双曲线提高训练题含详细答案.docx

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双曲线提高训练题含详细答案

双曲线提高训练题（含详细答案）

X2

1.[2011银川一中月考]与椭圆-+y2=1共焦点且过点P（2,1）的双曲线方程是（）

x2

a.4—y2=1

C.x2

x2

B.X2—y2=1D.x2—近=1

2

x2

2.[2011山东省实验中学二模]如图K49—1,已知点P为双曲线点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，

IF1F2成立，则

入的值为（）

54

a・8B.5

43

%D.4

169=1右支上一

IPF1F2的内心，若SAIPFlSAIPF2+入途

图K49—1

A..2B.,3

C2/3±1

C.2

D.

.5+1

2

4.[2011佛山一检]

已知双曲线

a2-各1（a>0，

b>0）与抛物线

y2=8x有一个公共的焦

点F，且两曲线的一个交点为P,若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）

A.x±3y=0B.,3x±y=0

C.xi2y=0D.2x±（=0

x2

5.[2010福建卷]若点O和点F（—2,0）分别是双曲线乏—y=1（a>0）的中心和左焦点,

a

点p为双曲线右支上的任意一点，则OPfP的取值范围为（）

A.[3—2,3,±s）B.[3+23,+^）

曲线一个交点为p,且/PF1F2=n，则双曲线的渐近线方程为

6

22

11.双曲线x2—古=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线交双曲线的

ab

左支于A,B两点，且|AB|=口，则厶ABF2的周长为.

22

12.[2011全国卷]已知F1、F2分别为双曲线C:

；—27=1的左、右焦点，点A€C,点M的坐标为（2,0）,AM为/F1AF2的平分线，则|AF2|=.

x2y2、

13.[2011辽宁卷]已知点（2,3）在双曲线C:

孑一卡=1（a>0,b>0）上，C的焦距为4,

则它的离心率为.

14.（10分）[2011湖北八校一联]如图K49—-,已知双曲线x2—y2=1的左、右顶点分别为A1、A2,动直线I:

y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别

为P1（X1,y1）,P2（X2,y2）.

（1）求k的取值范围，并求X2—X1的最小值；

⑵记直线P1A1的斜率为k1,直线P2A2的斜率为k2,那么k1k2是定值吗？

证明你的结论.

图K49—2

15.（13分）已知两定点Fi（—2,0）,F2（2,0），满足条件|PF2—|PFi|=2的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx—1与曲线E交于A,B两点.如果|AB|=6,3，且曲线E上存在点C,使示+O）B=mO）C，求m的值和△ABC的面积S.

x2v2

16.（12分）[2011黄石调研]已知双曲线-2—1（a>0,b>0）的右顶点为A，右焦点为F,

ab

直线x=貴c=.a2+b2）与X轴交于点B,且与一条渐近线交于点C,点0为坐标原点，又oA

c

=2（0B,OA0C=2，过点F的直线与双曲线右支交于点M、N,点P为点M关于x轴的对

称点.

（1）求双曲线的方程；

⑵证明：

B、P、N三点共线;

（3）求厶BMN面积的最小值.

故e=C=5.

a

2h?

h?

2b?

b2b?

b

10.y=±2x［解析］根据已知|PFi|=——且|PF2|=—，故————=2a，所以p=2，-=

aaaaaa

2.

|AF2|—|AFi|=2a,

11.4a+2m［解析］由？

|AF21+|BF2|-（|AFi|+|BFi|）=4a,又|AFi|

|BF2|—|BFi|=2a

+|BFi|=|AB|=m,A|AF2|+|BF2|=4a+口.则厶ABF2的周长为|AF21+|BF2|+|AB|=4a+2m.

鬻=齢2又|AFi—|AF2|=6,故|AF2|=6.

x2y249

［解析］方法一：

点（2,3）在双曲线C：

孑一y2=i上，则孑一—2=〔•又由于2c=4,

4—9=i

所以a2+b2=4•解方程组ab得a=i或a=4.由于a

a2+b2=4

i4.［解答］（i）Tl与圆相切，二

m2=i+k2,①

y=kx+m,

由22得（i—k2）x2—2mkx—（m2+i）=0,

x2—y2=i,

i—k2^0,

△=4m2k2+4i—k2m2+i=4m2+i—k2=8>0,m2+i

xix2=迄二y<0,

•k2

2mk

由于Xi+X2=2,

i—k

2,2222

…X2—xi=xi+X22—4xix2=2=2，

N|i—k2|i—k2

•••OWk2

⑵由已知可得Ai,A2的坐标分别为（一i,0）,（i,0）,

•ki=^,k2=±,

Xi+iX2—i

yiy2

.,一wkxi+mkx2+m

--kik2==

xi+iX2—ixi+iX2—i

k2xiX2+mkxi+X2+m2

XiX2+X2—xi—i

2m2+i,2mk2

k2•_7—mk•;+m2

k2—ik2—i

m2+i2.2彳

k2—m2

k2—i—k2—i—im2k2+k2—2m2k2+m2k2—m2

由①，得m2—k2=1,

—1

kik2==—（3+2弋2）为定值.

15.

0）为焦点的双曲

［解答］由双曲线的定义可知，曲线E是以Fi（—2,0）,F2（2,

线的左支，

且c=・J2,a=1，易知b=1,

故曲线E的方程为x2—y2=1（x<0）.

y=kx—1,

设A（X1,y1）,B（x2,y2）,由题意建立方程组22

x2—y2=1,

消去y,得（1—k2）x2+2kx—2=0,

又已知直线与双曲线左支交于两点A,B,有

1—k2^0,

△=2k2+81—k2>0,

解得—，2

—2k

X1+x2=1—2<0,

又•/|AB|=1+k2|x1—X2|

=,1+k2•,

=1+k2•

X1+X2—4X1X2

，—2k2—2

/1—2-4X百？

=2；1+k22—k2

=.1—k22,

/1+k2~ok2

依题意得21十;一$2k=6,3，整理后得

28k4—55k2+25=0,

•k2=5或k2=4又-^2

设C（xc,yc），由已知0A十Ofe=mOC,

得（X1,y1）十（X2,y2）=（mxc,myc）,

y1*y2/c、

（m^0）.

.Xl±X2

••（Xc,yc）=m

2k

又X1+X2=

m

k2—1=—45,.•.点C二/,R，将点

mm

但当m=—4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，•

5X—5+2+1

21

3’

2k22。

y1+y2=k（x1+X2）—2=k2——2=^2—1=8,

C的坐标代入曲线E的方程，得8°>—气=1,

mm

m=4,

C点的坐标为（一，5,2）,C到AB的距离为

上52+[2

得m=±4,

11

ABC的面积S=63X3=T3.

【难点突破】

16.［解答］

（1）由题意得

a=

2a

解得

a2=4,

a3=2c,

c2=16,

•••b2=c2-a2=12,「.双曲线方程为--忙=1.

412

⑵证明：

由

（1）可知得点B（1,0），设直线I的方程为：

x=ty+4,

22

X-乂=1,

由412可得（3t2-1）y2+24ty+36=0.

x=ty+4,

设M（x1,y1）,N（X2,y2），则P（X1,-y",

-24t

y1+y2=3?

-r,tt

所以

36

（X1—1,-y1）,BN=（X2—1,y2）,

y1y2=k,

因为（X1—1）y2+y1（x2—1）=X1y2+y1X2—y1—y=2ty1y2+3（y1+y2）

=0,

所以向量BP,BN共线.所以B,P,N三点共线.⑶因为直线I与双曲线右支相交于M,N,

1

所以X1X2=（ty1+4）（ty2+4）>0,所以t2<3,

118^1+t26迈p3+3t2

0BMN=[IBFIIy1—y2|=|3t2—1|=1—3t2,令u=1—3t2,u€（0,1],

双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）

（c,0），则p=c,即p=2c,抛物线方程为y2

=1,y2=4cc,消掉y得晋=1,即J（b2—4a2）=a2b2，即c2（c2—5a2）=a2（c2—a2）,即c4—6a2c2+a4=0,即e4—6e2+1=0,解得W=6\32=3+22,故e=1+.2.

9.D［解析］不妨设|PF1|,|PF2|,|F1F2|成等差数列，贝U4c2=|PF1|2+|PF2|2，由2|PF2|=2c+|PF11,且|PF2|—|PF1|=2a,解得|PF1|=2c—4a,|PF2|=2c—2a,代入4c2=IPF1f+|PF2|2,得4c2=（2c—2a）2+（2c—4a）2，化简整理得c2—6ac+5a2=0，解得c=a（舍去）或者c=5a,

m2+i—22—k2+i=m2—k2+2—2、2，