学年上海市松江区届九年级第一学期期末教学质量抽测数学试题含答案.docx
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学年上海市松江区届九年级第一学期期末教学质量抽测数学试题含答案
松江区2016学年度第一学期期末质量抽测
初三数学
（满分150分，完卷时间100分钟）2017.01
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：
（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．已知在Rt△ABC中，∠C=90º，如果BC=2，∠A=，则AC的长为（D）
（A）；（B）；（C）；（D）．
2．下列抛物线中，过原点的抛物线是（C）
（A）；（B）；（C）；（D）.
3．小明身高1.5米，在某一时刻的影长为2米，同时测得教学大楼的影长为60米，则教学大楼的高度应为（A）
（A）45米；（B）40米；（C）90米；（D）80米．
4．已知非零向量，，，下列条件中，不能判定∥的是（B）
（A）∥，∥；（B）；
（C）=；（D）=，=．
5．如图，在□ABCD中，点E是边BA延长线上的一点，CE交AD于点F.下列各式中，错误的是（C）
（A）；（B）；
（C）；（D）．
6．如图，已知在△ABC中，，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC的周长比为（B）
（A）1︰2；（B）1︰3；
（C）1︰4；（D）1︰9．
二、填空题：
（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知，则的值为．
8．计算：
=_____________．
9．已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是_____________．
10．把抛物线向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为_________________．
11．已知在△ABC中，∠C=90°，，BC=6，则AB的长是____8________．
12．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC︰CE=3︰5，BF=9，那么DF=__________．
13．已知点A（2，y1）、B（5，y2）在抛物线上，那么y1_>__y2．（填“﹥”、“=”或“﹤”）
14．已知抛物线过（-1，1）和（5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线________．
15．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，垂足为D，BE是△ABC的中线，AD与BE相交于点G，那么AG的长为_____2________．
16．在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°，旗杆顶部的仰角为45°，则该旗杆的高度为_____________米．（结果保留根号）
17．如图，在Rt△ABC中，的垂直平分线交的延长线于点，则的长为_______．
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为______．
三、解答题：
（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算：
解：
原式=
20．（本题满分10分，每小题各5分）
如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，且，设，.
（1）求向量（用向量、表示）；
（2）求作向量在、方向上的分向量.
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
解：
（1）∵，∴
∵，∴
∵，且
∴
（2）解：
所以，向量、即为所求的分向量
21．（本题满分10分，每小题各5分）
如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6,BD=4，
F是BC上一点，.
（1）求EF的长；
（2）如果△BEF的面积为4,求△ABC的面积.
解：
（1）∵，∴
∵，∴
∵△BEF和△CEF同高，且，∴
∴
∴
∴，∴，∴
（2）∵，，∴
∴△BEF∽△ABC
∴
∵，∴，∵
∴
∴
22．（本题满分10分，每小题各5分）
某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离.
（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？
（精确到0.1米）
（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1︰2，求平台EF的长度.（精确到0.1米）
（参考数据：
，，）
解：
（1）联结AB，作BG⊥AB交AC于点G，则∠ABG=90°
∵AB∥CD，∴∠BAG=∠ACD=20°
在Rt△ABG中，
∵BG=2.26，，∴，∴
答：
A、B之间的距离至少要6.3米.
（2）方法一:
设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q
∵AE和FC的坡度为1︰2，∴
设AP=x，则PE=2x，PD=8-x，∵EF∥DC，∴CQ=PD=8-x
∴FQ=2（8-x）=16-2x
在Rt△ACD中，
∵AD=8，∠ACD=20°，∴CD≈22.22
∵PE+EF+FQ=CD，∴2x+EF+16-2x=22.22，∴EF=6.22≈6.2
答：
平台EF的长度约为6.2米.
方法二:
延长AE交DC于点M
∵AE和FC的坡度为1︰2，即AM和FC的坡度为1︰2
∴tan∠AMD=tan∠FCD
∵∠AMD和∠FCD都是锐角，∴∠AMD=∠FCD，∴AM∥FC
∵EF∥DC，∴四边形EMCF是平行四边形，∴EF=MC
∵，AD=8，∴DM=16
在Rt△ACD中，
∵AD=8，∠ACD=20°，∴CD≈22.22
∴GC=CD-DG=6.22，∴EF=6.22≈6.2
答：
平台EF的长度约为6.2米.
23．（本题满分12分，每小题各6分）
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°,D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且.
（1）求证：
AE⊥CD；
（2）联结BF,如果点E是BC中点,求证:
∠EBF=∠EAB.
证明：
（1）∵，∴，又∵∠ACB=∠ECA=90°
∴△ACB∽△ECA
∴∠ABC=∠EAC
∵点D是AB的中点，∴CD=AD
∴∠ACD=∠CAD
∵∠CAD+∠ABC=90°，∴∠ACD+∠EAC=90°
∴∠AFC=90°，∴AE⊥CD
（2）∵AE⊥CD，∴∠EFC=90°，∴∠ACE=∠EFC
又∵∠AEC=∠CEF，∴△ECF∽△EAC
∴
∵点E是BC的中点，∴CE=BE，∴
∵∠BEF=∠AEB，∴△BEF∽△AEB
∴∠EBF=∠EAB
24．（本题满分12分，每小题各4分）
如图，抛物线过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点.
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；
（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，
求点M坐标.
解：
（1）∵抛物线经过点B（3,0）和点C（0,3）
∴
解得
∴抛物线解析式为
由得抛物线顶点D（1,4）
（2）由
（1）可知抛物线对称轴为直线，
∵点E与点C（0,3）关于直线对称，∴点E（2，3）
过点E作EH⊥BC于点H，由OC=OB=3得BC=
∵且CE=2，
∴得
∵∠ECH=∠CBO=45°，∴CH=，∴
∴在Rt△BEH中，
（3）当点M在点D的下方时
设M（1，m），对称轴交x轴于点P，则P（1，0），∴BP=2，DP=4
∴，∵，∠CBE、∠BDP均为锐角
∴∠CBE=∠BDP
∵△DMB∽△BEC
∴或
1，∵DM=4-m，，，
∴，解得，∴点M（1，）
2，则，解得
∴点M（1，）
当点M在点D的上方时，根据题意知点M不存在.
综上所述，点M的坐标为（1，）或（1，）
25．（本题满分14分，第
（1）小题4分，第
（2）、（3）小题各5分）
如图，已知四边形ABCD是矩形，，AB=16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．
（1）求线段BD的长；
（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于
x的函数关系式，并写出函数定义域；
（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE
的长．
解：
（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°
在Rt△BAD中，，AB=16，∴AD=12
∴
（2）∵AD∥BC，∴，∵
∴，∵，∴△EDF∽△BDE
∴
∵BC=AD=12，BE=x，∴CE=，∵CD=AB=16
∴在Rt△CDE中，
∵，∴
∴
定义域
（3）∵△EDF∽△BDE，∴当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形
ⅰ）当BE=BD时
∵BD=20，∴BE=20
ⅱ）当DE=DB时
∵DC⊥BE，∴BC=CE=12
∴BE=24
ⅲ）当EB=ED时
作EH⊥BD于H，则BH=
，即
∴，∴
综上所述，当△DEF时等腰三角形时，线段BE的长为20或24或.
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