三角形相似初中数学组卷.docx

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三角形相似初中数学组卷

中考数学三角形相似

一．选择题（共5小题）

1．如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=2，则MF的长是（　　）

A．B．C．1D．

2．如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线．若∠ABE=∠C，AE：

ED=2：

1，则△BDE与△ABC的面积比为何？

（　　）

A．1：

6B．1：

9C．2：

13D．2：

15

4．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N．下列结论：

①AB2=BN•DM；②AF平分∠DFE；③AM•AE=AN•AF；④．其中正确的结论是（　　）

A．①②B．①③C．①②③D．①②③④

5．如图，在△ABC中，CD⊥AB，且CD2=AD•DB，AE平分∠CAB交CD于F，∠EAB=∠B，CN=BE．①CF=BN；②∠ACB=90°；③FN∥AB；④AD2=DF•DC．则下列结论正确的是（　　）

A．①②④B．②③④C．①②③④D．①③

二．填空题（共2小题）

6．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，=，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于　　．

7．如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH，④AD2=OD•DH中，正确的是　　．

三．解答题（共6小题）

8．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接MF，NF．

（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；

（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．

9．如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H．

（1）证明：

DG2=FG•BG；

（2）若AB=5，BC=6，则线段GH的长度．

10．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．

（1）求证：

△ADF∽△ACG；

（2）若，求的值．

11．已知点E在△ABC内，∠ABC=∠EBD=α，∠ACB=∠EDB=60°，∠AEB=150°，∠BEC=90°．

（1）当α=60°时（如图1），

①判断△ABC的形状，并说明理由；

②求证：

BD=AE；

（2）当α=90°时（如图2），求的值．

12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．

（1）求证：

AP=AO；

（2）求证：

PE⊥AO；

（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度．

13．如图，已知ED∥BC，∠EAB=∠BCF，

（1）四边形ABCD为平行四边形；

（2）求证：

OB2=OE•OF；

（3）连接OD，若∠OBC=∠ODC，求证：

四边形ABCD为菱形．

三角形相似初中数学组卷　

一．选择题（共5小题）

1．（2014•铜仁地区）如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=2，则MF的长是（　　）

A．B．C．1D．

【分析】设MD=a，MF=x，利用△ADM∽△DFM，得到∴，利用△DMF∽△DCE，∴．得到a与x的关系式，化简可得x的值，得到D选项答案．

【解答】解：

∵AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，∠B=90°，

∴AB=AM，BE=EM=3，

又∵AE=2，

∴，

设MD=a，MF=x，在△ADM和△DFM中，，

∴△ADM∽△DFM，，

∴DM2=AM•MF，

∴，

在△DMF和△DCE中，，

∴△DMF∽△DCE，

∴．

∴，

∴，

解之得：

，

故答案选：

D．

【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形相似的判定方法，解题的关键在于利用三角形相似构造方程求得对应边的长度．

2．（2014•台湾）如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线．若∠ABE=∠C，AE：

ED=2：

1，则△BDE与△ABC的面积比为何？

（　　）

A．1：

6B．1：

9C．2：

13D．2：

15

【分析】根据已知条件先求得S△ABE：

S△BED=2：

1，再根据三角形相似求得S△ACD=S△ABE=S△BED，根据S△ABC=S△ABE+S△ACD+S△BED即可求得．

【解答】解：

∵AE：

ED=2：

1，

∴AE：

AD=2：

3，

∵∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAD，

∴△ABE∽△ACD，

∴S△ABE：

S△ACD=4：

9，

∴S△ACD=S△ABE，

∵AE：

ED=2：

1，

∴S△ABE：

S△BED=2：

1，

∴S△ABE=2S△BED，

∴S△ACD=S△ABE=S△BED，

∵S△ABC=S△ABE+S△ACD+S△BED=2S△BED+S△BED+S△BED=S△BED，

∴S△BDE：

S△ABC=2：

15，

故选D．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法等，等量代换是本题的关键．

3．（2013•孝南区校级模拟）如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：

①∠CEH=45°；②GF∥DE；

③2OH+DH=BD；④BG=DG；⑤．

其中正确的结论是（　　）

A．①②③B．①②④C．①②⑤D．②④⑤

【分析】①利用正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和与外角求得判定即可；

②由三角形的全等判定与性质，以及三角形的内角和求出判定即可；

③直接由图形判定即可；

④由特殊角的直角三角形的边角关系判定即可；

⑤两个三角形的底相同，由高的比进行判定即可．

【解答】解：

①由∠ABC=90°，△BEC为等边三角形，△ABE为等腰三角形，∠AEB+∠BEC+∠CEH=180°，可求得∠CEH=45°，此结论正确；

②由△EGD≌△DFE，EF=GD，再由△HDE为等腰三角形，∠DEH=30°，得出△HGF为等腰三角形，∠HFG=30°，可求得GF∥DE，此结论正确；

③由图可知2（OH+HD）=2OD=BD，所以2OH+DH=BD此结论不正确；

④如图，过点G作GM⊥CD垂足为M，GN⊥BC垂足为N，设GM=x，则GN=x，进一步利用勾股定理求得GD=x，BG=x，得出BG=GD，此结论不正确；

⑤由图可知△BCE和△BCG同底不等高，它们的面积比即是两个三角形的高之比，由④可知△BCE的高为（x+x）和△BCG的高为x，因此S△BCE：

S△BCG=（x+x）：

x=，此结论正确；

故正确的结论有①②⑤．

故选C．

【点评】此题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积，特殊角的三角函数等知识点，学生需要有比较强的综合知识．

4．（2012•武汉模拟）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N．下列结论：

①AB2=BN•DM；②AF平分∠DFE；③AM•AE=AN•AF；④．其中正确的结论是（　　）

A．①②B．①③C．①②③D．①②③④

【分析】①转证AB：

BN=DM：

AB，因为AB=AD，所以即证AB：

BN=DM：

AD．证明△ABN∽△ADM（根据两角相等）；

②把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得△ADH．证明△AFH≌△AFE（SAS）；

③即证AM：

AN=AF：

AE．证明△AMN∽△AFE（两角相等）；

④由②得BE+DF=EF．运用特值法验证．当E点与B点重合、F与C重合时，根据正方形的性质，结论成立．

【解答】解：

①∵∠BAN=∠BAM+∠MAN=∠BAM+45°，

∠AMD=∠ABM+∠BAM=45°+∠BAM，

∴∠BAN=∠AMD．

又∠ABN=∠ADM=45°，

∴△ABN∽△ADM，

∴AB：

BN=DM：

AD．

∵AD=AB，

∴AB2=BN•DM．

故①正确；

②

把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH．

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°．

∴∠EAF=∠HAF．

∵AE=AH，AF=AF，

∴△AEF≌△AHF，

∴∠AFH=∠AFE，即AF平分∠DFE．

故②正确；

③∵AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN．

∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，

∴∠AFE=∠AMN．

又∠MAN=∠FAE，

∴△AMN∽△AFE．

∴AM：

AF=AN：

AE，即

AM•AE=AN•AF．

故③正确；

④由②得BE+DF=DH+DF=FH=FE．

过A作AO⊥BD，作AG⊥EF．

则△AFE与△AMN的相似比就是AG：

AO．

易证△ADF≌△AGF（AAS），

则可知AG=AD=AO，从而得证

故④正确．

故选D．

【点评】此题考查了正方形的性质、相似（包括全等）三角形的判定和性质、旋转的性质等知识点，综合性极强，难度较大．

5．（2014•武汉模拟）如图，在△ABC中，CD⊥AB，且CD2=AD•DB，AE平分∠CAB交CD于F，∠EAB=∠B，CN=BE．①CF=BN；②∠ACB=90°；③FN∥AB；④AD2=DF•DC．则下列结论正确的是（　　）

A．①②④B．②③④C．①②③④D．①③

【分析】根据已知条件可证△ADC∽△CDB，得出∠ACB=90°．根据等量关系及等腰三角形的性质得到CF=BN．根据同位角相等，证明FN∥AB．证明△ADF∽△CDA，根据相似三角形的性质得出AD2=DF•DC．

【解答】解：

①∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，

∵CD2=AD•DB，∴，

∴△ADC∽△CDB，

∴∠ACD=∠B，

∴∠ACB=90°，故本选项正确；

②∵AE平分∠CAB

∴∠CAE=∠DAF，

∴△CAE∽△DAF，

∴∠AFD=∠AEC，

∴∠CFE=∠AEC，

∴CF=CE，

∵CN=BE，∴CE=BN，

∴CF=BN，故本选项正确；

③∵∠EAB=∠B，

∴EA=EB，

∵FA=FC=BN，∠FEN=∠AEB，

∴△EFN∽△EAB，

∴∠EFN=∠EAB，

∴FN∥AB，故本选项正确；

④易证△ADF∽△CDA，

∴AD2=DF•DC，故本选项正确；

故选C．

【点评】本题综合考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，等腰三角形的性质等知识点．

二．填空题（共2小题）

6．（2015•南通）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，=，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于　　．

【分析】首先根据=设AD=BC=a，则AB=CD=2a，然后利用勾股定理得到AC=a，然后根据射影定理得到BC2=CE•CA，AB2=AE•AC从而求得CE=，AE=，得到=，利用△CEF∽△AEB，求得=（）2=．

【解答】解：

∵=，

∴设AD=BC=a，则AB=CD=2a，

∴AC=a，

∵BF⊥A