学年高中数学第三章322复数代数形式的乘除运算同步学案新人教A版选修12.docx

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学年高中数学第三章322复数代数形式的乘除运算同步学案新人教A版选修12

3.2.2　复数代数形式的乘除运算

学习目标　1.掌握复数代数形式的四则运算法则，熟练地运用复数的乘法、除法的运算法则.2.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律.3.理解并掌握共轭复数的性质及应用．

知识点一　复数的乘法及运算律

思考　请你探究in（n∈N*）的取值情况及其规律．

答案　in（n∈N*）的取值只有i，－1，－i,1，且具有周期性，具体取值规律为：

i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i，i4k＝1，k∈N.

梳理　

（1）复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积

（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i.

（2）复数乘法的运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有

交换律

z1z2＝z2z1

结合律

（z1z2）z3＝z1（z2z3）

乘法对加法的分配律

z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3

知识点二　共轭复数

思考　当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个怎样的数？

与复数的模的关系是什么？

答案　当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数，且有z·＝|z|2＝||2.事实上，若z＝a＋bi（a，b∈R），那么z·＝（a＋bi）·（a－bi）＝a2＋b2.

梳理　

（1）共轭复数的概念

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．z的共轭复数用表示．若z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi.

（2）共轭复数的性质

①在复平面内，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．

②实数的共轭复数是它本身，即z＝⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．

③若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．

④a.z·＝|z|2＝||2；b.|z|＝||；c.z＋＝2a，z－＝2bi（z＝a＋bi，a，b∈R）．

知识点三　复数的除法法则

1．复数的除法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R，c＋di≠0），则＝＝＋i.

复数的除法的实质是分母实数化．若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi.

2．实数的平方根

设a∈R，当a＝0时，a的平方根为0；当a>0时，a的平方根是两个实数±；当a<0时，a的平方根是两个共轭纯虚数±i.

3．虚数的平方根

设z＝a＋bi（a，b∈R且b≠0），x＋yi（x，y∈R）是z＝a＋bi的平方根，则有（x＋yi）2＝a＋bi，即x2－y2＋2xyi＝a＋bi，所以有解方程组求出x，y的值即可．

1．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除后加减．（　√　）

2．两个共轭复数的和与积是实数．（　√　）

3．若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.（　×　）

类型一　复数的乘、除法运算

命题角度1　复数乘、除法基本运算

例1　

（1）i（1－i）2的值等于（　　）

A．－4B．2C．－2iD．4i

（2）若复数z满足（1－z）（1＋2i）＝i，则在复平面内表示复数z的点位于（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

（3）若复数z满足（1＋i）·z＝2i（i为虚数单位），则复数z＝________.

考点　复数的乘除法运算法则

题点　乘除法的运算法则

答案　

（1）B　

（2）D　（3）1＋i

解析　

（1）i（1－i）2＝i（－2i）＝2.

（2）由（1－z）（1＋2i）＝i，得z＝1－＝＝＝－i，在复平面内表示复数z的点的坐标为，位于第四象限．

（3）z＝＝＝＝1＋i.

反思与感悟　

（1）两个复数代数形式乘法的一般运算方法：

首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．

（2）常用公式

①（a＋bi）2＝a2＋2abi－b2（a，b∈R）．

②（a＋bi）（a－bi）＝a2＋b2（a，b∈R）．

③（1±i）2＝±2i.

跟踪训练1　

（1）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1＋i）（1－bi）＝a，则的值为________．

考点　复数的乘除法运算法则

题点　利用乘除法求复数中的未知数

答案　2

解析　因为（1＋i）（1－bi）＝1＋b＋（1－b）i＝a，

又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，

得a＝2，b＝1，所以＝2.

（2）已知复数z满足（z＋2）＝4＋3i，求z.

解　设z＝x＋yi（x，y∈R），则＝x－yi.

由题意知，（x－yi）（x＋yi＋2）＝4＋3i.

得

解得或

所以z＝－i或z＝－i.

命题角度2　复数乘除法的灵活运算

例2　计算下列各式：

（1）i2016＋（＋i）8－50；

（2）6.

考点　复数的乘除法运算法则

题点　乘除法的运算法则

解　

（1）原式＝i4×504＋[2（1＋i）2]4－25

＝1＋（4i）4－i25＝257－i.

（2）原式＝2＝2＝（－1）2＝1.

反思与感悟　复数四则运算的解答策略

（1）复数的加法、减法、乘法运算法则可以类比多项式的运算法则，除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．

（2）记住一些结论，如（1±i）2＝±2i，＝i，＝－i等．

跟踪训练2　

（1）2005等于（　　）

A．iB．－i

C．22005D．－22005

考点　复数的乘除法运算法则

题点　乘除法的运算法则

答案　A

解析　原式＝2004＝i.

（2）计算：

①＋2000＋；

②1＋in＋i2n＋…＋i2000n（n∈N*）．

考点　复数的乘除法运算法则

题点　乘除法的运算法则

解　①原式＝＋（－i）1000＋

＝i＋1＋＋i＝＋i.

②当n＝4k（k∈N*）时，原式＝＝2001.

当n≠4k（k∈N*）时，

原式＝＝＝＝1.

类型二　复数运算的综合应用

例3　试判断方程x2－（4－2i）x＋3－2i＝0是否有实根，并解该方程．

考点　复数乘除法运算法则

题点　乘除法的综合应用

解　设x0是方程x2－（4－2i）x＋3－2i＝0的实根，

则x－（4－2i）x0＋3－2i＝0，

整理得（x－4x0＋3）＋（2x0－2）i＝0，

则

解得x0＝1，故该方程有实根．

根据根与系数的关系，得方程的两个根分别为1,3－2i.

反思与感悟　根据复数相等的充要条件解决复系数方程是否有实根问题时，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数，化复数问题为实数问题来解决．

跟踪训练3　

（1）复数2＋2i的平方根是（　　）

A.＋iB.±i

C．±＋iD．±（＋i）

（2）已知复数z＝－3＋2i（i为虚数单位）是关于x的方程2x2＋px＋q＝0（p，q为实数）的一个根，则p＋q的值为（　　）

A．22B．36C．38D．42

考点　复数的乘除法运算法则

题点　乘除法的运算法则

答案　

（1）D　

（2）C

解析　

（1）设复数2＋2i的平方根为x＋yi（x，y∈R），

则x2－y2＋2xyi＝2＋2i，

∴解得或

∴所求平方根为＋i或－－i.

（2）∵z＝－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，

∴2×（－3＋2i）2＋p（－3＋2i）＋q＝0，

即2×（9－4－12i）－3p＋2pi＋q＝0，

得10＋q－3p＋（2p－24）i＝0.

由复数相等得解得

∴p＋q＝38.

类型三　共轭复数的概念及其应用

例4　

（1）若z＝，则复数等于（　　）

A．－2－iB．－2＋i

C．2－iD．2＋i

（2）若复数z满足（2－i）z＝5i（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数的模是________．

考点　共轭复数的定义与应用

题点　利用定义求共轭复数

答案　

（1）D　

（2）

解析　

（1）∵z＝＝＝＝2－i，

∴＝2＋i.

（2）由已知z＝＝＝i（2＋i）＝－1＋2i，故||＝|z|＝.

反思与感悟　

（1）已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：

设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解．

（2）共轭复数的常用性质：

①z·＝|z|2＝||2；

②＝＋，＝－，＝·，＝（z2≠0）；

③若z∈R，则z＝，反之亦成立；若z为纯虚数，则z＋＝0，反之亦成立．

跟踪训练4　

（1）已知i是虚数单位，m，n∈R，且m＋2i＝2－ni，则的共轭复数为________．

考点　共轭复数的定义与应用

题点　利用定义求共轭复数

答案　i

解析　m，n∈R，且m＋2i＝2－ni，

可得m＝2，n＝－2，

＝＝＝＝－i.

所以它的共轭复数为i.

（2）已知复数z满足：

z·＋2zi＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．

考点　共轭复数的定义与应用

题点　利用定义求共轭复数

解　设z＝a＋bi（a，b∈R），

则z·＝a2＋b2，

∴a2＋b2＋2i（a＋bi）＝8＋6i，

即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，

∴解得

∴a＋b＝4，

∴复数z的实部与虚部的和是4.

1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2等于（　　）

A．4＋2iB．2＋i

C．2＋2iD．3＋i

考点　复数的乘除法运算法则

题点　乘除法的运算法则

答案　A

解析　z1·z2＝（1＋i）·（3－i）＝1×3－i×i＋（3－1）i＝4＋2i.

2．若i是虚数单位，则等于（　　）

A.－iB.＋i

C.＋iD.－i

考点　复数的乘除法运算法则

题点　乘除法的运算法则

答案　B

解析　＝＝＝＋i.

3．计算：

10＝________.

考点　复数的乘除法运算法则

题点　乘除法的运算法则

答案　－1

解析　10＝10＝（－i）10＝－1.

4．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．

考点　复数的乘除法运算法则

题点　乘除法的运算法则

答案　

解析　＝＝

＝，

根据已知条件，得a＝.

5．计算：

（1）＋－；

（2）（＋i）5＋4＋7.

考点　复数的乘除法运算法则

题点　乘除法的运算法则

解　

（1）原式＝[（1＋i）2]3＋[（1－i）2]3·－

＝（2i）3·i＋（－2i）3·（－i）－

＝8＋8－16－16i

＝－16i.

（2）（＋i）5＋4＋7

＝－i·（）5·[（1＋i）2]2·（1＋i）＋2＋i7

＝16（－1＋i）－－i

＝－＋（16－1）i.

1．复数代数形式的乘除运算

（1）复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．

（2）在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．

2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．

3．复数问题实数化思想．

复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi（a，b∈R），利用复数相等的充要条件转化.

一、选择题

1．已知i为虚数单位，复数z＝在复平面内对应的点为（　　）

A.B.

C.D.

考点　复数的乘除法运算法则

题点　运算结果与点的对应

答案　B

解析　z＝＝＝－i，

故复数z在复平面内对应的点为.

2．已知i为虚数单位，则等于（　　）

A．－2－3iB．－2＋3i

C．2－3iD．2＋3i

考点　复数的乘除