高等数学微分中值定理与导数应用习题.docx

高等数学微分中值定理与导数应用习题.docx

《高等数学微分中值定理与导数应用习题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学微分中值定理与导数应用习题.docx（7页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高等数学微分中值定理与导数应用习题

微分中值定理与导数应用

一、选择题

1.设函数在上满足罗尔中值定理的条件，则罗尔中值定理的结论中的【】

A.B.C.D.

2.下列函数中在闭区间上满足拉格朗日中值定理条件的是【】

A.B.C.D.

3.设函数，则方程有【】

A.一个实根B.二个实根

C.三个实根D.无实根

4.下列命题正确的是【】

A.若，则是的极值点

B.若是的极值点，则

C.若，则是的拐点

D.是的拐点

5.若在区间上，,则曲线f（x）在上【】

A.单调减少且为凹弧B.单调减少且为凸弧

C.单调增加且为凹弧D.单调增加且为凸弧

6.下列命题正确的是【】

A.若，则是的极值点

B.若是的极值点，则

C.若，则是的拐点

D.是的拐点

7.若在区间上，,则曲线f（x）在上【】

A.单调减少且为凹弧B.单调减少且为凸弧

C.单调增加且为凹弧D.单调增加且为凸弧

8.下列命题正确的是【】

A.若，则是的极值点

B.若是的极值点，则

C.若，则是的拐点

D.是的拐点

9.若在区间上，,则曲线f（x）在上【】

A.单调减少且为凹弧B.单调减少且为凸弧

C.单调增加且为凹弧D.单调增加且为凸弧

10.函数在闭区间上满足罗尔定理，则=【】

A.0B.C.D.2

11.函数在闭区间上满足罗尔定理，则=【】

A.0B.C.1D.2

12.函数在闭区间上满足罗尔定理，则=【】

A.0B.C.1D.2

13.方程至少有一个根的区间是【】

A.B.C.D.

14.函数.在闭区间上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的

【】

A.0B.C.1D.

15.已知函数在闭区间[0,1]上连续，在开区间（0,1）内可导，则拉格朗日定理成立的是【】

A.B.C.D.

16.设，那么在区间和内分别为【】

A.单调增加，单调增加B.单调增加，单调减小

C.单调减小，单调增加D.单调减小，单调减小

二、填空题

1.曲线的拐点为_____________.

2.曲线的凹区间为_____________。

3.曲线的拐点为_____________.

4.函数的单调增区间是___________.

5.函数的极小值点为_____________.

6.函数的单调减区间是___________.

7.函数的极小值点为_____________.

8.函数的单调增区间是___________.

9.函数的极值点为_____________.

10.曲线在区间的拐点为_____________.

11.曲线在区间的拐点为_____________.

12.曲线的拐点为___________.

13.函数的拐点坐标为.

14.函数在_______有极大值．

15.曲线在处的切线方程是___________.

16.曲线在区间的拐点为_____________.

17.过点且切线斜率为的曲线方程是=．

三、计算题

1.求极限

2.求极限

3.求极限

4.求极限

5.求极限

6.求极限

7.求极限

四、综合应用题

1.设函数.求

（1）函数的单调区间；

（2）曲线的凹凸区间及拐点.

2.设函数.求

（1）函数的单调区间；

（2）曲线的凹凸区间及拐点.

3.设函数.求在上的最值

4.设函数.求

（1）函数的单调区间与极值；

（2）曲线的凹凸区间及拐点.

5.某工厂要建造一个容积为300的带盖圆桶，问半径和高如何确定，使用的材料最省？

6.求函数在上的最大值及最小值。

7设函数.求

（1）函数的单调区间与极值；

（2）曲线的凹凸区间及拐点.

8设函数.求

（1）函数的单调区间与极值；

（2）曲线的凹凸区间及拐点.

9求函数在上的极值.

10.试求的单调区间，极值，凹凸区间和拐点坐标．

五、证明题

1.证明：

当时，。

2.应用拉格朗日中值定理证明不等式：

当时，。

3.设在上可导，且。

证明：

存在，使成立。

4.设在闭区间[0,]上连续，在开区间（0,）内可导，

（1）在开区间（0,）内，求函数的导数.

（2）试证：

存在，使.

.

5.设在闭区间上连续，在开区间内可导，且

（1）在开区间内，求函数的导数.

（2）试证：

对任意实数，存在，使.

6.求函数的导函数，

（2）证明不等式：

，其中.（提示：

可以用中值定理）

7.证明方程有且只有一个大于1的根.

8.证明方程有且只有一个大于1的根.

9.证明方程有且只有一个大于1的根.

10.设在上连续,在内二阶可导，,且存在点使.证明：

至少存在一点，使.

11.设在上连续,在内可导,且,

证明:

（1）存在使得

（2）存在两个不同的使

12.设在上有二阶导数，且.又

.证明：

至少存在一点，使

13.证明方程在上有且只有一个根.

14.证明：

当时，.

15.设在内满足关系式，且，则。

（提示：

设辅助函数）