高中数学人教A版必修5有详解答案第一章单元综合测试.docx
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高中数学人教A版必修5有详解答案第一章单元综合测试
第一章单元综合测试
时间：
120分钟 分值：
150分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．在△ABC中，若sinA＋cosA＝，则这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
解析：
若A≤90°，则sinA＋cosA≥1>，
∴A>90°.
答案：
A
2．钝角三角形的三边为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是（ ）
A．0C．2解析：
∵三角形为钝角三角形，
∴
∴≤a<3.
答案：
B
3．在△ABC中，如果sinA＝sinC，B＝30°，那么角A等于（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．120°
解析：
∵＝＝，
∴a＝c.
又b2＝a2＋c2－2accosB，得b＝c.
∴B＝C＝30°，A＝120°.
答案：
D
4．在△ABC中，若sinA>sinB，则A与B的大小关系为（ ）
A．A>BB．AC．A≥BD．A，B的大小关系不能确定
解析：
由正弦定理＝，
∴a>b.∴A>B.
答案：
A
5．在△ABC中，角A，B满足sinA＝sinB，则三边a，b，c必满足（ ）
A．a＝b
B．a＝b＝c
C．a＋b＝2
D．（a－b）（a2＋b2－ab－c2）＝0
解析：
由sinA＝sinB且A，B是三角形内角，得A＝B或A＝π－B，所以A＝B或A＋B＝，第二种情况C＝.所以a＝b或a2＋b2－ab＝c2.
答案：
D
6．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＝sin2C，则以a＋k，b＋k，c＋k（k>0）为边的三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．直角三角形或钝角三角形
解析：
由正弦定理，得a2＋b2＝c2.再用余弦定理，证明以a＋k，b＋k，c＋k为边的三角形中最大角为锐角即可．
答案：
A
7．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则下面等式一定成立的是（ ）
A．A＝BB．A＝C
C．B＝CD．A＝B＝C
解析：
由sinBsinC＝cos2＝⇒2sinBsinC＝1＋cosA⇒cos（B－C）－cos（B＋C）＝1＋cosA.
又cos（B＋C）＝－cosA⇒cos（B－C）＝1，
∴B－C＝0，即B＝C.
答案：
C
8．一角槽的横断面如图所示，四边形ADEB是矩形，且α＝50°，β＝70°，AC＝90mm，BC＝150mm，则DE的长等于（ ）
A．210mmB．200mm
C．198mmD．171mm
解析：
∠ACB＝70°＋50°＝120°，在△ABC中应用余弦定理可以求出AB的长，即为DE的长．
答案：
A
9．在△ABC中，已知△ABC的面积为S＝a2－（b－c）2，则有（ ）
A．sinA－4cosA＝4B．sinA＋4cosA＝4
C．cosA－4sinA＝4D．cosA＋4sinA＝4
解析：
因为bcsinA＝a2－（b－c）2，所以b2＋c2－a2＝2bc－bcsinA，所以cosA＝＝1－sinA，即sinA＋4cosA＝4.
答案：
B
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则（ ）
A．a>bB．aC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定
解析：
因为C＝120°，c＝a，
所以c2＝a2＋b2－2abcosC，
即2a2＝a2＋b2－2ab×（－）．
所以a2－b2＝ab，a－b＝.
因为a>0，b>0，
所以a－b＝>0，所以a>b.
故选A.
答案：
A
11．在△ABC中：
①sin（A＋B）＋sinC；②cos（B＋C）＋cosA；
③tan·tan；④cos·tan.
其中恒为常数的是（ ）
A．①②B．①③
C．②③D．②④
解析：
①sin（A＋B）＋sinC＝2sinC，不恒为常数；
②cos（B＋C）＋cosA＝－cosA＋cosA＝0；
③tan·tan＝tan（－）tan＝1；
④cos·tan＝cos（－）·＝，不恒为常数．
答案：
C
12．设a，b，c是△ABC的三条边长，对任意实数x，f（x）＝b2x2＋（b2＋c2－a2）x＋c2，有（ ）
A．f（x）＝0B．f（x）>0
C．f（x）≤0D．f（x）<0
解析：
由余弦定理可得f（x）＝b2x2＋2bccosA·x＋c2，
∵Δ＝（2bccosA）2－4b2c2＝4b2c2·（cos2A－1）<0，且b2>0，∴f（x）>0.
答案：
B
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．等腰三角形的底边为a，腰长为2a，则腰上的中线长等于________．
解析：
如图，等腰△ABC中，
BC＝a，AB＝AC＝2a，
BM为腰上中线，则CM＝a，
△BCM为等腰三角形，
在Rt△ADC中，cosα＝.
在△BMC中，由余弦定理得
BM2＝BC2＋MC2－2BC·MC·cosα
＝a2＋a2－2a·a·＝a2，
∴BM＝a.
答案：
a
14．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sinBsinC＋sin2C，则A＝________.
解析：
由已知得a2＝b2＋bc＋c2，
∴b2＋c2－a2＝－bc.
∴cosA＝＝－.
又0°答案：
120°
15．在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为，则＝________.
解析：
由bcsinA＝，得c＝4.
∴a＝＝.
∴＝＝.
答案：
16．在△ABC中，＝（2cosα，2sinα），＝（5cosβ，5sinβ），若·＝－5，则S△OAB＝________.
解析：
由·＝－5，得cos（α－β）＝－.
∴sin（α－β）＝.
S△OAB＝||·||·sin（α－β）＝×2×5×＝.
答案：
三、解答题（写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分）
17．（10分）如图所示，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝60°，AC＝7，AD＝6，S△ACD＝，求AB的长．
解：
在△ACD中，S△ACD＝AC·ADsin∠1，
∴sin∠1＝＝＝，∴sin∠2＝.
在△ABC中，BC＝＝5且cos∠2＝＝，
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠2.
即25＝AB2＋49－11AB，（AB－8）·（AB－3）＝0.
∴AB＝8或AB＝3.
18．（12分）在△ABC中，已知c＝，b＝1，B＝30°.
（1）求角A；
（2）求△ABC的面积．
解：
（1）由＝得，
sinC＝sinB＝sin30°＝.
∵c>b，∴C>B，∴C＝60°或C＝120°.
∴A＝90°或A＝30°.
（2）S△ABC＝bcsinA＝×1×sin90°＝.
或S△ABC＝bcsinA＝×1××sin30°＝.
即△ABC的面积为或.
19．（12分）在△ABC中，已知（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）·sin（A＋B），试判断△ABC的形状．
解：
由题意可知a2[sin（A＋B）－sin（A－B）]
＝b2[sin（A－B）＋sin（A＋B）]，
即a2·2sinBcosA＝b2·2sinAcosB.
∵sinAsinB≠0，
∴2sinAcosA＝2sinBcosB，即sin2A＝sin2B.
∴A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
20．（12分）设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，并且sin2A＝sin（＋B）·sin（－B）＋sin2B.
（1）求角A的值；
（2）若·＝12，a＝2，求b，c（其中b解：
（1）因为sin2A＝（cosB＋sinB）（cosB－sinB）＋sin2B＝cos2B－sin2B＋sin2B＝，
所以sinA＝±，又因为A为锐角，所以A＝.
（2）由·＝12，可得cbcosA＝12.①
由
（1）知A＝，所以cb＝24.②
由余弦定理，知a2＝c2＋b2－2cbcosA，
将a＝2及①代入，得c2＋b2＝52，③
③＋②×2，得（c＋b）2＝100，所以c＋b＝10.
因此，c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根．
解此方程并由c>b，知c＝6，b＝4.
21．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝a，以BC为边向外作正三角形BCD，求AD的最大值．
解：
由题意，得AD垂直平分BC，则∠BDA＝30°，设∠BAD＝α，则∠ABD＝150°－α.在△ABD中，由正弦定理，得
＝，
所以AD＝＝2asin（150°－α）．
所以当α＝60°，即∠BAC＝120°时，AD取最大值2a.
22．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设f（x）＝a2x2－（a2－b2）x－4c2.
（1）若f
（1）＝0，且B－C＝，求角C的大小；
（2）若f
（2）＝0，求角C的取值范围．
解：
（1）∵f
（1）＝0，
∴a2－（a2－b2）－4c2＝0.
∴b2＝4c2.
∴b＝2c.
∴sinB＝2sinC.
又B－C＝，
∴sin（C＋）＝2sinC.
∴sinC·cos＋cosC·sin＝2sinC.
∴sinC－cosC＝0.
∴sin（C－）＝0.
又－（2）若f
（2）＝0，则4a2－2（a2－b2）－4c2＝0，
∴a2＋b2＝2c2.
∴cosC＝＝.
又2c2＝a2＋b2≥2ab，
∴ab≤c2.
∴cosC≥.
∴0
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