高考数学文科一轮设计选修45教师用书及答案.docx

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高考数学文科一轮设计选修45教师用书及答案

第1讲　绝对值不等式

最新考纲　1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：

|a＋b|≤|a|＋|b|（a，b∈R）；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|（a，b∈R）；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.

知识梳理

1.绝对值不等式的解法

（1）含绝对值的不等式|x|a的解集

不等式

a>0

a＝0

a<0

|x|

（－a，a）

∅

∅

|x|>a

（－∞，－a）∪（a，＋∞）

（－∞，0）∪（0，＋∞）

R

（2）|ax＋b|≤c（c>0）和|ax＋b|≥c（c>0）型不等式的解法

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；

（3）|x－a|＋|x－b|≥c（c＞0）和|x－a|＋|x－b|≤c（c＞0）型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

2.含有绝对值的不等式的性质

（1）如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.

（2）如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当（a－b）（b－c）≥0时，等号成立.

诊断自测

1.判断正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）若|x|＞c的解集为R，则c≤0.（　　）

（2）不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.（　　）

（3）对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.（　　）

（4）对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.（　　）

（5）对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.（　　）

答案　

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）×　（5）√

2.若函数f（x）＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为（　　）

A.5或8B.－1或5

C.－1或－4D.－4或8

解析　分类讨论：

当a≤2时，f（x）＝

显然，x＝－时，f（x）min＝＋1－a＝3，∴a＝－4，

当a>2时，f（x）＝

显然x＝－时，f（x）min＝－－1＋a＝3，∴a＝8.

答案　D

3.（2015·山东卷）不等式|x－1|－|x－5|<2的解集为________.

解析　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－（5－x）<2，

∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.

②当1

∴x<4，∴1

③当x≥5时，原不等式可化为x－1－（x－5）<2，该不等式不成立.

综上，原不等式的解集为（－∞，4）.

答案　（－∞，4）

4.若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.

解析　∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.

∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.

答案　2

5.若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________.

解析　设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝

当x＜－2时，y＝－3x－1＞5；

当－2≤x＜时，5≥y＝－x＋3＞；

当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.

解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故实数a的取值范围为.

答案　

考点一　含绝对值不等式的解法

【例1】解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.

解　法一　如图，设数轴上与－2，1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.显然，区间[－2，1]不是不等式的解集.把A向左移动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为（－∞，－3]∪[2，＋∞）.

法二　原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5⇔或

或解得x≥2或x≤－3，

∴原不等式的解集为（－∞，－3]∪[2，＋∞）.

法三　将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.

令f（x）＝|x－1|＋|x＋2|－5，则

f（x）＝作出函数的图象，如图所示.

由图象可知，当x∈（－∞，－3]∪[2，＋∞）时，y≥0，

∴原不等式的解集为（－∞，－3]∪[2，＋∞）.

规律方法　形如|x－a|＋|x－b|≥c（或≤c）型的不等式主要有三种解法：

（1）分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为（－∞，a]，（a，b]，（b，

＋∞）（此处设a＜b）三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；

（2）几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c（c＞0）的几何意义：

数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；（3）图象法：

作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.

【训练1】（2016·全国Ⅰ卷）已知函数f（x）＝|x＋1|－|2x－3|.

（1）在图中画出y＝f（x）的图象；

（2）求不等式|f（x）|>1的解集.

解　

（1）f（x）＝

y＝f（x）的图象如图所示.

（2）由f（x）的表达式及图象，当f（x）＝1时，可得x＝1或x＝3；当f（x）＝－1时，可得x＝或x＝5，

故f（x）>1的解集为{x|1

所以|f（x）|>1的解集为

.

考点二　含参数的绝对值不等式问题

【例2】

（1）对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值；

（2）对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值.

解　

（1）∵x，y∈R，

∴|x－1|＋|x|≥|（x－1）－x|＝1，

∴|y－1|＋|y＋1|≥|（y－1）－（y＋1）|＝2，

∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3.

∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.

（2）|x－2y＋1|＝|（x－1）－2（y－1）|≤|x－1|＋|2（y－2）＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.

规律方法　求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：

（1）利用绝对值的几何意义；

（2）利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|；（3）利用零点分区间法.

【训练2】

（1）若关于x的不等式|2014－x|＋|2015－x|≤d有解，求实数d的取值范围；

（2）不等式≥|a－2|＋siny对一切非零实数x，y均成立，求实数a的取值范围.

解　

（1）∵|2014－x|＋|2015－x|≥|2014－x－2015＋x|＝1，

∴关于x的不等式|2014－x|＋|2015－x|≤d有解时，d≥1.

（2）∵x＋∈（－∞，－2]∪[2，＋∞），

∴∈[2，＋∞），其最小值为2.

又∵siny的最大值为1，

故不等式≥|a－2|＋siny恒成立时，

有|a－2|≤1，解得a∈[1，3].

考点三　含绝对值的不等式的应用

【例3】（2016·全国Ⅲ卷）已知函数f（x）＝|2x－a|＋a.

（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；

（2）设函数g（x）＝|2x－1|.当x∈R时，f（x）＋g（x）≥3，求实数a的取值范围.

解　

（1）当a＝2时，f（x）＝|2x－2|＋2.

解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.

因此f（x）≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.

（2）当x∈R时，

f（x）＋g（x）＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，当x＝时等号成立，

所以当x∈R时，f（x）＋g（x）≥3等价于|1－a|＋a≥3.①

当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解.

当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.

所以实数a的取值范围是[2，＋∞）.

规律方法　

（1）解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.

（2）数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.

【训练3】（2015·全国Ⅰ卷）已知函数f（x）＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.

（1）当a＝1时，求不等式f（x）>1的解集；

（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求实数a的取值范围.

解　

（1）当a＝1时，f（x）>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.

当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；

当－10，

解得

当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.

所以f（x）>1的解集为.

（2）由题设可得，f（x）＝

所以函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B（2a＋1，0），C（a，a＋1），

△ABC的面积为（a＋1）2.

由题设得（a＋1）2>6，故a>2.

所以实数a的取值范围为（2，＋∞）.

[思想方法]

1.绝对值不等式的三种常用解法：

零点分段法，数形结合法，构造函数法.

2.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.

[易错防范]

1.可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件.

2.掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.

（建议用时：

60分钟）

1.设函数f（x）＝|2x＋1|－|x－4|.

（1）解不等式f（x）＞2；

（2）求函数y＝f（x）的最小值.

解　

（1）法一　令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－，x＝4.

原不等式可化为：

或或

即或或

∴x＜－7或x＞.

∴原不等式的解集为.

法二　f（x）＝|2x＋1|－|x－4|＝

画出f（x）的图象，如图所示.

求得y＝2与f（x）图象的交点为（－7，2），.

由图象知f（x）＞2的解集为.

（2）由

（1）的法二图象知：

当x＝－时，

知：

f（x）min＝－.

2.（2017·长沙一模）设α，β，γ均为实数.

（1）证明：

|cos（α＋β）|≤|cosα|＋|sinβ|，|sin（α＋β）|≤|cosα|＋|cosβ|；

（2）若α＋β＋γ＝0，证明：

|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|≥1.

证明　

（1）|cos（α＋β）|＝|cosαcosβ－sinαsinβ|≤

|cosαcosβ|＋|sinαsinβ|≤|cosα|＋|sinβ|；

|sin（α＋β）|＝|sinαcosβ＋cosαsinβ|≤|sinαcosβ|＋

|cosαsinβ|≤|cosα|＋|cosβ|.

（2）由

（1）知，|cos[α＋（β＋γ）]|≤|cosα|＋|sin（β＋γ）|≤|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|，

而α＋β＋γ＝0，故|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|≥1.

3.（2016·镇江模拟）已知a和b是任意非零实数.

（1）求的最小值；

（2）若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|（|2＋x|＋|2－x|）恒成立，求实数x的取值范围.

解　

（1）∵≥＝＝4，∴的最小值为4.

（2）若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|（|2