矩阵的特征值与特征向量分析及应用毕业论文Word格式.docx

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1.2求解本征值与本征向量的方法探索

第二章、矩阵的特征多项式和特征根

2.1矩阵的特征多项式和特征根的定义

2.2求解特征根和特征向量的方法

2.3线性变换的特征根与特征向量的求法

第三章、特征值和特征向量在生活中的应用

3.1经济发展与环境污染的增长模型

3.2莱斯利（Leslie）种群模型

四、结论

矩阵是高等代数课程的一个基本概念，是研究高等代数的基本工具.。

线性空间、线性变换等,、都是以矩阵作为手段；

由此演绎出丰富多彩的理论画卷.。

求解矩阵的特征值和特征向量,，是高等数学中经常碰到的问题。

一般的线性代数教材中，都是先计算特征多项式，然后求得特征值，再通过解线性方程组得到对应的特征向量。

特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在于生活现实中的应用也很广泛。

第一章本征值和本征向量的关系

1.1本征值与本征向量的定义

定义1　设σ是数域F上线性空间V的一个线性变换．如果对应F中的一个数λ，存在V中的非零向量ξ，使得σ（ξ）=λξ　

（1）

那么λ就叫做σ的一个本征值，而ξ叫做σ的属于特征根λ的一个本征向量．

显然，如果ξ是α∈F的属于本征值λ的一个本征向量，那么对于任意α∈F,都有

σ（αξ）=ασ（ξ）=λ（αξ）

这样，如果ξ是σ的一个本征向量，那么由ξ所生成的一维子空间U=｛αξ|α∈F｝在σ之下不变；

反过来，如果V的一个一维子空间U在σ之下不变，那么U中每一个非零向量都是σ的属于同一本征值的本征向量。

①

其中

（1）式的几何意义是：

本征向量ξ与它在σ下的象σ（ξ）保持在同一直线L（ξ）上，λ＞0时方向相同，λ＜0时方向相反，λ＝0时，σ（ξ）=0．

例1在V3中，σ是关于过原点的平面H的反

射，它是一个线性变换．那么H中的每个非零

向量都是σ的属于本征值1的本征向量，Vλ

就是平面H．与H垂直的非零向量都是σ的

属于本征值-1的本征向量，即V-1就是直

线L（见图1）见图1

例2设V表示定义在实数域上的可微分任意次的实函数的全体构成的线性空间．令σ（f（x））=f′（x）,σ是V的线性变换．对于每个实数λ，有σ（eλx）=λeλx.所以，λ是σ的本征值，而eλx是σ的属于λ的本征向量．

1.2求解本征值与本征向量的方法探索

问题的转化

直接由定义来求线性变换的本征值与本征向量往往是困难的，我们可用线性变换的矩阵来解决这个问题．

设V是数域F上的n维线性空间，取定它的基｛α1，α2，…，αn｝，令线性变换σ在这个基下的矩阵是A＝（αij）.

如果ξ＝k1α1+k2α2+…+knαn是线性变换σ的属于特征根λ的一个特征向量，

那么，

σ（ξ）关于基｛α1，α2，…，αn｝的坐标是A而λξ的坐标是λ

这样，就有A=λ

或

（2）（λI-A）=

为ξ≠0，所以齐次线性方程

（2）有非零解。

因而系数行列式

（3）

反过来，如果λ∈F，满足等式（3），则齐次线性方程组

（2）有非零解（k1，k2，…，kn），ξ＝k1α1+k2α2+…+knαn满足等式

（1），λ是σ的一个本征值，ξ就是σ的属于本征值λ的本征向量。

由上面的分析，可以得到以下的结论：

1）λ∈F是σ的本征值的充分必要条件是它满足方程（3）；

2）对于本征值λ子空间Vλ中一切向量在｛α1，α2，…，αn｝下的坐标正好构成齐次线性方程组（λI-A）X=0的在F上的解空间．实际上Vλ与（λI-A）X=0的解空间同构.Vλ的一个基｛β1，β2，…，βn｝可由齐次线性方程组（λI-A）X=0的一个基础解系｛η1，η2，…，ηn｝给出.（其中βi=（α1，α2，…，αn）ηi,i=1,2,…,r）；

②

例1：

求矩阵的特征值和特征向量.

解：

A的特征多项式为：

=

A有三个不同的特征值

将代入其次线性方程组

得基础解系，则A的属于全部特征向量为.

得基础解系，则A的属于全部特征向量为

第二章矩阵的特征多项式和特征根

2.1矩阵的特征多项式和特征根的定义

定义2　设A=（aij）是数域F上的一个n阶矩阵，行列式

叫做矩阵A的特征多项式．fA（x）在C内的根叫做矩阵A的特征根．

设λ0∈C是矩阵A的特征根，而x0∈Cn是一个非零的列向量，使Ax0=λ0x0,就是说，x0是齐次线性方程组（λ0I-A）X=0的一个非零解．我们称x0是矩阵A的属于特征根λ0的特征向量。

③

2.2线性变换的本征值与矩阵的特征根的关系

1）如果σ关于某个基的矩阵是A,那么σ的本征值一定是A的特征根，但A的特征根却不一定是σ的本征值，A的n个特征根中属于数域F的数才是σ的本征值；

（2）σ的本征向量是V中满足

（1）式的非零向量ξ，而A的本征向量是Cn中的满足Ax0=λx0的非零列向量x0

3）若λ∈F是A的特征根，则A的Fn中属于λ的就是σ的λ属于的特征向量关于给定基的坐标．

2.3线性变换的特征根与特征向量的求法

现在把求线性变换σ的特征根和特征向量的步

骤归纳如下：

1）在线性空间V中取一个基｛α1，α2，…，αn｝，求出σ在这个基下的矩阵A；

2）计算特征多项式fA（x）=|XI-A|,求出它的属于数域F的根λ1，λ2，…，λs；

3）对每个λi（i=1,2,…,s）求齐次线性方程组（λiI-A）X=0的基础解系；

4）以上面求出的基础解系为坐标，写出V中对应的向量组，它就是特征子空间

Vλi的一个基，从而可确定σ的特征向量．

例4　设R上的三维线性空间V的线性变换σ在基｛α1，α2，α3｝下

的矩阵是求σ的特征根和对应的特征向量．

解　σ的矩阵A已给出，先求特征多项式和特征根．

fA（x）的根为λ1＝1（二重根），λ2＝-2都是σ的特征根．对特征根λ1＝1，解齐次线性方程组（1·

I-A）X=0，即

得基础解系ξ1＝（-2，1，0），ξ2＝（0，0，1）对应的特征向量组是｛-2α1+α2,α3｝，它是特征子空间V1的一个基，所以V1＝L（-2α1+α2，α3）．而σ的属于特征根1的一切特征向量为k1（-2α1+α2）+k2α3，k1，k2∈R，不全为0．

对特征根λ2＝-2，解齐次线性方程组

得基础解系ξ3＝（-1，1，1），对应的σ的特征向量是-α1+α2+α3，它可构成V-2的一个基，所以　V-2＝L（-α1+α2+α3）．因此σ的属于特征根-2的一切特征向量为　k（-α1+α2+α3），k∈R，k≠0．④

注意：

求A的特征根时，要考虑给定的数域，若没有指定数域，就在C内讨论；

表示属于某个特征根的特征向量（关于基础解系）组合系数要取自指定的数域F（或C），且不全为零

第三章特征值和特征向量在生活中的应用

矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析、生命科学和环境保护等领域都有着广泛而重要的应用.其中，经济发展与环境污染的增长模型，莱斯利（Leslie）种群模型这两种模型，矩阵的特征值和特征向量在其应用起着重要的作用。

经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题.为研究某地区的经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型：

设分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平，分别为该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平，且有如下关系：

令

则上述关系的矩阵形式为

此式反映了该地区当前和若干年后的环境污染水平和经济发展水平之间的关系.

如

则由上式得

由此可预测该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平.

一般地，若令分别为该地区t年后的环境污染水平与经济发展水平，则经济发展与环境污染的增长模型为

则上述关系的矩阵形式为

由此，有

由此可预测该地区t年后的环境污染水平和经济发展水平.

下面作进一步地讨论：

由矩阵A的特征多项式

得A的特征值为

对度，解方程得特征向量

对，解方程得特征向量

显然,线性无关

下面分三种情况分析：

Case1

一个性质:

若是矩阵A的属于特征值的特征向,则也是的属于特征值的特征向量度（*）

由（*）及特征值与特征向量的性质知，

即或

此式表明：

在当前的环境污染水平和经济发展水平的前提下，t年后，当经济发展水平达到较高程度时，环境污染也保持着同步恶化趋势.

不讨论此种情况

不是特征值,不能类似分析。

但是可以由唯一线性表出来

由（*）及特征值与特征向量的性质

即

由此可预测该地区年后的环境污染水平和经济发展水平.

因无实际意义而在Case2中未作讨论，但在Case3的讨论中仍起到了重要作用.

由经济发展与环境污染的增长模型易见，特征值和特征向量理论在模型的分析和研究中获得了成功的应用.

3.2莱斯利（Leslie）种群模型

莱斯利种群模型研究动物种群中雌性动物的年龄分布与数量增长之间的关系。

设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为L（单位：

年），将区间[0,L]作n等分得n个年龄组

每个年龄组的长度为

设第i个年龄组的生育率（即每一雌性动物平均生育的雌性幼体的数目）为αi，存活率（即第i个年龄组中可存活到第i+1个年龄组的雌性动物的数目与

第i个年龄组中雌性动物的总数之比）为bi。

令

即为初始时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量。

取

设在时刻tk该动物种群的第i个年龄组中雌性动物的数目为

则X（k）即为时刻tk该动物种群中雌性动物的年龄分布向量.显然，随着时间的变化，该动物种群的各年龄组中雌性动物的数目会发生变化.

易知，时刻tk该动物种群的第一个年龄组中雌性动物的数目等于在时段[tk-1,tk]内各年龄组中雌性动物生育的雌性幼体的数目之和，即

（2.1）

又tk时刻该动物种群的第i+1个年龄组中雌性动物的数目等于tk-1时刻第i个年龄组中雌性动物的存活量，即

（2.2）

联立（2.1）和（2.2）得

（2.3）

（2.4）

令莱斯利矩阵

则（2.4）即为

于是

（2.6）

由此，若已知初始时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量X（0），则可计算出tk时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量X（k），从而对该动物种群中雌性动物的数量作出科学的预测和分析.⑤

例3．1设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为15年，且以5年为间隔将雌性动物分为3个年龄组[0,5],[5,10],[10,15].由统计资料知，3个年龄组的雌性动物的生育率分别为0，4，3，存活率分别为0.5，0.25，0，初始时刻3个年龄组的雌性动物的数目分别为500，1000，500.试利用莱斯利种群模型对该动物种群中雌性动物的年龄分布和数量增长的规律进行分析.

由（2.6）得

……

下面求

由矩阵L的特征多项式

得L的特征值为

由矩阵L可相似对角化.

令矩阵

则P可逆，且

于是

从而

两边取极限得

于是，当k充分大时，

由此式知，在初始状态下，经过充分长的时间后，该动物种群中雌性动物的年龄分布将趋于稳定，即3个年龄组中雌性动物的数目之比为且时刻该动物种群的3个年龄组中雌性动物的数目分别为

且其总和为

通过矩阵特征值与特征向量，以及矩阵的特征多项式和特征根的定义学习，理解特征值与特征向量求解方法。

矩阵的特征值应用于生活的中，为生活各类问题解决，创建有效的数学模型数学提供了有效的工具，为解决问题提供有效的方法。

是数学与其它科学研究的基础和工具。

学习和研究数学，联系实际，通过数学的工具来解决生活上问题。

离开数学别的科学研究是寸步难行的，所以我们必须重视数学，深入研究数学，从而促进所有科学的发展。

参考文献

1张禾瑞,郝鈵新.高等代数（第四版）[M].北京:

高等教育出版社,2007，279

2谢国瑞.线性代数及应用[M].北京:

高等教育出版社,1999.

3北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京:

高等教育出版社,2000.

4杨子胥.高等代数习题解[M].济南:

山东科学技术出版社,1982.

5戴斌祥，线性代数[M]，北京邮电大学出版社