届东北三省三校高三第一次模拟考试数学理试题Word版含答案.docx
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届东北三省三校高三第一次模拟考试数学理试题Word版含答案
2021届东北三省三校高三第一次模拟考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数的模为（）
A.B.C.D.
2.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.
3.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为（）
A.B.C.D.
4.已知，则（）
A.B.C.D.
5.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为（）
A.B.2C.D.
6.展开式中的常数项是（）
A.B.C.8D.
7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是（）
A.B.C.1D.3
8.已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，则该函数的一个单调增区间为（）
A.B.C.D.
9.辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入，，则输出的值为（）
A.148B.37C.333D.0
10.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的侧面积为，则该半球的体积为（）
A.B.C.D.
11.已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，若以为直径的圆与轴相切，则的值是（）
A.B.C.D.
12.在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为（）
A.B.C.D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在中，，，，则______________.
14.若满足约束条件，则的最大值为______________.
15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科、、，已知：
①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教学科；
③在长春工作的教师教学科；④乙不教学科.
可以判断乙教的学科是______________.
16.已知函数，是函数的极值点，给出以下几个命题：
①；②；③；④；
其中正确的命题是______________.（填出所有正确命题的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知正项数列满足：
，其中为数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间，需求量为100台；最低气温位于区间，需求量为200台；最低气温位于区间，需求量为300台。
公司销售部为了确定11月份的订购计划，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表：
最低气温（℃）
天数
11
25
36
16
2
以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率.
（1）求11月份这种电暖气每日需求量（单位：
台）的分布列；
（2）若公司销售部以每日销售利润（单位：
元）的数学期望为决策依据，计划11月份每日订购200台或250台，两者之中选其一，应选哪个？
19.如图，四棱锥中，平面平面，且，底面为矩形，点、、分别为线段、、的中点，是上的一点，.直线与平面所成的角为.
（1）证明：
平面；
（2）设，求二面角的余弦值.
20.已知椭圆过抛物线的焦点，，分别是椭圆的左、右焦点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与抛物线相切，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
21.已知函数，，.
（1）当时，若对任意均有成立，求实数的取值范围；
（2）设直线与曲线和曲线相切，切点分别为，，其中.
①求证：
；
②当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
22.已知曲线的极坐标方程为：
，以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为：
（为参数），点.
（1）求出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（2）设曲线与曲线相交于，两点，求的值.
23.已知不等式.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为，求的范围.
2021届东北三省三校高三第一次模拟考试
数学（理）试题参考答案
一．选择题：
CABBABDABDCA
二．填空题：
13.114.15.C16.①③
三．解答题：
17.（本题满分12分）
解：
（Ⅰ）令，得，且，解得.
当时，，即，
整理得，，，
所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，
故.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
，
.
18．（本题满分12分）
解：
（1）由已知X的可能取值为100,200,300
X的分布列为
X
100
200
300
P
0.2
0.4
0.4
（2）由已知
①当订购200台时，
E（（元）
②当订购250台时，
E（
（元）
综上所求，当订购台时，Y的数学期望最大，11月每日应订购250台。
19．（本题满分12分）
.解：
（Ⅰ）取中点，连接，交于点，连接，则.
因为平面平面，所以平面，，.
方法一：
因为，，所以，所以.
又，，所以，所以∽，
所以，所以.且，所以平面.
方法二：
取中点，连接，交于点,连接，则.
因为平面平面，所以平面，，.
又因为，，所以，所以.
以点为原点，射线、、方向为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.
设，，则，，，，
于是,.
所以，所以，且，所以平面
（Ⅱ）取中点，连接，交于点，连接，则.
因为平面平面，所以平面，
，.
以点为原点，射线、、方向为轴、轴、轴的正方向，
建立空间直角坐标系.
设，则，，
，，，
于是，，.
设平面的一个法向量为，则，
从而，令,得.
而平面的一个法向量为.
所以
20．（本题满分12分）
.解:
（Ⅰ），又，.又，
椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）设直线与抛物线相切于点，则，即，
联立直线与椭圆，消去，整理得.
由，得.
设，则：
.
则
原点到直线的距离.
故面积，
当且仅当，即取等号，
故面积的最大值为1.
21．（本题满分12分）
解（Ⅰ）:
当时：
由知：
依题意：
对恒成立
设
当时；当时，
设
当时；当时，
故：
实数k的取值范围是
（Ⅱ）由已知：
，
①：
由得：
由得：
故
，，，故：
②：
由①知：
，且
由得：
，
设
在为减函数，
由得：
又
22.解：
（本小题满分10分）
（Ⅰ）
的直角坐标方程为:
的普通方程为
（Ⅱ）将
得：
由的几何意义可得：
23．（本小题满分10分）
（Ⅰ）当时：
不等式为:
等价于：
:
解得：
:
所以：
不等式的解集为:
（Ⅱ）设函数=
设函数过定点（0，-1）
画出的图像，
由数形结合得的范围是
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