初中数学专题辅导系列解析.docx
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初中数学专题辅导系列解析
初中数学专题辅导系列
1．数学新课程“活动型”中考题评析
2004年，第一批课程改革实验区进入中考，第一次实行中考独立命题。
其中“活动型”中考试题成为一大亮点，充分体现了新课标的数学学习理念：
数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。
本文以2004年数学新课程中考试题为例，分类评析，供2005年备考的师生参考，并与同仁们交流。
一、游戏型
游戏蕴涵了许多数学理论，做游戏本身就是对思维的一种挑战，也是一个非常有趣的过程。
这有助于培养学生对数学的积极情感体验。
例1、扑克牌游戏：
小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步：
分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张
数相同；
第二步：
从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步：
从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步：
左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆。
这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是
（2004年河北省课程改革实验区初中毕业生学业考试15试题）
左堆牌数
中间堆牌数
右堆牌数
第一步
a
a
a
第二步
a-2
a+2
a
第三步
a-2
a+2+1
a-1
第四步
2（a–2）
a+2+1–（a–2）
a-1
评析：
这是一道有趣的情景题，
小明象魔术师般神奇地说出了准确
数,这其中的奥秘是什么？
激起学
生的思维，把具体问题数学化，用字母a表示各堆牌相同的张数，
列表分析：
如右表，得中间牌数为5。
在这一过程中学生经历“从具体事物学生个性化的符号表示学会数学地表示”这一逐步化、形式化的过程，从而发展学生的“符号感”。
例2、小明和小刚用如图的两个转盘做游戏，，游戏规则
如下：
分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为1212
奇数时，小明得2分；当所转到的数字之积为偶数时，小刚3
得1分。
这个游戏对双方公平吗？
若公平，说明理由。
若不
公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？
甲乙
（2004年山东省青岛市初级中学学业水平考试16试题）
积乙
甲
1
2
3
1
1
2
3
2
2
4
6
评析：
游戏本身就是一种随机事件，每次游戏就是一次实验。
对游戏规则公平性的研究，实际上是事件发生可能性的一种应用。
一种游戏规则公平与否直接与这个游戏的方式有关。
在很大程度上，游戏将有助于学生对随机事件的理解。
另一方面，对游戏公平性的研究，将有利于培养学生公平、公正的态度，有助于学生形成正确的世界观。
本题要求学生先将两个转盘所转到的数字求积（如右表），从表中可以得到：
P积为奇数=,P积为偶数=.∴小明的积分为，
小刚的积分为。
因此，游戏对双方公平。
二、实践活动型
“实践与综合应用”是新数学课程中一个全新的内容，要求学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以培养学生的创新意识与实践能力。
例1、新安商厦对销量较大的A、B、C三种品牌的洗衣粉进行了问卷调查，发放问卷270份（问卷由单选和多选题组成）。
对收回的238份问卷进行了整理，部分数据如下：
一、最近一次购买各品牌洗衣粉用户的比例二、用户对各品牌洗衣粉满意情况汇总表：
（如图）：
内容
质量
广告
价格
品牌
A
B
C
A
B
C
A
B
C
满意的户数
194
121
117
163
172
107
98
96
100
C
22.12%A
40.69%
其他B30.57%
6.62%
根据上述信息回答下列问题：
（1）A品牌洗衣粉的主要竞争优势是什么？
你是怎样看出来的？
（2）广告对用户选择品牌有影响吗？
请简要说明理由。
（3）你对厂家有何建议？
（２００４年安徽省初中毕业、升学考试２２题）
评析：
能用精炼的语言表述自己的观点是新课程中考题的新亮点。
本题主要是考查学生的统计分析与推断能力，并要求学生作出合理解释。
解答参考：
（1）A品牌洗衣粉主要竞争优势是质量。
可从以下看出：
①对Ａ品牌洗衣粉的质量满意的用户最多；②对Ａ品牌洗衣粉的广告、价格满意的用户不是最多。
（２）广告对用户选择品牌有影响，可从以下看出：
①对Ｂ、Ｃ品牌洗衣粉质量、价格满意的用户数相差不大；②对Ｂ品牌洗衣粉的广告满意的用户数多于Ｃ品牌，且相差较大；③购买Ｂ品牌洗衣粉的用户比例高于Ｃ品牌８.４５％。
（３）①要重视质量；② 在保证质量的前提下，要关注广告和价格。
Ｍ
例２、在一次实践活动中，某课题学习小组用
测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下方案
（如图①所示）：
Ｃ Ｅ
（1）在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE=α;Ａ ① Ｎ
（2）量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN=m；M
（3）量出测倾器的高度AC=h.
根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN.
如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度
（如图②）的方案.
（1）在图②中画出你测量小山高度MN的示意图（标上适当的字母）；②N
（2）写出你设计的方案.（2004年山东省青岛市初级中学学业水平考试17题）
评析：
本题不新，它来源于课本的课题实践，主要考查学生对直角三角形边与角关系的应用，是历年常考的一类题。
本题新，新在考查学生的方案设计，而不要求计算过程。
这体现了新课标要求学生懂得算理而避免繁杂的计算，而且可以考察教师是否真正落实课题实践活动的学习。
这道题要求学生经历“自学——模仿——创造”的过程，因为AN的M
距离是不能直接测量的。
略解如下：
（1）正确画出示意图：
（2）①在测点A处安置测倾器，测得此时山顶M的仰角∠MCE=α；
②在测点A与小山之间的B处安置测倾器（A、B与CDE
N在同一条直线上），测得此时山顶M的仰角∠MDE=β；
3量出测倾器的高度AC=BD=h，以及测点A、B之ABN
间的距离AB=m。
根据上述数据即可求出小山的高度MN.
三、动手做（Handson）的活动
“实验操做探究型”问题是今年实验区中考题的又一特色，它要求学生观察一件物体或一种现象，或者说操作某些学具，让学生在研究所观察的物体或现象的过程中进行发现、猜想、证明，并从中体会学习数学的快乐，有助于发展学生的合情推理能力以及培养学生的创新精神。
例：
如图1，⊙和⊙内切于点P.C是
⊙上任一点（与点P不重合）.
实验操作：
将直角三角板的直角顶点放在点C上，
一条直角边经过点，另一直角边所在直线交⊙图1图2
于点A、B，直线PA、PB分别交⊙于点E、F，连结CE（图2是实验操作备用图）.
探究：
（1）你发现弧CE、弧CF有什么关系？
用你学过的知识证明你的发现；
（2）你发现线段CE、PE、BF有怎样的比例关系？
证明你的发现.
（2004年大连市毕业升学统一考试26题）
解析：
探究
（1）结论：
CE=CF.
证法一：
过点P作两圆外公切线MN，连结EF.
∵MN为两圆的公切线∴∠NPB=∠PEF=∠A
∴EF//AB
又∵C⊥AB∴C⊥EF
又∵C为⊙的半径∴CE=CF.
证法二：
过点P作两圆外公切线MN，连结CP.
∵C⊥AB，C为⊙的半径
∴AB切⊙于C
∴∠BCP=∠CEP
∵MN为两圆的公切线∴∠MPA=∠B=∠PCE
∴∠CPE=∠CPB∴CE=CF.
探究
（2）结论：
证法一：
过点P作两圆外公切线MN，连结CP、CF.
∵AB切⊙于C∴∠BCF=∠CPB
∵∠CPE=∠CPB∴∠BCF=∠CPE
∵⊙是四边形ECFP的外接圆
∴∠CFB=∠CEP
∴ΔBCF∽ΔCPE∴
∵CE=CF∴CE=CF
∴∴
证法二：
过点P作两圆外公切线MN，连结CP、CF.
∵AB切⊙于C∴∠PCB=∠PEC
∵∠CPE=∠CPB∴ΔPEC∽ΔPCB
∴∴
∵AB切⊙于C∴∠BCF=∠CPB
又∵∠B=∠B
∴ΔCFB∽ΔPCB
∴∴
∴
∵CE=CF∴CE=CF
∴∴
本题后还有一个附加题：
如图，若将上述问题的⊙和⊙由内切改为外切，
其他条件不变，请你探究线段CE、PE、BF有怎样的比例关系，
并说明。
解析：
过点P作两圆内公切线MN，连结CF、EF、PC
∵C⊥BC，C为⊙的半径
∴BC切⊙于C
∵MN为两圆的公切线
∴∠MPE=∠EFP，∠NPA=∠B
∵∠MPE=∠NPA∴∠EFP=∠B
∴EF//BC∴C⊥EF
∴CE=CF∴CE=CF
∵∠B=∠EFP，∠EFP=∠ECP∴∠B=∠ECP
又∵∠PEC=∠PFC∴ΔEPC∽ΔFCB
∴∴
∴
2．涉及高中知识的阅读理解中考题
阅读理解型问题是中考的一个重要考点，涉及高中知识的中考题各地中考试卷中频繁出现，值得重视。
本文就这类题的特点及解法举例说明。
例1.（2003年·广西）阅读下列一段话，并解决下面的问题。
观察这样一列数：
1，2，4，8，……我们发现这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2。
一般地，如果一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。
（1）等比数列5，－15，45，……的第4项是______________；
（2）如果一列数a1，a2，a3，a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据上述的规定，有所以，，，…
an＝_________。
（用a1与q的代数式表示）
（3）一等比数列的第2项是10，第3项是20，求第1项与第4项。
解：
（1）－135；
（2）
（3）因，，故
因，故，
评析：
本题取材于高中代数中的等比数列，既能考查学生的理解运用能力，又能够锻炼学生的自学能力，引导学生养成良好的探索习惯。
例2.（2003年·甘肃省）平面上有n个点（），且任意3点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线？
分析：
当仅有2个点时，可连成1条直线；有3个点时，可连成3条直线；有4个点时，可连成6条直线；有5个点时，可连成10条直线；……
归纳：
考察点的个数n和可连成直线的条数Sn，发现规律如表1。
表1
推理：
平面上有n个点，两点确定一条直线。
取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n－1）种取法，所以一共可连成n（n－1）条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2，即。
结论：
试探究以下问题：
平面上有n（）个点，任意3个点不在同一直线上，过任意3点作三角形，一共能作出多少个不同的三角形？
（1）分析：
当仅有3个点时，可作___________个三角形；当有4个点时，可作______个三角形；当有5个点时，可作________个三角形；…
（2）归纳：
考察点的个数n和可作三
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