1，就说需求是有弹性的；
如果|「刖，就说需求是无弹性的。
卫Q__
MRQ
可知这个表达式和产出Q无关。
&
判断下述论断是否正确，并给出理由：
（1）如果需求曲线是一条直线，则直线上各点的需求价格弹性是一样的。
（2）如果对X的需求是由X的价格、Y的价格和收入决定的，则当X的价格、Y的价格和收入都上涨一倍时，对X的需求不变。
（1）错误。
理由如下：
①假设线性需求函数为q=b_ap，其中a0，b0，那么它的需求价格弹性为：
dqp
#—
即需求价格弹性
dpq
Ed是价格p的函数。
也就是说，需求曲线上各点的需求价格弹性随价
格变化，不是一个常数。
②如果需求曲线是垂直的（a=0），那么它的弹性是不变的，Ed=0。
3如果需求曲线是水平的，它的弹性不存在（无穷大的），讨论需求曲线上各点的弹性是否相等无意义。
（2）正确，理由如下：
消费者的效用最大化问题通常可以描述如下:
st.pn+p2x2=m
即消费者最优选择的变化基于两个条件的变化，这两个条件就是预算约束和偏好。
当X
的价格、Y的价格和收入都上涨一倍时，其预算约束为2pxx，2pyy乞2m，它与pxx-py^m
表示的是同样的选择集，在偏好不变的情况下（这正是“如果对X的需求是由X的价格，Y的价格和收入决定的”含义），消费者的选择将不会发生变化。
也就是说，对X的需求不变。
9.判断对错并简要说明理由。
Xi和X2是一个消费者消费的两种物品，如果廊2>
0,
就说Xi是X2的替代品；
如果Xi是X2的替代品，贝UX2也是Xi的替代品。
（1）先考虑净替代的情况：
前半句是错误的，而后半句是正确的，理由如下：
两个商品之间的替代关系通过净替代效应的正负来决定，商品1的希克斯需求函数Xi关
于商品2的价格p2求偏导数，如果正，则替代；
如果负，则为互补。
由马歇尔需求函数求偏导得出的是总替代和总互补关系，即使总替代关系为正，由于未剔除收入效应，仍有可能
净替代效应为负，从而两种商品互补，因此该命题前半句错误。
对一个消费两种商品的消费者而言，其希克斯需求函数有如下性质「匹二也，所以，
如果X是X2的替代品，即0，那么至.0,即X2也是Xi的替代品。
卬2Gi
（2）再考虑总替代的情况，前半句是正确的，而后半句是错误的，理由如下：
由马歇尔需求函数求偏导得出的是总替代和总互补关系，厘・0,可知总替代关系为
©
正，两种商品为替代品。
但考虑总替代品时，则不存在净替代效应的对称关系。
例如，拟线
性效用函数u=1nXtx2，可知马歇尔需求函数为N=匕,x2=卩虫。
检验可知也-0,
PiP2卬2
商品1是商品2的替代品；
而止2-0，商品2不是商品1的替代品，也就是说总替代关系印i
不一定是对称的。
10.以需求函数q二b_ap为例，试分析为什么在需求曲线缺乏弹性的部分经营不可能产生最大利润。
利润最大化的一阶条件为MR=MC。
对于该需求函数，TR=pq，则MR=巴R=p=p、1.空|=p‘1—丄。
dqdq（pdq丿l冃|丿
当需求曲线缺乏弹性时，有「；
|Ed|•门，代入上式，得MR：
0。
又因为MC0，由于利润最大化要求MR=MC，当需求曲线缺乏弹性时，MR：
0,
MC0，不满足利润最大化的条件MR二MC。
因此，在需求曲线缺乏弹性的部分经营不可能产生最大利润。
11•判断对错并简要说明理由：
（1）如果消费者是一个理性的效用最大化者，那么他对某种商品的斯拉茨基替代效应必定是负的。
（2）假设某消费者的效用函数是ux,y[=x〉y[则他关于x的需求对y价格的交叉价格弹性为零。
对于严格凸的偏好，斯拉茨基替代效应必定是负的（如图3-5所示）。
但是对于一个理
性的消费者而言，他的偏好只需要满足下面三个条件：
完备性，反省性和传递性。
从这三个
条件出发不能得出消费者的偏好就是严格凸的，所以对于一个具有非严格凸偏好的消费者，
（2）正确。
消费者的效用最大化问题为:
maxxy-
x,y
s.t口xP2y=m
Pm
iP2则他关于x的需求对y价格的交叉价格弹性为：
f\
.iam
dIjR
dx
dp2
P20+P）5丿
12.下面的说法对吗？
为什么？
某个消费者将他的全部收入花在两种商品上，其中一种商品是吉芬商品。
如果吉芬商品的价格上升，那么他对另外一种商品的需求必定下降。
这个说法正确，理由如下：
根据吉芬商品的定义，当吉芬商品的价格上升时，对吉芬商品的需求会增加，从而吉芬商品所占收入的份额会上升，进而另外一种商品所占收入的份额会下降，而这种商品的价格不变、收入不变，因此对该商品的需求必定会下降。
具体证明如下：
假设消费者对这两种物品的需求分别为x1p,p2,m和x?
p1,p2,m，其中商品1是吉芬
商品，则有如下预算约束恒等式：
PM（pi,P2,m）+卩2冷（Pi,P2,m）=m
①式两边关于价格pi求导，就有：
』―次i（P,P2,m）次2（Pi,P2,m）
Xi（Pi,P2,m）+p,—'
*+p2—、=0
和8Pi
由于商品i是吉芬商品，所以%ss0，从而：
5P
这就说明商品2的需求随着商品i的价格的上涨而降低。
i3.令斯拉茨基公式中右端第一项为q，s叫做x与Xj的净替代效应。
对于效
厲丿
用函数U=X；
x2，证明：
SiiPi+$2P2=0。
（i）下面利用效用函数u=X；
X2来证明SiPi■Si2P2=0:
由u=xrX2和预算约束PiXiPX2_y，得到Xi、X2的需求函数:
ryy
XiX2
rPi2irP2
由此可以得到间接效用函数：
rir
f\ry
vP,y「r厂
i■rPiP2
从上式中可以反解出消费者的支出函数:
由谢泼特引理和Sj的定义，得到
11
_rP2厂
=0，证明如下:
（2）本题的结论可以推广到n种商品的情况，即7口$
1
对于k次齐次函数fX1，X2，|l|,Xn，对于任意正数t，满足:
f（tX1,tX2,|l|,tXn）=tkf（X1,X2,||）,Xn）
关于t求偏导，有:
£
苕（tX1川I,tXn）x
Xii土；
=tXi
令t=1，就有:
冬兰Xjll’Xn〒X』||,Xn（齐次函数欧拉定理）
i1.Xj
考虑希克斯需求函数
XiP,P2,|l|,Pn,U关于P是零次齐次的，k一0，利用欧拉疋理:
<
■^：
XihP1JlhPn,U
Pj二kXiP1,,Pn,u=0
j土.'
Pj
即：
—PjSj=0
j1
因此：
s11p1■s2P2=0。
14.如果观察到，一个消费者在山=2,P2=6时，购买的商品1和2的数量为x^20,
X2=10；
当价格变为Pl=3,P2=5时，他的购买量为X1=18,X2=4。
他的行为符合显示性偏好的弱公理吗？
消费者的行为符合显示性偏好弱公理。
显示偏好弱公理的含义：
令X0是当价格向量为P0时消费者的选择，令X1是当价格为P0时消费者可以支付得起但实际上并没有选择的商品束，那么X0就被“显示出”偏好于X1，
并且，若X0被“显示出”偏好于X1，那么X1就决不会被“显示出”偏好于X0。
所以，消费
者在p1,y1预算条件下选择了X1而不是X0，那不是由于X0不如X1，而一定是由于X0在
p1,y1的条件下买不起。
亠p0£
，那么必有p1X0.p1X1。
因为220・610=1002186#所以根据显示偏好弱公理就必然有
3X20+5如山3185而后一个等式确实是成立的（110=74），因此消费者的行为符
合显示性偏好的弱公理。
15•设消费者的反需求函数为p二a_bq，这里a,b0。
假定政府开征消费税（从价
税），因此，消费者支付的价格会从p上升到p1t（这里，t为税率）。
消费者剩
余的损失总是超过政府通过征税而获得的收入。
如图3-7所示，征税前，消费者的剩余为：
CS
征税后，消费者的剩余为:
因此,
即消费者剩余的损失总是超过政府通过征税而获得的收入。
图3-7征税对消费者的影响
16•设一个消费者只消费两类商品，他在口=10元，P2=5元时购买了x1^5,X2=10。
现在，Pi下降至8元，P2上升至6元。
问该消费者的生活水平在价格变动后提高了还是降低了？
该消费者的生活水平在价格变动后至少不会降低，理由如下：
价格变化前，消费者的总支出为PX-P2X2=105510=100;
价格变化后消费者的预算线变为8x6X2=100，特别是价格变化后的预算线经过价格变化前的最优消费点（如图3-8所示），这说明消费者现在仍然可以消费得起价格变化前的最优消费束，所以对于追求效用最大化的消费者，他的境况至少和价格变化前一样好。
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