《非线性电力系统分析讲义》甘德强.docx

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《非线性电力系统分析讲义》甘德强

非线性电力系统分析与控制讲义

甘德强

从本质上讲，电力系统是一个大规模的动态系统。

给北美经济带来数百亿美元损失的2003夏季美加大停电就是一个复杂的动态过程。

因此，无论是在上个世纪的管制时代，还是在现在的市场运行时代，电力系统稳定都是电力系统工程师们最关心的主题之一。

例如，小干扰稳定，暂态稳定性，电压稳定性，中长期稳定性和频率稳定等等动态问题都是电力系统运行和规划必需考虑的。

这些问题的数学模型和分析方法也是电力系统自动化专业研究生应当适当了解或者掌握的。

除小干扰稳定外，上述稳定性问题都具有非线性的动力学特征。

电力系统稳定性分析的传统课程和教材重视稳定性分析的建模和数值分析方法，而较少涉及稳定性问题的非线性动力学基本特征。

本课程旨在向学生介绍这方面的知识，为研究生进一步深入研究电力系统稳定性问题奠定基础。

经过本课程学习，学生应当能够理解相关电力系统稳定性分析文献，并运用基本的非线性系统理论分析电力系统稳定性问题。

讲义为大学电力系统专业研究生使用。

课程要求学生完成课外练习，阅读相关文献，编写期末综述报告，并通过期末考试。

预修课程包括线性代数，高等数学，电力系统稳定性分析的基础课程（如马大强著，或者王锡凡－方万良－杜正春著）和现代控制理论（如豹著）。

课程还根据研究课题的需要，灵活的修订教学容比如补充介绍广义系统分析，奇异摄动理论或者混杂系统等容，以便保持与学科发展同步，为科研创造有利条件。

在编选讲义的过程中，我们主要使用了下列参考文献：

1.H.K.Khalil,NonlinearSystems,secondedition,1996

2.S.Sastry,NonlinearSystems,Springer-Verlag,NewYork,1999

3.M.Vidyasagar,NonlinearSystemsAnalysis,SecondEdition,Prentice-Hall,Inc.,EnglewoodCliffs,NJ,USA,1993

一．概论

1．1平面线性系统

考虑下述天然“解耦”的平面系统：

，或者采用矩阵形式：

系统的解为：

，或者采用矩阵形式：

注意解曲线满足关系：

组成了所谓相平面，上述关系可以采用相图表示，如下图。

图线性系统的相图

当一个平面线性系统不局部天然“解耦”结构时，其解同样存在一般形式[Khalil1996]。

下面简单介绍。

对平面系统：

其解具备如下通用形式：

其中为相似变换矩阵，可逆；为约当矩阵。

矩阵都是实数的。

取决于矩阵的特征值分布情况，约当矩阵有如下三种通用形式：

其中元素都是矩阵在不同情况下可能的特征值。

下面对三种形式可能出现的情况分别进行介绍。

一．矩阵有两个不相同的实数特征值

下图显示了此时可能出现的三种情况。

图（a）稳定结点（）；（b）不稳定结点（）；（c）鞍点（）

二．矩阵有两个共扼特征值（）

注意由定义，此时同样可能出现的三种情况，如下图所示。

图（a）稳定焦点（）；（b）不稳定焦点（）；（c）中心（）

三．矩阵有两个相同的非零实数特征值

现在有四种情况可以考虑，如下图所示。

图（a）稳定结点（）；（b）不稳定结点（）

图（a）临界稳定结点（）；（b）临界不稳定结点（）

四．矩阵有一个或者二个零实数特征值

这是退化的情况，详见文献[Khalil1996]。

最后，我们给出几个定义。

定义（汇点Sink）－稳定结点和焦点称为汇点。

定义（源点Source）－不稳定结点和不稳定焦点称为源点。

1．2非线性系统

现实中绝大部分动态问题都是非线性的，例如如下单机无穷大电力系统：

其中，和为两个正常数。

一个非线性的动态问题由下述常微分方程述：

（自治系统）

或者

（非自治系统）

对一般的常微分方程或者都难以找到解析解，因此非线性系统的分析及具挑战性。

定性分析和数值计算是最常见的研究手段。

另外一方面，非线性系统表现出许多引人入胜的特征。

定义（平衡点或者奇点）－满足的点称为自治系统平衡点；满足的点称为非自治系统的平衡点。

∆∆

假设，令，自治系统可以变换为：

这样新坐标体系下原点就称为上述系统的平衡点。

这样的变换总是存在的，并且对非自治系统也成立。

为简化表达，后面我们经常就假设一个非线性系统的原点就是平衡点。

定义（孤立平衡点）－自治系统的平衡点是孤立平衡点的，如果存在，使得在没有其它平衡点。

∆∆

引理（孤立平衡点充分条件）[Vidiyasagar1993;Sastry1996]－如果矩阵非奇异，则自治系统的平衡点是孤立平衡点。

∆∆

证明－因为非奇异，所以存在，满足

将在原点进行泰勒展开得到：

其中是的平方项，满足：

上式表明，存在，使得：

，

这样，

，

当时，。

证毕∆∆

定义（平面系统闭轨）[Sastry1999]－一个集合称为闭轨，如果不是一个孤立平衡点，且存在，使得：

，∆∆

在一个平面非线性系统的相图中，闭轨是一条闭合曲线。

例如，在线性系统中，围绕中心的一条解曲线在相平面形成闭轨。

定义（平面系统极限环）[Sastry1999]－孤立的闭轨就是极限环。

例子[Sastry1999]－考虑下述非线性系统

进行极坐标变换，我们得到新系统：

这个系统存在极限环。

参考文献

4.廖晓昕，《稳定性的理论，方法和应用》，华中科技大学，1999

二．常微分方程基本定理

2．1数学基础

一．欧氏空间理论分析

定理（维尔斯特拉斯）－欧氏空间连续函数在紧致集合上取得极大值。

定义（函数序列）－对于每一个，，称函数序列收敛于。

函数为函数序列的极限函数，记为。

例令，定义了一个函数序列，如下图所示。

0

1

1

图函数序列（取自[Sprecher]）

令如果，显然函数序列收敛于。

注意到是不连续的。

那么，函数序列满足什么条件时其极限函数是连续的呢？

这个条件为一致收敛。

定义（一致收敛）－对定义在集合上的函数序列，对任意给定，存在，使得只要，则对所有，有称函数序列一致收敛于。

定理（柯西定则）－在集合上的函数序列一致收敛于当且仅当：

对任意给定，存在，使得只要，，则对所有，有。

定理－如果在集合上的函数序列一致收敛于，则是连续函数。

定义（普希茨条件）－假设函数定义在上，且存在，使得对任意，有：

，则称函数在上满足普希茨条件。

常数为普希茨常数。

定理[陆启韶]－设在凸集上，函数的所有一阶偏导数存在且有界，则在上满足普希茨条件（试采用微分中值定理证明）。

引理－假设函数定义在上，且满足普希茨条件，则是连续函数。

引理－

定理（数等效）

二．线性空间理论分析

定义（线性空间）

定义（数）

例子－连续函数的集合，用表示，形成一个线性空间。

如果我们令，则建立了一个赋线性空间。

定义（收敛）

定义（完备性）

定义（巴拿赫空间）完备赋线性空间称为巴拿赫空间。

定义（压缩映射）－设为一赋线性空间，那么映射称为压缩映射，如果存在，使得

，

0

1

1

图压缩映射

定义（不动点）－巴拿赫空间的一个点称为映射的不动点如果。

定理（压缩映射原理）－假设为一巴拿赫空间的闭集，则压缩映射有唯一的不动点。

证明：

令，构造序列，。

注意：

令，则

上式表明，只要足够大，可以任意小。

这就证明序列是柯西序列。

因为是完备空间，所以的极限存在，令其为。

因为压缩映射是连续映射，则：

这就证明，为不动点。

假设也是一个不动点，则

因为，上式说明，即不动点是唯一的。

■■

波兰数学家Banach（巴拿赫）于1910年前后证明了上述定理，因此又称巴拿赫不动点定理。

压缩映射原理在更抽象的距离空间也适用。

2．2解的存在唯一性

建立常微分方程初值问题后关心的第一个问题就是，初值问题解的存在性和唯一性。

下面介绍一个常见的结果。

定理[Hirsch-Smale]（解的局部存在唯一性）－令为一闭集，假设存在，使得连续函数满足：

，

则存在闭集，，使得下面常微分方程初值问题在上存在唯一解：

，。

证明－定理的证明由五个步骤组成。

（1）将常微分方程转化为积分方程

假设是初值问题的解，也就是说：

，。

显然，满足下面的积分方程：

反之，如果是上述积分方程的解，对两端求导得：

，且。

因此，上述积分方程和原初值问题等价。

下面我们只要证明等价的积分方程存在唯一解就可以了。

（2）构造毕卡函数序列

定义如下函数序列：

，，，

设为一闭集，。

令，注意且：

上式中常数总存在。

因此，总能够找到闭集，使得。

（3）证明一致收敛

首先运用数学归纳法证明：

存在常数，使得对所有，有：

。

令，这样：

假设对，我们有：

，则：

现在我们采用柯西定则证明一致收敛。

令，

上式说明，只要足够小使得，对任意给定，总存在（足够大），使得对任意，总有，即一致收敛。

（4）证明是积分方程的解

设一致收敛于连续函数，对积分方程两端取极限得：

现在我们证明：

这是显然的因为，给定任意，总存在足够小，使得只要，就有：

这样我们就证明了函数序列的极限函数满足积分方程。

（5）证明积分方程解的唯一性

假设和都是积分方程的解，令，且最大值在处，即：

。

注意：

因为，上式只有在时才成立。

这就证明：

，即积分方程的解是唯一。

证毕■■

上述定理的证明由毕卡（Picard）完成，定理中的函数序列又称毕卡序列。

下面我们从抽象空间的高度，运用巴拿赫不动点定理证明常微分方程解的存在唯一性。

定理[Arnold,1973]（解的局部存在唯一性）－令为一闭集，假设存在，使得连续函数满足：

，

则存在闭集，，使得下面常微分方程初值问题在上存在唯一解：

，。

证明：

首先如前述初值问题等价于积分方程的解的存在性和唯一性。

定义映射：

令。

现在假设，为一闭集，需要证明。

这是显然的，因为：

上式中只要足够小，就有。

实际上，也是压缩映射，注意

令，上式可以写作：

只要足够小，就有，即是压缩映射。

由压缩映射原理，在闭集上存在唯一不动点，即：

。

也就是说，积分方程的解存在和唯一。

证毕■■

由于压缩映射原理的高度概括性，采用压缩映射原理后，定理的证明大大简化。

解的局部存在唯一性定理断言，在区间上初值问题存在唯一解。

这个结论具有局部性质。

事实上，在点处重复使用这个定理，就可能将解的存在区间延拓。

但延拓有时是有极限的。

例子[Khalil1996]－考虑单变量系统，解的存在性。

函数在任意紧致集合满足普希茨条件，所以解是局部存在唯一的。

解曲线在区间上存在。

当，，解曲线在处逃逸。

解的延拓不能超过有限逃逸时间。

∆∆

定理（解的全局存在唯一性）[Sastry1999;Khalil1996]－假设存在和，对，，使得连续函数满足：

则常微分方程初值问题在区间上，对所有，存在唯一解：

，。

∆∆

证明－注意根据前述解的局部存在唯一性定理知道，在区间上初值问题，的解是存在和唯一的。

令在区间上这个解为，考虑如下初值问题：

，

上述初值问题同样满足解的局部存在唯一定理的条件，因此问题的解存在且唯一，其存在区间为。

这样我们就证明了在上解存在且唯一。

重复这个过程，定理得证。

∆∆

例子[Khalil1996]－假设，，则线性时变系统

的解全局存在且唯一。

∆∆

2．3解对初值的连续性

定理（解对初值的连续性）[Sastry1996]－假设初值问题，满足解的存在唯一条件。

设为两个不同的初值，相应解曲线为，则对任意给定，存在，使得：

∆∆

证