届东北三省三校高三第一次模拟考试数学理试题Word版含答案.docx
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届东北三省三校高三第一次模拟考试数学理试题Word版含答案
2021届东北三省三校高三第一次模拟考试
数学(理)试题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数的模为()
A.B.C.D.
2.已知集合,,若,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
3.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中,依次抽出2张,则在第一次抽到奇数的情况下,第二次抽到偶数的概率为()
A.B.C.D.
4.已知,则()
A.B.C.D.
5.中心在原点,焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点,则它的离心率为()
A.B.2C.D.
6.展开式中的常数项是()
A.B.C.8D.
7.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的的值是()
A.B.C.1D.3
8.已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是,则该函数的一个单调增区间为()
A.B.C.D.
9.辗转相除法是欧几里德算法的核心思想,如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法,若输入,,则输出的值为()
A.148B.37C.333D.0
10.底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图,半球内有一内接正四棱锥,该四棱锥的侧面积为,则该半球的体积为()
A.B.C.D.
11.已知抛物线,直线与抛物线交于,两点,若以为直径的圆与轴相切,则的值是()
A.B.C.D.
12.在,,,是边上的两个动点,且,则的取值范围为()
A.B.C.D.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.在中,,,,则______________.
14.若满足约束条件,则的最大值为______________.
15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科、、,已知:
①甲不在哈尔滨工作,乙不在长春工作;②在哈尔滨工作的教师不教学科;
③在长春工作的教师教学科;④乙不教学科.
可以判断乙教的学科是______________.
16.已知函数,是函数的极值点,给出以下几个命题:
①;②;③;④;
其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号)
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知正项数列满足:
,其中为数列的前项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
18.某商场按月订购一种家用电暖气,每销售一台获利润200元,未销售的产品返回厂家,每台亏损50元,根据往年的经验,每天的需求量与当天的最低气温有关,如果最低气温位于区间,需求量为100台;最低气温位于区间,需求量为200台;最低气温位于区间,需求量为300台。
公司销售部为了确定11月份的订购计划,统计了前三年11月份各天的最低气温数据,得到下面的频数分布表:
最低气温(℃)
天数
11
25
36
16
2
以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率.
(1)求11月份这种电暖气每日需求量(单位:
台)的分布列;
(2)若公司销售部以每日销售利润(单位:
元)的数学期望为决策依据,计划11月份每日订购200台或250台,两者之中选其一,应选哪个?
19.如图,四棱锥中,平面平面,且,底面为矩形,点、、分别为线段、、的中点,是上的一点,.直线与平面所成的角为.
(1)证明:
平面;
(2)设,求二面角的余弦值.
20.已知椭圆过抛物线的焦点,,分别是椭圆的左、右焦点,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与抛物线相切,且与椭圆交于,两点,求面积的最大值.
21.已知函数,,.
(1)当时,若对任意均有成立,求实数的取值范围;
(2)设直线与曲线和曲线相切,切点分别为,,其中.
①求证:
;
②当时,关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.
22.已知曲线的极坐标方程为:
,以极点为坐标原点,以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,曲线的参数方程为:
(为参数),点.
(1)求出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程;
(2)设曲线与曲线相交于,两点,求的值.
23.已知不等式.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若不等式的解集为,求的范围.
2021届东北三省三校高三第一次模拟考试
数学(理)试题参考答案
一.选择题:
CABBABDABDCA
二.填空题:
13.114.15.C16.①③
三.解答题:
17.(本题满分12分)
解:
(Ⅰ)令,得,且,解得.
当时,,即,
整理得,,,
所以数列是首项为3,公差为2的等差数列,
故.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:
,
.
18.(本题满分12分)
解:
(1)由已知X的可能取值为100,200,300
X的分布列为
X
100
200
300
P
0.2
0.4
0.4
(2)由已知
①当订购200台时,
E((元)
②当订购250台时,
E(
(元)
综上所求,当订购台时,Y的数学期望最大,11月每日应订购250台。
19.(本题满分12分)
.解:
(Ⅰ)取中点,连接,交于点,连接,则.
因为平面平面,所以平面,,.
方法一:
因为,,所以,所以.
又,,所以,所以∽,
所以,所以.且,所以平面.
方法二:
取中点,连接,交于点,连接,则.
因为平面平面,所以平面,,.
又因为,,所以,所以.
以点为原点,射线、、方向为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.
设,,则,,,,
于是,.
所以,所以,且,所以平面
(Ⅱ)取中点,连接,交于点,连接,则.
因为平面平面,所以平面,
,.
以点为原点,射线、、方向为轴、轴、轴的正方向,
建立空间直角坐标系.
设,则,,
,,,
于是,,.
设平面的一个法向量为,则,
从而,令,得.
而平面的一个法向量为.
所以
20.(本题满分12分)
.解:
(Ⅰ),又,.又,
椭圆的标准方程为.
(Ⅱ)设直线与抛物线相切于点,则,即,
联立直线与椭圆,消去,整理得.
由,得.
设,则:
.
则
原点到直线的距离.
故面积,
当且仅当,即取等号,
故面积的最大值为1.
21.(本题满分12分)
解(Ⅰ):
当时:
由知:
依题意:
对恒成立
设
当时;当时,
设
当时;当时,
故:
实数k的取值范围是
(Ⅱ)由已知:
,
①:
由得:
由得:
故
,,,故:
②:
由①知:
,且
由得:
,
设
在为减函数,
由得:
又
22.解:
(本小题满分10分)
(Ⅰ)
的直角坐标方程为:
的普通方程为
(Ⅱ)将
得:
由的几何意义可得:
23.(本小题满分10分)
(Ⅰ)当时:
不等式为:
等价于:
:
解得:
:
所以:
不等式的解集为:
(Ⅱ)设函数=
设函数过定点(0,-1)
画出的图像,
由数形结合得的范围是