金融数学引论北大版第4章答案文档格式.docx
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把（1+i）4=2代入整理得：
L=5000・1−（1+i）−8
1−（1+i）−12
=17142.86元
720000元抵押贷款将在20年内每年分期偿还，在第5次还款后，因资金短缺，
随后的两年内未进行正常还贷。
若借款人从第8年底重新开始还贷，并在20
年内还清。
计算调整后的每次还款额。
设正常每次还款为R，调整后每次还款X，以当前时间和第5年底为比较
日，有
20000=Ra2￢0p
Xa1￢3p・v2=Ra1￢5p
X=20000・a15p￢
a2￢0p
・（1+i）2
a1￢3p
8某贷款L原计划在25年内分年度等额还清。
但实际上从第6次到第10次的
还款中每次多付K元，结果提前5年还清贷款。
试证明：
K=
a2￢0p−a1￢5p
a2￢5pa￢5pL
证：
以第20年年底为比较日，设每次还款为R，有
L=Ra2￢5p
Ks￢5p（1+i）10=Ra￢5p
整理即得。
9设Bt表示未结贷款余额，证明：
（1）（Bt−Bt+1）（Bt+2−Bt+3）=（Bt+1−Bt+2）2;
（2）Bt+Bt+3<
Bt+1+Bt+2
（1）
（Bt−Bt+1）（Bt+2−Bt+3）=（
R+Bt+1
1+i
−Bt+1）・（Bt+2−（（1+i）Bt+2−R））
=
R−iBt+1
・（R−iBt+2）
=（R−iBt+1）・R−i（（1+i）Bt+1−R）
=（R−iBt+1）2
=（Bt+1−Bt+2）2
（2）
Bt−Bt+1=R−iBt
<
R−iBt+2
=Bt+2−Bt+3
）Bt+Bt+3<
默认每次还款额是相同的！
10某贷款按季度分期偿还。
每次1000元，还期5年，季换算名利率12%。
计算
第6次还款中的本金量。
P6=B5−B6
=1000a20−5p3%￢−1000a20−6p3%￢
=1000×
1.03−15
=641.86元
11n年期贷款，每年还款1元。
试导出支付利息的总现值（去掉：
之和）。
设第t年支付的利息为It，有
It=iBn+1−t
=ian+1−￢tp
=1−vn+1−t
支付利息的总现值为：
I=
Σn
t=1
Itvt
（1−vn+1−t）vt
=a￢np−nvn+1
12设10000元贷款20年还清，年利率10%，证明第11次中的利息为
1000
1+v10
元。
此处有改动10000改成1000
设每期还款额为R，由上题的结论有
I11=R（1−v10）
a2￢0p（1−v10）
=10000・i
13设有20次分期还贷，年利率9%。
问：
第几次还款中的本金量与利息量差额
最小。
不妨设每次还款额为1。
Pt−It=vnt+1−（1−vn−t+1）
=2vn−t+1−1
由
2vn−t+1−1=0⇒t≈12.96
验证t=12,13的情形易得第13次本金量与利息量差额最小。
14现有5年期贷款，分季度偿还。
已知第3次还款中的本金为100元，季换算
的名利率10%。
计算最后5次还款中的本金量之和。
以一季度为时间单位，设每次还款额为R，由题意得
Rv20−3+1=100
⇒R=
100
v18
于是最后5次本金总额为
R（v1+・・・+v5）=724.59元
15现准备用20年时间分期偿还一笔贷款，且已知前10年的年利率为i，后10
年的年利率为j。
计算：
（1）第5次偿还中的利息量；
（2）第15次偿还中的本
金量。
设初始贷款量为1，每年还款额为R，有：
1=Ra10pi￢+Ra10pj￢（1+i）−10
）R=
1
a10pi￢+（1+i）−10a10pj￢
（1）I5=iB4
=iR（a6pi￢+（1+i）−6a10pj￢）
（2）P15=B14−B15
=Ra6pj￢−Ra5pj￢
=R（1+j）−6
16原始本金为A的抵押贷款计划在尽可能长的时间内每年偿还K，且最后一
次将不足部分一次还清。
（1）第t次偿还的本金量；
（2）摊还表中的本
金部分是否为等比数列？
设总还款次数为n，最后一次还款中不足部分设为B。
（1）利用追溯法可得
Bt=
A（1+i）t−Ks￢tp,t<
n
0,t=n
故
Pt=
（K−iA）（1+i）t−1,t<
（k−iA）（1+i）n−1+B,t=n
（2）显然前n−1次本金呈等比数列，最后一次与前面没有等比关系。
17现有20年的抵押贷款分年度偿还，每次1元。
如果在第7次正常还款的同时，
额外偿还原摊还表中第8次的本金，而且今后的还款仍然正常进行。
（正常
的意思是依然按照摊还表进行，改变期限，每次还款的金额不变）。
证明：
还
贷期间节约的利息为1−v13。
在第7次额外多还以后，第n次还款刚好对应原摊还表中第n+1次的还
款。
所以节约的利息为原摊还表中第8次还款中的的利息量，为1−v13。
18总量为L的贷款分10年偿还，已知v5=
2
3
。
（1）前5次偿还中的本金之和；
（2）如果最后5次还款因故取消，计算第10年底的未结贷款余额。
（1）由题意得前5次偿还本金之和为
R（v10+・・・+v6）=Rv61−v5
1−v
L
a1￢0p
v
v5（1−v5）
1−v10v5（1−v5）
=0.4L
（2）利用追溯法
B10=L（1+i）10−Rs￢5p（1+i）5
=Lv−10−L
v−10−v−5
1−v10
=0.9L
19现有35年贷款按年度偿还。
已知第8次还款中的利息为135元，第22次还
款中的利息为108元，计算第29次还款中的利息量。
由
I8=R（1−v28）
I22=R（1−v14）
⇒
R=144
v7=
于是
I29=R（1−v7）
=144×
1
=72元
20某贷款分n次等额偿还，实利率为i，已知第K次还款前的未结贷款余额首
次低于原始贷款额的一半。
计算K。
由题意得
L=Ra￢np
Bk−2=Ran−k+￢2p>
L
Bk−1=Ran−k+￢1p<
2vn−k+2−vn61
2vn−k+1−vn>
K=[n+1−ln（vn+1）−ln2
lnv
]+1
其中[x]表示取整函数。
21设有年利率2.5%的15000元贷款，每年偿还1000元。
计算第几次还款中本
金部分最接近利息部分的4倍
设第k次还款本金部分最接近利息部分的4倍。
利用追溯法
Bk−1=L（1+i）k−1−Rsk−￢1p
⇒Ik=iBk−1=iL（1+i）k−1−R[（1+i）k−1−1]
Pk=R−Ik=R（1+i）k−1−iL（1+i）k−1
再由Pk=4Ik得k≈11。
22某贷款在每年的2月1日等额还贷。
已知1989年2月1日的还款中利息为
103.00元，1990年2月1日的还款中利息为98.00元，年利率8%。
（1）
1990年还款中的本金部份；
（2）最后一次不足额还款的日期和金额。
（1）设In,Pn为别为n年的利息部分和本金部分，
I1990=I1989−iP1989
⇒P1989=62.5
又I1989+P1989=I1990+P1990
⇒P1990=67.5
（2）利用递推公式容易求得2000年2月1日还款后未结贷款余额为
101.43元，已经小于165.5元。
同时易得B1989=1225。
设最后一次还
款在2000年2月1日后经过时间t收回。
于是t满足
1225=165.5
1−v11+t
i
⇒t=0.653
故最后一次还款时间为2000年9月24日，金额为165.5×
1.08t−1
0.08=106.67
建议把最后不足部分的偿还方法说清楚，我们用的是：
不足部分在下一
年的等价时间偿还的方法。
与原答案有出入
23某贷款通过2n次偿还。
在第n次偿还后，借款人发现其负债为原始贷款额
的3/4，计算下一次还款中利息部份的比例。
由题意得
4
L=Ranpi￢
L=Ra2npi￢
⇒vn=
而In+1=R（1−vn），故利息部分所占的比例是
24某银行提供月利率1%的抵押贷款，如果借款人提前将贷款余额一次付清，
只需对当时余额多付出K%。
如果某人在第5年底找到另一家银行提供月利
率0.75%的10年贷款，对这个借款人来说K的最大可接受值为多少？
K最大可接受，即这个借款人在两家银行每月的还款额相同。
a120p0.75%￢=（1+K%）a120p1%￢
⇒K=13.258%
25现有10000元贷款利率10%。
已知借款人以8%累积偿债基金，第10年底
的偿债基金余额为5000元，第11年的还款金额为1500元。
（1）1500元中的利息量；
（2）1500元中的偿债基金存款；
（3）1500元中偿还当年利息的部分；
（4）1500元中的本金量；
（5）第11年底的偿债基金余额。
（1）I11=10000×
10%=1000元；
（2）偿债基金存款额为1500−1000=500元；
（3）也即是计算净利息:
1000−5000×
8%=600元；
（4）本金量1500−600=900元；
（5）11年底的偿债基金余额5000×
（1+8%）+500=5900元。
26证明：
anpi&
j￢=
snpj￢
1+isnpj￢
利用
L=Ranpi&
j￢
L=（R−iL）snpj￢
消去R可得
（
−iL）snpj￢=L
再适当变形便可得结论。
27现有利率为9%的10000元贷款，每年底还利息，同时允许借款人每年初以
利率7%向偿债基金存款K。
如果在第10年底偿债基金的余额恰足以偿还
贷款。
K¨
s10p7%￢=104
⇒K=676.43
28现有10年期贷款年利率5%，每年底还贷1000元。
贷款的一半按摊还方式
进行，另一半按额外提供4%年利率的偿债基金方式还款。
计算贷款额。
设贷款额为X，有
X/2=R1a10p5%￢
X/2=R2anp5%&
4%￢
1000=R1+R2
整理得到
X
a10p5%￢+
anp5%&
4%￢）=1000
X=7610.48元
29为期10年的12000元贷款，每半年还款1000元。
已知前5年以i
（2）=12%
计息，后5年以i
（2）=10%计息。
每次还款除利息外存入利率i
（2）=8%的偿
债基金。
计算第10年底偿债基金与贷款之间的差额。
前5年每半年放入偿债基金
1000−12000×
6%=280
后5年每半年放入偿债基金
5%=400
故第10年底偿债基金余额为
280s10p4%￢×
（1+4%）10+400s10p4%￢=9778.6
于是差额为2221.4元。
30为期10年的3000元贷款，以i
（2）=8%计息。
如果借款人将贷款的1/3通过
存入利率i
（2）=5%的偿债基金偿还，剩余的2/3通过存入利率i
（2）=7%的
偿债基金偿还。
计算每年的还款总额。
设对于1/3部分贷款每年还款为R1，剩余部分贷款每年还款为R2。
有
（R1−1000×
4%）s20p2.5%￢=1000
（R1−2000×
4%）s20p3.5%￢=2000
分别解得R1=79.15,R2=150.72。
故每年的总还款额为
R1+R2=229.87元
31为期31年的400000元贷款,每年底还款36000元，若以年利率3%建立偿债
基金。
计算原贷款利率。
设原贷款利率就是i。
（36000−400000i）s31p3%￢=400000
解得i≈7%。
32某20年期末年金，以前10年利率8%后10年利率7%计算的现值为10000
某投资者以年利率9%买得该年金，并允许以累积偿债基金的方式收回
这笔资金，偿债基金前10年利率为6%，后10年利率为5%。
计算偿债基金
的存款额。
设期末年金每年的金额是R，偿债基金存款额为X，未结贷款余额为P，
10000=Ra10p8%￢+Ra10p7%￢（1+8%）−10
R=X+P×
9%
P=Xs1￢0p6%（1+5%）10+Xs5%￢p
解得：
X=246.95元
有待讨论！
我们认为年利率9%就是利率i
33某n年期利率为i的贷款，以利率j建立偿债基金。
试给出以下各问的表达
式（16t6n）：
（1）贷方每年得到的利息；
（2）偿债基金每年的存款额；
（3）第t年偿债基金所得利息；
（4）偿债基金在第t年底的余额；
（5）第t年底的未结贷款余额；
（6）第t年支付的净利息；
（7）第t年支付的本金。
设贷款额为L。
（1）贷方每年得到的利息为iL；
（2）由偿债基金的定义知，偿债基金每年的存款额为
（3）偿债基金在t−1年末的余额是
snpj￢st−￢1p，故在第t年所得利息为
jL
（1+j）t−1−1
（1+j）n−1
（4）偿债基金在第t年底的余额是
snpj￢stpj￢=L
（1+j）t−1
（5）第t年底的未结贷款余额为
L−L
=L
（1+j）n−（1+j）t
（6）第t年支付的净利息为
iL−jL
（7）第t年支付的本金量是第t年偿债基金所得利息与第t年存入偿债基金
金额之和，即为
+
snpj￢=
j（1+j）t−1L
34为期10年的100000元贷款，贷款利率12%，同时以年利率8%建立偿债基
金。
已知前5年还款为K；
后5年还款为2K。
计算K。
每年的利息为
100000×
12%=12000
100000=（K−12000）s5p8%￢（1+8%）5+（2K−12000）s5p8%￢
解得K=13454.36元。
35某10000元贷款以利率i（12）=15%按月偿还利息，同时以利率i（12）=9%每
月存款100元累积偿债基金。
一旦偿债基金的余额达到10000元，则结束还
贷。
计算借款人总的还款额。
每月还利息为10000×
i（12）
12
=125元，于是每月总支出为
100+125=225
再由
100snp7.5%￢>
10000⇒n=75
但需要注意100snp7.5%￢−10,000=18.33，故最后一个月放入偿债基金的应
是100−18.33元。
所以总共还款额为
75×
225−18.33=16856.67元
36为期25年的100000元贷款，贷款利率12%。
如果贷款人从每年的还款中
以年利率i提取利息，同时将剩余部份以利率j累积偿债基金。
分别对
j=8%,12%和16%三种情况计算i。
j=12%相当于按照摊还方式对应的利率。
设每次还款额为R，于是
R=
a25p0.12￢
再根据偿债基金的定义有
（R−iL）s25pj￢=L
解得
i=
a25p12%￢
−1
s25pj￢
代入数据便有
（1）j=8%时，i=11.38%；
（2）j=12%时，i=12%；
（3）j=16%时，i=12.35%。
37现有10年期贷款按月偿还，其中月换算名利率i（12）=12%，首次为600元，
然后每次增加5元。
（1）计算原始贷款金额；
（2）证明：
Pt=P1（1+0.01）t−1+5st−1p1%￢。
L=595s120p1%￢+5Ia120p1%￢=58490.89元；
这个题证明方法不唯一，比如利用递推关系，找规律再用归纳法证明。
下面
给出的证明方法是作者认为最简单的。
如果每次还款额是一样的，那么{Pt}呈等比数列，且Pt=P1（1+i）t−1。
于
是我们只需要将两种还款方式进行比较即可。
下面用B1
t表示等额还款时
第t次的未结贷款余额，B2
t表示按题中方式进行还款时第t次的未结贷款
余额。
B1
t=L（1+i）t−600stpi￢
B2
t=L（1+i）t−600stpi￢−5Ist−1pi￢
P2
t
−P1
t=（B2
t−1
−B2
t）−（B1
−B1
t）
=（B2
t−1）+（B1
=5（Ist−1pi￢−Ist−2pi￢）
=5st−1pi￢（直接带公式化简）
Pt=P1（1+0.01）t−1+5st−1p1%￢
38某帐户现有1000元存款，每月实利率1%，且月月结算。
如果每次恰好在利
息结算的下一个瞬间取出100元。
最多可以提取几次？
同时给出该帐户
每月余额和利息的列表。
设第t个月帐户余额为Bt，于是
Bt=1000（1+i）t−100stpi￢
容易算得t=10时，帐户余额首次低于100元，故最多能够提取10次。
每
月结余和利息列表如下：
月份利息帐户余额
00.001000.00
110.00910.00
29.10819.10
38.19727.29
47.27634.56
56.35540.91
65.41446.32
74.46350.78
83.51254.29
92.54156.83
101.5758.40
39已知某贷款每半年偿还K元，且三次连续还贷后的贷款余额为：
5190.72，
5084.68和4973.66。
利用追溯法可得
5190.72（1+i）−K=5084.68
5084.68（1+i）−K=4973.66
由此可解得K=349.81元。
40利率为i的贷款L，每次偿还K，直至最后的不足额（不足金额K）还款。
证
明：
K
−（
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