八年级数学竞赛例题专题讲解7分式的化简与求值附答案.docx
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八年级数学竞赛例题专题讲解7分式的化简与求值附答案
专题07分式的化简与求值
阅读与思考
给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．
解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:
1．恰当引入参数；
2．取倒数或利用倒数关系；
3．拆项变形或拆分变形；
4．整体代入；
5．利用比例性质等．
例题与求解
【例l】已知，则代数式的值为．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：
目前不能求出的值，但可以求出，需要对所求代数式变形含“”．
【例2】已知一列数且，，
，则为（）
A．648B．832C．1168D．1944
（五城市联赛试题）
解题思路：
引入参数，把用的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路．
【例3】．
求．
（宣州竞赛试题）
解题思路：
观察发现，所求代数式是关于的代数式，而条件可以拆成的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程．
【例4】已知求的值．
（上海市竞赛试题）
解题思路：
注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式．
【例5】不等于0的三个正整数满足，求证：
中至少有两个互为相反数．
解题思路：
中至少有两个互为相反数，即要证明．
（北京市竞赛试题）
【例6】已知为正整数，满足如下两个条件：
①
②．求证：
以为三边长可以构成一个直角三角形．
解题思路：
本题熟记勾股定理的公式即可解答．
（全国初中数学联赛试题）
能力训练
1．若，则的值是．
（“希望杯”邀请赛试题）
2．已知，则．
（广东竞赛试题）
3．若且，则
的值为．
（“缙云杯”竞赛试题）
4．已知，则．
5．如果，那么（）．
A．1B．2C．D．
（“新世纪杯”竞赛试题）
6．设有理数都不为0，且，则的
值为（）．
A．正数B．负数C．零D．不能确定
7．已知，则的值为（）．
A．0B．1C．2D．不能确定
8．已知，则的值为（）
A．1B．C．D．
9．设，求的值．
10．已知其中互不相等，求证．
（天津市竞赛试题）
11．设满足，
求证．（为自然数）
（波兰竞赛试题）
12．三角形三边长分别为．
（1）若，求证：
这个三角形是等腰三角形；
（2）若，判断这个三角形的形状并证明．
13．已知，求的值．
（“华杯赛”试题）
14．解下列方程（组）：
（1）；
（江苏省竞赛试题）
（2）；
（“五羊杯”竞赛试题）
（3）．
（北京市竞赛试题）
B级
1．设满足，，若，
，则．
2．若，且，则．
3．设均为非零数，且，则．
4．已知满足，则的值为．
5．设是三个互不相同的正数，已知，那么有（）．
A．B．C．D．
6．如果，，那么的值为（）．
A．3B．8C．16D．20
7．已知，则代数式的值为（）．
A．1996B．1997C．1998D．19999
8．若，则的值为（）．
A．B．C．5D．6
（全国初中数学联赛试题）
9．已知非零实数满足．
（1）求证：
；
（2）求的值．
（北京市竞赛试题）
10．已知，且．求的值．
（北京市竞赛试题）
11．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的倍，
求证：
．
（天津市竞赛试题）
12．设，当时，
求证：
．
（天津市竞赛试题）
13．某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．
（1）扶梯露在外面的部分有多少级？
（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）．求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？
（江苏省竞赛试题）
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