第四章第3节角角角的比较与运算19.docx

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第四章第3节角角角的比较与运算19

年级

初一

学科

数学

版本

人教新课标

课程标题

第四章第3节角——角；角的比较与运算

编稿老师

巩建兵

一校

李秀卿

二校

林卉

审核

王百玲

一、学习目标：

1、理解角的概念、表示方法、测量方法和画法．

2、认识角的度量单位度、分、秒，会进行简单的换算和角度计算．

3、学会比较两个角的大小，会分析图中角的和差关系．

4、认识角的平分线及角的等分线，会画角的平分线．

二、重点、难点：

重点：

角度的换算，分析角的和差关系，认识角平分线．

难点：

认识复杂图形中角的和差关系，比较两个角的大小．

三、考点分析：

本节的主要考点是角的表示方法和角度的换算．角的平分线性质是重点考查内容，但往往在综合题中出现．本节内容难度不大，直接考查的题目也不多见．

1、角

（1）定义：

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两边．角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．

（2）表示方法：

角的四种表示方法如下表：

表示方法

图示

记法

适用范围

①用三个大写字母表示

∠AOB或∠BOA

任何情况都适用，表示顶点的字母写在中间

②用一个大写字母表示

∠O

以某一点为顶点的角只有一个时

③用一个阿拉伯数字表示

∠1

任何情况都适用

④用一个希腊字母表示

∠α

任何情况都适用

（3）平角和周角：

如果角的终边是由始边旋转半周而得到的（这时的始边与终边互为反向延长线），这样的角叫做平角；如果角的终边是由始边旋转一周而得到的（这时终边与始边重合），这样的角叫做周角．

2、角的度量单位及角度制

（1）角的度量单位：

角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．

（2）角度制的换算：

1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．

（3）角度制是60进位的，它和时间的小时、分钟、秒间的度量相类似．时钟被分成12格，相当于把圆周12等分，每一等份等于30°，时针每小时走一格为30°，每分钟走0.5°；分针每小时走一圈是360°，每分钟走6°．

3、角的比较与运算

（1）角的大小的比较方法：

①叠合法；②度量法．

（2）角的和差：

把两个角的一边重合，另两边在重合边的两侧，则另两边的夹角即为这两角之和；若另两边在重合边的同侧，则另两边的夹角即为两角之差．

4、角的平分线

（1）定义：

一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．

（2）符号语言叙述：

如左图所示，因为∠AOC＝∠BOC，所以OC是∠AOB的平分线．反之，如果OC是∠AOB的平分线，那么∠AOC＝∠BOC，并且有∠AOC＝∠AOB或∠BOC＝∠AOB，以及∠AOB＝2∠AOC或∠AOB＝2∠BOC．

（3）类似地，还有角的三等分线（如右图）．

知识点一：

角的表示

例1.如图所示，角的表示法正确的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

思路分析：

1）题意分析：

区别平角与直线、周角与射线，要抓住角的两个元素：

顶点和两边．

2）解题思路：

角的表示方法中，要注意用三个大写字母和一个大写字母表示的适用范围．②、⑤、⑥是正确的．

解答过程：

C

解题后的思考：

①表示一个角时，角的符号“∠”不能省略．②理解角的两个要素和角的表示方法是解本题的关键．

例2.如图所示，在直线AB上有一点O，作射线OC、OD、OE、OF，则图中共有多少个小于平角的角？

思路分析：

1）题意分析：

本题要求数出小于平角的角的个数，∠AOB是平角，不能计算在内．

2）解题思路：

数小于平角的角的个数的方法应是：

以OA为一边的有∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOF；以OC为一边的有∠COD、∠COE、∠COF、∠COB；以OD为一边的有∠DOE、∠DOF、∠DOB；以OE为一边的有∠EOF、∠EOB；以OF为一边的有∠FOB．

解答过程：

图中小于平角的角有∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOF；∠COD、∠COE、∠COF、∠COB；∠DOE、∠DOF、∠DOB；∠EOF、∠EOB；∠FOB．

共有4＋4＋3＋2＋1＝14个．

解题后的思考：

寻找计数的规律，不可遗漏、也不可重复．

例3.观察下图，回答问题．

（1）在∠AOB内部任意画1条射线OC，则图①中有__________个不同的角；

（2）在∠AOB内部任意画2条射线OC、OD，则图②中有__________个不同的角；

（3）在∠AOB内部任意画3条射线OC、OD、OE，则图③中有__________个不同的角；

（4）在∠AOB内部任意画10条射线OC、OD、…，则图中有__________个不同的角；

（5）在∠AOB内部任意画n条射线OC、OD、OE、…，则图中有__________个不同的角．

思路分析：

1）题意分析：

正确数出角的个数是解题的关键，根据角的个数，得到一列有规律的数，寻找规律，推广到一般．

2）解题思路：

数角的个数时，注意不能重，也不能漏．如图①中，按逆时针方向，以OA为边的角有∠AOC，∠AOB；以OC为边的角有∠COB．共3个．

解答过程：

（1）2＋1＝3；

（2）3＋2＋1＝6；（3）4＋3＋2＋1＝10；（4）11＋10＋9＋…＋2＋1＝66；（5）（n＋1）＋n＋（n－1）＋…＋2＋1＝（n＋1）（n＋2）．

解题后的思考：

这类题与线段计数的方法类似，运用分类思想来研究问题．

小结：

对角的表示方法的考查主要有两个方面：

一是角的四种表示方法分别适合在什么情况下使用；二是在有规律的图形中数角的个数．

知识点二：

角的比较和运算

例4.钟表上12时15分钟时，时针与分针的夹角是（）

A．90°B．82.5°C．67.5°D．60°

思路分析：

1）题意分析：

如图所示，12时15分时分针正对着数字“3”，而时针走过了数字“12”一点点．

2）解题思路：

钟表上，每一个小格的度数为＝6°；每一个大格的度数为＝30°．

解答过程：

12时15分钟时，时针偏转的角度为×30°＝7.5°，分针偏转的角度为3×30°＝90°，所以两针之间的夹角为90°－7.5°＝82.5°．所以应选B．

解题后的思考：

由本题可知分针每分钟走6°，时针每分钟走0.5°．

例5.如图所示，将书页的一角折过去，使角的顶点落在A’处，BC为折痕，BD为∠A’BE的平分线，则∠CBD＝__________．

思路分析：

1）题意分析：

理解折叠的结果是∠ABC＝∠CBA’＝∠ABA’，即BC为∠ABA’的平分线．

2）解题思路：

由BD平分∠A’BE知∠A’BD＝∠A’BE，所以∠CBD＝（∠ABA’＋∠A’BE）＝∠ABE＝90°．

解答过程：

90°

解题后的思考：

由本题知，用折叠的方法可将一个角分成两个相等的角．

例6.从射线OA的端点O引两条射线OB、OC，如果∠AOB＝75°12′，∠BOC＝26°32′．求∠AOC的度数．

思路分析：

1）题意分析：

先根据题意画图，再求∠AOC的度数．

2）解题思路：

∠AOB是确定的，射线OC与∠AOB有两种可能的位置关系．

解答过程：

本题有两种情况，如图所示：

①OC在∠AOB的外部，

∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝75°12′＋26°32′＝101°44′；

②OC在∠AOB的内部，

∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝75°12′－26°32′＝48°40′．

所以∠AOC的度数为101°44′或48°40′．

解题后的思考：

考虑问题要全面．

例7.如图所示，∠AOB＝90°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．

思路分析：

1）题意分析：

本题应根据角的和差关系求∠MON的度数．

2）解题思路：

从图中可以得到∠MON＝∠MOC－∠NOC，而∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，由此可求∠MON的度数．

解答过程：

因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，

所以∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，

因为∠MON＝∠MOC－∠NOC，∠AOB＝90°，

所以∠MON＝∠AOC－∠BOC＝（∠AOC－∠BOC）＝∠AOB＝45°．

解题后的思考：

本题中角的数量关系较复杂，解题时所分析的数据要找和已知与所求有关联的数量关系．

例8.如图所示，已知∠AOB∶∠BOC∶∠COD＝3∶2∶4，∠AOD＝108°，求∠AOB、∠BOC、∠COD的度数．

思路分析：

1）题意分析：

所求的三个角和已知的角∠AOD正好组成一个周角．

2）解题思路：

本题中涉及到的四个角的和是周角360°，合理设出未知数，列方程求解．

解答过程：

设∠AOB＝3x，则∠BOC＝2x，∠COD＝4x，

则3x＋2x＋4x＋108°＝360°，

解得x＝28°．

所以3x＝84°，2x＝56°，4x＝112°

即∠AOB＝84°，∠BOC＝56°，∠COD＝112°．

解题后的思考：

用方程解决角的计算问题时，关键是合理设出未知数，找出相等关系，这类问题的相等关系一般是几个角的和或差等于已知角（或平角或周角等）．

小结：

在角的计算问题中，一般都是利用角的和差关系求角的度数，这里应重点掌握角的平分线的性质和运用．

本讲所涉及的思想方法主要是转化思想，主要体现在角的比较大小，往往是把角（形）转化为角的度数（数）来比较．其次是在分析角的关系时，要把所求的角转化为已知的角或和已知角有关系的角．另外，在计算角的度数时，有时会用到方程的思想．

余角与补角（4.3.3）

一、预习新知

1、余角和补角

2、方位角

二、预习点拨

探究与反思

探究任务一：

余角和补角

【反思】

（1）怎样理解互为余角和互为补角？

（2）余角和补角的性质是什么？

探究任务二：

方位角

【反思】

（1）什么是方位角？

（2）怎样用方位角确定方向？

（答题时间：

60分钟）

一、选择题．

1、如图所示，图中小于平角的角的个数是（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

2、下列各角中，不可能是钝角的角是（）

A.周角B.平角C.钝角D.直角

3、已知射线OA、OB，能判定OC是∠AOB的平分线的是（）

A.∠AOC＝∠BOCB.∠AOB＝2∠AOC

C.∠BOC＝∠AOBD.A、B、C都能

4、如果∠1－∠2＝∠3，且∠4＋∠2＝∠1，那么∠3和∠4间的关系是（）

A.∠3＞∠4B.∠3＝∠4C.∠3＜∠4D.不确定

5、用一副三角板不能画出（）

A.75°角B.135°角C.160°角D.105°角

6、如图所示，若∠AOB＝∠COD，那么（）

A.∠1＞∠2B.∠1＝∠2C.∠1＜∠2D.不确定

*7、在钟表上，1点30分时，时针与分针所成的角是（）

A.150°B.165°C.135°D.120°

*8、如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是（）

A.∠COD＝∠AOCB.∠AOD＝∠AOB

C.∠BOD＝∠AOBD.∠BOC＝∠AOB

二、填空题．

9、如图所示，把图中用数字表示的角，改用大写字母表示分别是__________．

10、（）°＝__________′＝__________″；6000″＝__________′＝__________°．

11、如果∠1＝∠2，∠1＋∠3＝90°，则∠2＋∠3＝__________．

12、如图所示，用“＝”或“＞”或“