实验三 信号与系统数字信号部分1.docx
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实验三信号与系统数字信号部分1
实验三
1.信号的尺度变换、翻转和时移
信号的尺度变换、翻转和平移运算实际上是函数自变量的运算。
例1已知某三角波脉冲信号f（t），试绘制f（2t）、f（-2t）和f（2-2t）的波形。
t=-3:
0.001:
3;
ft=tripuls（t,4,0.5）;
subplot（2,2,1）;plot（t,ft）;title（'原始信号'）;
ft1=tripuls（2*t,4,0.5）;%尺度变换
subplot（2,2,2）;plot（t,ft1）;title（尺度变换'）;
ft2=tripuls（-2*t,4,0.5）;%翻转
subplot（2,2,3）;plot（t,ft2）;title（'翻转'）;
ft3=tripuls（2-2*t,4,0.5）;%时移
subplot（2,2,4）;plot（t,ft3）;title（'时移'）;
f（t）、f（2t）、f（-2t）和f（2-2t）的波形如图1所示。
图1信号的尺度变换、翻转和时移
2.信号的微分和积分
连续信号的微分可用diff函数来计算，连续信号的定积分可用quad函数或quad8函数来计算。
其调用格式为：
y=diff（x）/h
其中x为待微分的信号，h为步长，y为信号x的微分。
y=quad（‘function-name’,a,b）
其中function-name为被积函数名，a、b为积分区间的下限和上限，y为积分后信号。
quad和quad8都是积分函数，只是采用的积分方法不同而已。
quad采用较低次的可塑性递回辛普森积分法则，quad8采用可塑性递回八段Newton-Cotes积分法则，quad8不管是在精度上还是在速度上都明显高于quad。
例2如图2所示的三角波脉冲信号f（t），试利用MATLAB绘制和的波形。
为了使用quad函数来计算三角波脉冲信号f（t）的积分，将f（t）编写成MATLAB的函数文件，函数名为ft_tri.m。
此函数文件如下：
functionyt=ft_tri（t）
yt=tripuls（t,4,0.5）;
利用diff和quad函数，并调用ft_tri.m即可计算三角波脉冲信号f（t）的微分、积分。
程序如下：
h=0.001;t=-3:
h:
3;
y1=diff（ft_tri（t））/h;
subplot（1,2,1）;plot（t（1:
length（t）-1）,y1）;title（'信号的微分'）;
t=-3:
0.1:
3;
forx=1:
length（t）
y2（x）=quad（'ft_tri',-3,t（x））;
end
subplot（1,2,2）;plot（t,y2）;
title（'信号的积分'）;
程序运行结果如图2所示。
图2信号的微分和积分
3.信号的差分和迭分
离散序列的差分为：
，用diff函数实现，其调用格式为y=diff（f）。
离散序列的迭分是，与信号的相加运算不同，迭分运算把k1到k2之间的所有样本加起来，在MATLAB中用sum函数实现，其调用格式为y=sum（f（k1:
k2））。
例3计算指数信号的能量。
解：
离散信号的能量定义为
根据上式，计算能量的程序如下：
k=0:
10;
fk=（-1.6）.^k;
E=sum（abs（fk）.^2）
E=
1.9838e+004
4.系统的冲激动响应和阶跃响应
若系统的微分方程或传递函数为：
对于物理上可实现的系统，。
一般情况下，系数a0=1，若不为1则分子分母可以同时除以a0。
由微分方程和传递函数的关系可知，传递函数和微分方程中的系数ai和bi是严格对应的，因此，两种形式给出系统函数都可以用下面的方法解决。
y=ipulse（b,a），用于绘制向量a和b定义的LTI（线性时不变）系统的冲激响应。
y=step（b,a），用于绘制向量a和b定义的LTI（线性时不变）系统的阶跃响应。
其中，a和b表示由系统微分方程中的ai和bi组成的系数向量。
例4求系统的冲激响应和阶跃响应。
a=[746];
b=[11];
subplot（1,2,1）;impulse（b,a）;%冲激响应
title（'冲激响应'）;xlabel（'时间'）;ylabel（'幅值'）;
subplot（1,2,2）;step（b,a）;%阶跃响应
title（'阶跃响应'）;xlabel（'时间'）;ylabel（'幅值'）;
系统的冲激响应和阶跃响应如图3所示。
图3系统的冲激响应和阶跃响应
5.系统的零状态响应
LTI连续系统以常系数微分方程描述，系统的零状态响应可通过求解初始状态为零的微分方程得到。
MATLAB提供的零状态响应函数为lsim，其调用格式为：
y=lsim（sys,f,t）
其中，t是系统零状态响应的抽样点，f是输入信号，sys是LTI（线性时不变）系统的模型，可以是微分方程、差分方程或状态空间方程。
在求解微分方程时，LTI（线性时不变）系统的模型sys要借助函数tf来获得，其调用格式为：
sys=tf（b,a）
其中，a、b分别对应系统函数中输出和输入的系数向量。
例5已知系统。
求当输入信号为时，该系统的零状态响应。
sys=tf（[1],[1277]）;
t=1:
0.01:
5;
f=10*sin（2*pi*t）;
y=lsim（sys,f,t）;
plot（t,y）；
系统的零状态响应如图9-11所示。
图5零状态响应
6离散系统的零状态响应
离散系统可以用差分方程来描述：
其中，、分别表示离散系统的输入和输出，n表示差分方程的阶数。
已知差分方程的n个初始状态和输入，就可以利用迭代计算法来计算系统的输出。
在零初始状态下，MATLAB工具箱提供了一个filter函数来计算差分方程的零状态响应，其调用格式如下：
y=filter（b,a,f）
其中，b、a分别是差分方程输入和输出各阶差分的系数所组成的向量，f为输入序列，y为输出序列。
注意：
输出序列和输入序列的长度应当相等。
例6已知某LTI系统的输入输出关系为：
，输入信号为，其中，是随机信号。
试用MATLAB编程求解系统的零状态响应。
随机信号可以由rand函数产生，假设M=5。
则程序如下：
R=51;%信号长度
d=rand（1,R）-0.5;%产生[-0.50.5]的随机数
k=0:
R-1;
s=2*k.*（0.9.^k）;
f=s+d;
subplot（1,2,1）
stem（k,f）;
title（'输入信号f（k）'）;
axis（[05008]）;
M=5;
b=ones（M,1）/M;
a=1;
y=filter（b,a,f）;
subplot（1,2,2）
stem（k,y）;
title（'系统响应y（k）'）；
axis（[05008]）；
该系统的零状态响应如图6所示。
图6离散系统的零状态响应
7离散系统的冲激响应
在MATLAB中，可以用impz函数来求解系统的冲激响应，其调用格式为：
h=impz（b,a,k）
其中，b、a分别是差分方程输入、输出的系数向量，k表示输出序列的时间取值范围，h就是系统的单位冲激响应。
例7某离散系统的差分方程为，初始条件为y[0]=0，y[1]=1，求其冲激响应、零状态响应和完全响应。
k=-10:
20;a=[6-51];b=[1];
subplot（1,3,1）,impz（b,a,k）;title（'冲激响应'）;%冲激响应
kj=0:
30;fk=cos（kj*pi/2）;yf=filter（b,a,fk）;%零状态响应
subplot（1,3,2）,stem（kj,yf）;title（'零状态响应'）;axis（[030-0.150.2]）;%完全响应
y
（1）=0;y
（2）=1;%初值
form=3:
length（kj）;
y（m）=（1/6）*（5*y（m-1）-y（m-2）+fk（m））;
end
subplot（1,3,3）,stem（kj,y）;title（'完全响应'）;axis（[030-0.151.1]）;
程序运行结果如图7所示。
图7离散系统的冲激响应、零状态响应和完全响应
8卷和运算
卷和是计算离散系统零状态响应的强有力的工具之一，卷和函数conv的调用格式为：
c=conv（a,b）
其中，序列c的时间起点为两个向量a、b的时间起点之和，终点为两两个向量a、b的时间终点之和，长度为a、b长度之和减1。
例8已知序列x[k]={1,2,3,4;k=0,1,2,3}，y[k]={1,1,1,1,1;k=0,1,2,3,4}，计算x[k]*y[k]，并绘制卷和的结果。
x=[1234];y=[11111];z=conv（x,y）
k=0:
7%z的时间起点为0+0，终点为3+4
stem（k,z）
k=
01234567
z=
1361010974
程序运行结果如图8所示：
图9-14离散信号的卷和运算结果
9信号的分解与合成
周期信号按照傅里叶级数可以分解成三角函数的线性组合：
其中，w为基波频率。
N为截断位置，当N选取较大时，信号的傅里叶级数就是原信号的较好的近似。
分解和合成的程序如下：
function[A_sym,B_sym]=CTFShchsym;%设定函数名及参数
%Nf=6谐波的阶数；Nn输出数据的准确位数；tao=τ
%A_sym：
第1元素是直流项，其后元素依次是1,2,3，…次谐波cos项的展开系数
%B_sym：
第2,3,4，···元素依次是1,2,3，…次谐波sin项的展开系数
symstnkx%说明为符号变量
tao=1;T=5;a=0.5;
ifnargin<4;Nf=6;end%设定默认参数的个数及默认值
ifnargin<5;Nn=32;end%设定默认参数的个数及默认值
x=time_fun_x（t）;
A0=int（x,t,-a,T-a）/T;%求三角函数展开系数a0=A0
As=int（2*x*cos（2*pi*n*t/T）/T,t,-a,T-a）;%求三角函数展开系数an=As
Bs=int（2*x*sin（2*pi*n*t/T）/T,t,-a,T-a）;%求三角函数展开系数bn=Bs
A_sym
（1）=double（vpa（A0,Nn））;%获取数组A0所对应的ASCII码数值数组
fork=1:
Nf
A_sym（k+1）=double（vpa（subs（As,n,k）,Nn））;%获取数组A所对应的ASCII码数值数组
B_sym（k+1）=double（vpa（subs（Bs,n,k）,Nn））;%获取数组B所对应的ASCII码数值数组
end
ifnargout==0%没有输入参数
c=A_sym;disp（c）;%disp（c）输出系数an（n=0,1，2,3，…）
d=B_sym;disp（d）;%disp（d）函数输出系数bn（n=0,1，2,3，…）
t=-8*a:
0.01:
T-a;
f1=c
（1）+c
（2）.*cos（2*pi*1*t/5）+0.*sin（2*pi*1*t/5）;%基波
f2=c（3）.*cos（2*pi*2*t/5）+0.*sin（2*pi*2*t/5）;%2次谐波
f3=c（4）.*cos（2*pi*3*t/5）+0.*sin（2*pi*3*t/5）;%3次谐
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