河北省鹿泉第一中学学年高二数学月考试题.docx

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河北省鹿泉第一中学学年高二数学月考试题

河北省鹿泉第一中学2019-2020学年高二数学9月月考试题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知向量，，且与互相垂直，则k=（　　）

A.B.C.D.

2.设向量1，，1，，则向量，的夹角的余弦值为　　

A.B.C.D.

3.已知点，若则点C的坐标为（   ）

A.B.C.D.

4.若直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量为，则（　　）

A.B.C.D.A、C都有可能

5.如图，空间四边形OABC中，，，，且，，则等于（ ）

A.B.

C.D.

6.对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：

=，则（　　）

A.四点O,A,B,C必共面B.四点P、A、B、C必共面

C.四点O、P、B、C必共面D.五点O、P、A、B,C必共面

7.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：

件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（　　）

A.3,5B.5,5C.3,7D.5,7

8.总体由编号为01，02，03，，49，50的50个个体组成，利用随机数表以下选取了随机数表中的第1行和第2行选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（    ）

78 16 65 72 08  02 63 14 07 02  43 69 69 38 74

32 04 94 23 49  55 80 20 36 35  48 69 97 28 01

A.05B.09C.07D.20

9.己知某产品的销售额与广告费用之间的关系如表：

（单位：

万元）

0

1

2

3

4

（单位：

万元）

10

15

20

30

35

若求得其线性回归方程为，则预计当广告费用为6万元时的销售额为

A.42万元B.45万元C.48万元D.51万元

10.一组数据X1，X2，…，Xn的平均数是3，方差是5，则数据3X1+2，3X2+2，…，3Xn+2 的平均数和方差分别是（）

A.11,45B.5,45C.3,5D.5,15

11.如图在一个的二面角的棱上有两个点A,B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，且，则CD的长为（   ） 

A.1B.C.2D.

12.在空间直角坐标系中，已知，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为　　

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为______．

14.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为__________.

15.已知，，且，则________.

16.已知向量{，，}是空间的一个单位正交基底，向量{+，-，}是空间另一个基底，若向量在基底{+，-，}下的坐标为（，-，3）则在基底{，，}下的坐标为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.（10分）如图，在棱长为3的正方体中，．

求两条异面直线与所成角的余弦值；

求直线与平面所成角的正弦值．

18.（12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD//QA，QA=AB=PD。

（1）证明：

平面PQC⊥平面DCQ；

（2）求二面角Q—BP—C的余弦值。

19.（12分）如图，正三棱柱的所有棱长均为分别是和AB的中点．

（1）证明：

平面；

（2）求点到平面的距离．

20.（12分）节能减排以来，鹿泉区100户居民的月平均用电量单位：

度，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．

求直方图中x的值；

求月平均用电量的众数和中位数；

估计用电量落在中的概率是多少？

21.（12分）某校为了解学生一次考试后数学、物理两个科目的成绩情况，从中随机抽取了25位考生的成绩进行统计分析．25位考生的数学成绩已经统计在茎叶图中，物理成绩如下：

90    71    64     66   72   39    49   46    55    56   85    52    61

80    66    67    78    70   51    65   42    73    77   58     67

（Ⅰ）请根据数据在答题卡的茎叶图中完成物理成绩统计；

（Ⅱ）请根据数据在答题卡上完成数学成绩的频数分布表及数学成绩的频率分布直方图；

数学成绩分组

[50，60﹚

[60，70﹚

[70，80﹚

[80，90﹚

[90，100﹚

[100，110﹚

[110，120]

频数

（Ⅲ）设上述样本中第i位考生的数学、物理成绩分别为xi，yi（i=1，2，3，…，25）．通过对

样本数据进行初步处理发现：

数学、物理成绩具有线性相关关系，得到：

=86，=64，（xi-）（yi-）=4698，（xi-）2=5524，≈0.85．

求y关于x的线性回归方程，并据此预测当某考生的数学成绩为100分时，该考生的物理成绩

（精确到1分）．

附：

回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

=，=-．

22.（12分）如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，CF=，平面EDCF⊥平面ABCD．

​

（Ⅰ）求证：

DF∥平面ABE；

（Ⅱ）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值．

（Ⅲ）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．

高二数学9月月考答案解析

1-5.BDBBC6-10.BACCA11-12.CC

12.解：

∵点Q在直线OP上运动，∴存在实数λ使得=（λ，λ，2λ），

∴，,

​

=6λ2-16λ+10=6，当且仅当时，上式取得最小值，

∴Q．

13.30014.415.16.（1，2，3）

16解：

∵向量在基底{+，-，}下的坐标为（，-，3）

∴向量=（+）-（-）+3=+2+3，

故在基底{，，}下的坐标为（1，2，3），

故答案为：

（1，2，3）．

17.解：

（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz如图所示：

则A（3，0，0），C1=（0，3，3），D1=（0，0，3），E（3，0，2）

∴=（-3，3，3），=（3，0，-1）

∴cosθ===-

则两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值为……5分

（2）B（3，3，0），=（0，-3，2），=（3，0，-1）

设平面BED1F的一个法向量为=（x，y，z）

由得

令x=1，则=（1，2，3）……7分

则直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值为

||==……..10分

（1）证明SD⊥AB，结合AD⊥AB，即可证明BA⊥平面SAD．

（2）利用等积法求解即可．

18.解：

如图，以D为坐标原点，

线段DA的长为单位长，

射线DA为x轴的正半轴，

建立空间直角坐标系D-xyz；

（1）依题意有Q（1，1，0），

C（0，0，1），P（0，2，0）；

则=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，-1，0），

所以=0，=0；

即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，

故PQ⊥平面DCQ，

又PQ⊂平面PQC，

所以平面PQC⊥平面DCQ；……4分

（2）依题意，有B（1，0，1），

=（1，0，0），=（-1，2，-1），

设=（x，y，z）是平面的PBC法向量，

则，

即，

因此可取=（0，-1，-2），……6分

设是平面PBQ的法向量，

则，

可取=（1，1，1），……8分

所以cos＜，＞=-，……10分

设所求角为，因为为锐角

故二面角cos为-．……12分

19.

（1）证明：

以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，

过E作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（-1，0，0），D（1，0，1），A1（-1，0，2），

E（0，0，0），C（0，，0），

=（2，0，1），=（-1，0，2），=（0，，0），…….2分

∵，=0，

∴AD⊥EA1，AD⊥EC，……4分

∵EA1∩EC=E，……5分

∴AD⊥平面A1EC．……6分

（2）解：

B1（1，0，2），=（1，0，2），……8分

∵由

（1）可知AD⊥平面A1EC，

∴平面A1EC的一个法向量=（2，0，1），……10分

∴点B1到平面A1EC的距离d==．……12分

20.解：

（1）依题意，20×（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）=1，

解得x=0.0075；……4分

（2）由图可知，最高矩形的数据组为[220，240），

∴众数为=230，……6分

∵[160，220）的频率之和为（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45，

∴依题意，设中位数为y，

∴0.45+（y-220）×0.0125=0.5．解得y=224，∴中位数为224；……10分

（3）月平均用电量在[220，300）中的概率是

​p=1-（0.002+0.0095+0.011）×20=0.55．……12分

21.解：

（Ⅰ）物理成绩的茎叶图如图所示；

……4分

（Ⅱ）数学成绩的频数分布表；

数学成绩分组

[50，60﹚

[60，70﹚

[70，80﹚

[80，90﹚

[90，100﹚

[100，110﹚

[110，120]

频数

 1

 2

3 

7 

6 

5 

1 

…….6分

画图正确……8分

（Ⅲ）由已知得b=0.85，a=64-0.85×86=-9.1，

∴y=0.85x-9.1，……10分

∴x=100时，y=75.9≈76，

预测当某考生的数学成绩为100分时，该考生的物理成绩为76分．……12分

22.解：

（Ⅰ）证明：

取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

如图所示；

则A（1，0，0），B（1，2，0），E（0，0，），F（-1，2，），

=（-1，-2，），=（0，2，0），

设平面ABE的法向量为=（x，y，z），

∴，

不妨设=（，0，1），

又=（-1，2，），

∴•=-+0+=0，

∴⊥；

又∵DF⊄平面ABE，

∴DF∥平面ABE；……4分

（Ⅱ）∵=（-1，-2，），=（-2，0，），

设平面BEF的法向量为=（x，y，z），

∴，

则=（2，，4），设平面ABE与平面EFB所成二面角为，

∴|cosθ|=|==，

∴平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值是；……8分

（Ⅲ）设=λ=λ（-1，2，）=（-λ，2λ，λ），λ∈[0，1]；

∴P（-λ，2λ，λ），=（-λ-1，2λ-2，λ），

又平面ABE的法向量为=（，0，1），设直线BP与平面ABE所成角为

∴sin=|cos＜，＞|

=||

=

=，化简得8λ2-6λ+1=0，解得λ=或λ=；