两组不同的实数解
相内切
d＝|r1－r2|（r1≠r2）
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|（r1≠r2）
无解
[探究] 2.若两圆相交时，公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系？
提示：
两圆的方程作差，消去二次项得到关于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程．
[自测·牛刀小试]
1．直线l：
mx－y＋1－m＝0与圆C：
x2＋（y－1）2＝5的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离D．不确定
解析：
选A 法一：
圆心（0,1）到直线的距离
d＝<1<.
法二：
直线mx－y＋1－m＝0过定点（1,1），又因为点（1,1）在圆x2＋（y－1）2＝5的内部，所以直线l与圆C是相交的．
2．（2012·山东高考）圆（x＋2）2＋y2＝4与圆（x－2）2＋（y－1）2＝9的位置关系为（ ）
A．内切B．相交
C．外切D．相离
解析：
选B 两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1，之和为5，而1<<5，所以两圆相交．
3．已知p：
“a＝”，q：
“直线x＋y＝0与圆x2＋（y－a）2＝1相切”，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选A a＝，则直线x＋y＝0与圆x2＋（y－a）2＝1相切，反之，则有a＝±.因此p是q的充分不必要条件．
4．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是（ ）
A．x－2y＋1＝0B．2x－y－1＝0
C．x－y＋3＝0D．x－y－3＝0
解析：
选D 法一：
圆心O（0,0），C（3，－3）的中点P在直线l上，故可排除A、B、C.
法二：
两圆方程相减得，6x－6y－18＝0，即x－y－3＝0.
5．（2012·重庆高考）设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝（ ）
A．1B.
C.D．2
解析：
选D 因为直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心
（0,0），所以所得弦长|AB|＝2.
直线与圆、圆与圆的位置关系
[例1]
（1）（2012·安徽高考）若直线x－y＋1＝0与圆（x－a）2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1]D．（－∞，－3]∪[1，＋∞）
（2）（2012·江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
[自主解答]
（1）因为直线x－y＋1＝0与圆（x－a）2＋y2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d＝≤r＝，可得|a＋1|≤2，即a∈[－3,1]．
（2）圆C方程可化为（x－4）2＋y2＝1，圆心坐标为（4,0），半径为1，由题意，直线y＝kx－2上至少存在一点（x0，kx0－2），以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，因为两个圆有公共点，故≤2，整理得（k2＋1）x2－（8＋4k）x＋16≤0，此不等式有解的条件是Δ＝（8＋4k）2－64（k2＋1）≥0，解之得0≤k≤，故最大值为.
[答案]
（1）C
（2）
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判断直线与圆、圆与圆的位置关系的常用方法
（1）判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．
（2）判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解．
1．直线l：
y－1＝k（x－1）和圆x2＋y2－2y－3＝0的位置关系是________．
解析：
将x2＋y2－2y－3＝0化为x2＋（y－1）2＝4.
由于直线l过定点（1,1），且由于12＋（1－1）2＝1<4，即直线过圆内一点，从而直线l与圆相交．
答案：
相交
2．设圆C与圆x2＋（y－3）2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为（ ）
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆D．圆
解析：
选A 设圆心C（x，y），则题意得＝y＋1（y>0），化简得x2＝8y－8.
有关圆的弦长问题
[例2]
（1）（2012·北京高考）直线y＝x被圆x2＋（y－2）2＝4截得的弦长为________．
（2）（2013·济南模拟）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：
y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．
[自主解答]
（1）法一：
几何法：
圆心到直线的距离为d＝＝，圆的半径r＝2，所以弦长为l＝2×＝2＝2.
法二：
代数法：
联立直线和圆的方程
消去y可得x2－2x＝0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为（2,2），（0,0），弦长为＝2.
（2）由题意，设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，设圆心坐标为（a,0），则由题意知2＋2＝（a－1）2，解得a＝3或a＝－1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a＝3，故圆心坐标为（3,0）．因为圆心（3,0）在所求的直线上，所以有3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求的直线方程为x＋y－3＝0.
[答案]
（1）2
（2）x＋y－3＝0
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求圆的弦长的常用方法
（1）几何法：
设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2＝r2－d2；
（2）代数方法：
运用韦达定理及弦长公式：
|AB|＝·|x1－x2|＝.
3．若直线x－y＝2被圆（x－a）2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为（ ）
A．－1或 B．1或3
C．－2或6D．0或4
解析：
选D 圆心（a,0）到直线x－y＝2的距离d＝，则（）2＋2＝22，
所以a＝0或a＝4.
4．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．
解析：
设所求圆的半径是R，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是（1,0），则圆C的圆心坐标是（0,1），圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，则R2＝d2＋2，因此圆C的方程是x2＋（y－1）2＝10.
答案：
x2＋（y－1）2＝10
圆的切线问题
[例3] 已知圆C：
x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．
[自主解答]
（1）将圆C配方得（x＋1）2＋（y－2）2＝2.
由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，
设直线方程为x＋y－a＝0，
由＝，得|a－1|＝2，即a＝－1或a＝3.
故直线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
（2）由于|PC|2＝|PM|2＋|CM|2＝|PM|2＋r2，
∴|PM|2＝|PC|2－r2.
又∵|PM|＝|PO|，∴|PC|2－r2＝|PO|2，
∴（x＋1）2＋（y－2）2－2＝x2＋y2.
∴2x－4y＋3＝0即为所求的方程．
若将本例
（1）中“不过原点”的条件去掉，求直线l的方程．
解：
将圆C配方得（x＋1）2＋（y－2）2＝2.
当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得y＝（2±）x；
当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
综上可知，直线l的方程为（2＋）x－y＝0或
（2－）x－y＝0或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
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求过一点的圆的切线方程的方法
（1）若该点在圆上，由切点和圆心连线的斜率可确定切线的斜率，进而写出切线方程；若切线的斜率不存在，则可直接写出切线方程x＝x0.
（2）若该点在圆外，则过该点的切线将有两条．若用设斜率的方法求解时只求出一条，则还有一条过该点且斜率不存在的切线．
5．已知点M（3,1），直线ax－y＋4＝0及圆（x－1）2＋（y－2）2＝4.
（1）求过M点的圆的切线方程；
（2）若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．
解：
（1）圆心C（1,2），半径为r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.
由圆心C（1,2）到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．
当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k（x－3），
即kx－y＋1－3k＝0.
由题意知＝2，
解得k＝.
故方程为y－1＝（x－3），
即3x－4y－5＝0.
故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
（2）由题意有＝2，解得a＝0或a＝.
2种方法——解决直线与圆位置关系的两种方法
直线和圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合．
（1）从思路来看，代数法侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．
（2）从适用类型来看，代数法可以求出具体的交点坐标，而几何法更适合定性比较和较为简单的运算．
3个注意点——直线与圆相切、相交的三个注意点
（1）涉及圆的切线时，要考虑过切点的半径与切线垂直；
（2）当直线与圆相交时，半弦、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用，解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用；
（3）判断直线与圆相切，特别是过圆外一点求圆的切线时，应有两条．在解题中，若只求得一条，则说明另一条的斜率不存在，这一点经常忽视，应注意检验、防止出错.
创新交汇——直线与圆的综合应用问题
1．直线与圆的综合应用问题是高考中一类重要问题，常常以解答题
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