车灯线光源的优化设计数学建模论文.docx
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车灯线光源的优化设计数学建模论文
高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
B
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
重庆大学
参赛队员（打印并签名）：
1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
日期：
年月日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
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阅
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注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
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车灯线光源的优化设计
摘要
车灯作为汽车的一个重要部件，不仅影响车子造型的美观，而且是夜间行车时必要的照明工具。
如何设计车灯线光源的长度，使它既能达到一定的照明效果又能充分地节约能源，是一个值得探讨的问题。
本文在满足给定设计规范的条件下，对车灯线光源的优化问题进行了分析研究。
首先根据几何光学的反射定律，求出了线光源上任意点经过抛物面任意点反射所得光线的方程。
其次利用所得直线方程，根据能量守恒推导出点光源的一条入射光的强度与测试屏上相应点的光强度的关系。
对于固定的点光源和测试屏上的一点，利用反射方程可以确定有限个反射点，对这些点进行叠加，求出点光源经抛物面一次反射后在屏幕上某点所得的光强度。
将线光源离散化成若干个点光源，用点光源的性质计算了线光源在屏幕上给定点B、C的光强度。
以设计规范对B、C点光强度的要求为约束条件，线光源的最小功率为目标，利用数值计算方法计算出功率最小的线光源长度4.15毫米。
用反射光线方程与测试屏方程，将反射光线在屏幕上的“照亮点”用点光源作标记反射点坐标表示出来（见式子（6））。
用一定步长取遍线光源及反射点坐标，逐个计算相应的照亮点，就能得到线光源在测试屏上的反射光的亮区（见图3）。
在考虑反射光传播过程时，本文采用了曲面变换的雅克比行列式，描述了光束截面扩大的效应，简洁的得到了由于面镜对改变光的传播方向所引起的光强度的变化，另外，针对反射光的亮区图案作了定性分析。
最后，在文末讨论了该规范设计的合理性，就B、C点位置特征的合理性进行分析，并对于二灯制前照灯设计规范惊醒了改进，以及近远光的考虑。
一问题重述
安装汽车头部的车灯的形状唯一旋转抛物面，车灯的对称轴水平的指向正前方。
一种典型车灯的开口半径为69毫米，深度为21.6毫米。
经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向面对成的放置一根长度均匀分布的线光源（中心位于焦点），其每一个发光都相同。
要求在某一设计规范标准下确定光源的长度，使其功率最小。
该规范如下：
在焦点F正前方25米处的Ａ点竖直放置一测试屏，屏与连线ＦＡ垂直，用以测试车灯的反射光，在屏上过Ａ点引出一条水平的直线，在该直线上Ａ点的同侧取Ｂ点和Ｃ点，使得ＡＣ＝２．６米，ＡＢ＝１．６米。
要求Ｃ点的光强度度不小于某一额定值（可取为１个单位），Ｂ点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
为了优化车灯光源的设计，使之既满足以上的设计规范又能够达到节能耐用的标准，现在要求如下问题：
（１）在满足给定设计规范的条件下，计算线光源的长度，使线光源的功率最小。
（２）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上的反射光的亮区，得到一个直观的灯光照明效果的图像。
（３）讨论给定的设计规范的合理性，看它能否比较好的反映出车灯照明效果的好坏。
二、问题分析
以车灯抛物面定点为原点，抛物面的对称轴为坐标系的ｚ轴，车灯所对正前方为ｚ轴的正方向，建立空间直角坐标系。
则根据抛物面开口半径为３６，深度为２１．６，可以求得车灯抛物面的方程如下：
ｚ＝（）
其焦点坐标为Ｇ（０，０，１５），用Ｍａｔｌａｂ绘制出该抛物面的图形如下：
由给定的设计规范，整个“车灯－测试屏”的检测系统简化结构如下：
假设线光源的亮度是均匀分布的，可以认为它是由无数发光强度相同的点光源构成。
设线光源长度为Ｌ，总发光功率为Ｐ，在线光源上任取一小段长为dl的线元，其功率为dp，则有：
dp＝dl
将ｄｌ长的线光源看成一个功率为ｄｐ的点光源，求出每个点光源ｄｌ对Ｂ、Ｃ两点光亮度的贡献，然后把所有点光源的光强度贡献积分，就可以得出Ｂ、Ｃ两点的总光强度。
三、模型假设
１．线光源亮度均匀，它的中心位于旋转抛物面的焦点，水平放置在焦平面上；
２．不考虑灯抛物面对光线的多次反射，只考虑一次反射。
３．设计规范中要求的Ｃ点的最小光强度为１；
四、模型的建立与求解
１．反射光线与测试屏交点坐标的确定
车灯抛物面焦点的坐标Ｇ（０，０，１５），线光源所在直线ν过G点且平行于ｘ轴，可以求出其直线方程为；
测试屏所在平面β与z轴垂直，求得其方程为：
Z=25015
取B、C两点在A点的X轴正方向一侧，于是得到：
B点坐标：
（1300，0，25015）C点坐标：
（2600，0，25015）
直线v与抛物面的交点为：
（30，0，15）和（-30，0，15），所以线光源的最大长度为60毫米
设点光源上一点T（3t，0，15）发出的光线射到抛物面上某一点P0（x0，y0，z0），则入射光线Tp0的方程为
抛物面上点P0处的法线方程为
有P0
在抛物面上，故有：
60Z=x+y
（1）
计T点关于法线的对称点为T（x1，y1，z1），则由线段TT的中点在法线上可得的:
（2）
又因直线TT与法线垂直，有（x-t）x+（y-0）y-30（z-15）=0
联立
（1）
（2）（3）可求出x,y,z的表达式如下：
x=x+[（-900tx-ty）/（900+x+y）]
y=y+[2txy/（900+x+y）]
z=（405000-1800tx+1350x+x+1350y+2xy+y
反射光线PT的方程为在此处键入公式。
pT与测试屏平面β的交点记为Q（x，y，z），其坐标满足下列方程组：
解之得：
把
（1），（4）代入（5）得到下式：
2。
关于反射点的个数的分析
命题：
任何一个确定的点光源T和测试屏上的一点Q，在抛物面上只有有限个反射点使从点光源T发射出的光线经过反射后可以到达D点。
证明：
（6）式完整描述了屏上任意一点Q、线光源上一点T与抛物面上对应的反射点的关系。
由表达式可知x，y均只与x0，y0，t有关，可以记为；
当给定Q、T时，x，y，t均为常数。
于是以上函数关系就转化为下列方程组；
这就是求两条平面曲线的交点。
由于这两个曲线方程的形式不同，不可能重合。
因此它们的交点最多只有有限个。
三。
测试屏上任意一点光强度的确定（6）式确定了从线光源上一点T发出的光线经过抛物面上一点P0反射后在测试屏β任意一点Q*（x，y，z）的坐标值代入，就可以得到所有通过Q*点的反射光线所满足的关于x0，y0，t的关系式。
对给定的t求出所有过Q*的反射光线在Q*产生的光强度，再对t的线光源L上积分就可以求出Q*的总反射光强度E0，它是一个关于线光源长度L和线光源总功率P的函数。
点的光强度包含两个部分，除总反射光强度外，还有总直射光强度：
=+
其中直射光强度E1为线光源不经反射直接射到Q*的光强度
4．光强度的物理分析
设车灯光源的总发光功率为Ｐ，光通量为F，则有如下规律：
F=ＣＶＰ…………………………………………… （７）
其中：
Ｃ为比例常数：
Ｖ为人眼对于波长光线（白光）的视觉灵敏度。
有发光强度Ｉ的关系式：
Ｉ＝
其中：
为立体角，对于电光源，＝４∏
由于点光源发出的光为球面波，球面上任意一点的光强度都相同，有：
Ｉ＝ …………………………………………… （８）
对于照度（光强度）Ｅ有：
Ｅ＝…………………………………………… （９）
其中：
ｒ为发光点到照射面的距离：
为照射面发现方向与照明方向的夹角。
联立（７）（８）（９）解得：
Ｅ＝ …………………………………………… （１０）
由上式可知：
光强度（照度）与线光源总功率Ｐ成正比，与投射角的余弦成正比，与距离ｒ的平方成反比。
５．直射光线所产生的光强度分析
由于线光源与测试屏的距离为２５米，而线光源的最大长度为６厘米，可把线光源当成在焦点处的点光源，其产生的光强度：
＝ ………………………………………… （１１）
其中：
＝＋（ｄ为测试屏上Ｑ点到A电的距离），F=ＣＶＰ
6.B、两点光强度与线光源的功率长度的关系
把点取为Ｂ点，就可以求出Ｂ点的总反射光强度，它是关于Ｐ、Ｌ的函数，设为：
＝（Ｐ，Ｌ）
又射线光源在B点的总直射光强度为，它也是关于P，L的函数，设为：
＝（Ｐ，Ｌ）
则B点总光强度有：
+=（Ｐ，Ｌ）+（Ｐ，Ｌ）
设计规范条件要求B点的光强度不小于2，即：
=（Ｐ，Ｌ）+（Ｐ，Ｌ）2
同理，对才C点也可以得到：
=（Ｐ，Ｌ）+（Ｐ，Ｌ）1
这样（12）（13）分别确定了一个在以Ｐ，Ｌ为坐标系的平面内地两个区域，两个区域的重叠区即代表了多有满足设计规范的Ｐ，Ｌ的范围，园区该重叠区的Ｐ值最小的店所得到的对应的L值就是所要求的线光源的长度。
7.反射光线与入射光线能量关系的确定
光线从点光源T出发到抛物面上点的传
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