福建省福州市高中毕业班质检文科数学试题及答案解析.docx
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福建省福州市高中毕业班质检文科数学试题及答案解析
2014年福建省福州市高中毕业班质检文科数学试题及答案解析
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题:
本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|x2－（a+3）x+3a=0},B={x|x2－5x+4=0},集合A∪B中所有元素之和为8,则实数a的取值集合为（）
A.{0}B.{0,3}C.{1,3,4}D.{0,1,3,4}
2.抛物线y=2x2的准线方程为（）
A.B.C.D.
3.已知a∈R,且a≠0,则是“a>1”的（）.
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
4.函数y=ln（x+1）与的图像交点的横坐标所在区间为（）
A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）
5.执行如图所示的程序框图,如果输出的结果为,
则判断框内应填入的条件是（）
A.k<3B.k>3
C.k<4D.k>4
6.某公司的一品牌电子产品,2013年年初,由于市场疲软,产品销售量逐渐下降,五月份公司加大了宣传力度,销售量出现明显的回升,九月份,公司借大学生开学之际,采取了促销等手段,产品的销售量猛增,十一月份之后,销售量有所回落.下面大致能反映出公司2013年该产品销售量的变化情况的图象是（）
7.函数（0≤x≤9）的最大值与最小值的和为（）.
A.B.0C.－1D.
8.如图,半径为R的圆C中,已知弦AB的长为5,则=（）
A.B.C.D.
9.已知直线a,b异面,,给出以下命题:
①一定存在平行于a的平面
使;②一定存在平行于a的平面使∥;③一定存在平行于a的平面使;④一定存在无数个平行于a的平面与b交于一定点.则其中论断正确的是（）
A.①④B.②③C.①②③D.②③④
10.已知P（x,y）为椭圆上一点,F为椭圆C的右焦点,若点M满足且,则的最小值为（）
A.B.3C.D.1
11.在△ABC中,若a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且cos2B+cosB+cos（A－C）=1,则有（）.
A.a、c、b成等比数列B.a、c、b成等差数列
C.a、b、c成等差数列D.a、b、c成等比数列
12.已知都是定义在R上的函数，,,且（）,,对于数列（n=1,2,…,10）,任取正整数k（1≤k≤10）,则其前k项和大于的概率是（）.
A.B.C.D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分.
13.一个容量为20的样本数据分组后,分组与频数分别如下,2;,3;,4;
5;,4;,2.则样本在上的频率是．
14.已知函数（其中,,
）的部分图象如图所示,则函数f（x）的解析式
是.
15.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值
为.
16.已知
且,现给出如下结论:
①;②;
③;④;;
⑤的极值为1和3.其中正确命题的序号为.
三、解答题:
本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知是一个公差大于0的等差数列,且满足.
（I）求数列的通项公式;
（Ⅱ）若数列和数列满足等式:
（n为正整数）求数列的前n项和.
18.（本小题满分12分）
如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据
规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公
路边上建两个仓库M、N（异于村庄A）,要求PM＝PN＝MN
＝2（单位:
千米）.如何设计,可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）．
19.（本小题满分12分）
把一颗骰子投掷两次,观察掷出的点数,并记第一次掷出的点数为,第二次掷出的点数为.试就方程组（※）解答下列问题:
（Ⅰ）求方程组没有解的概率;
（Ⅱ）求以方程组（※）的解为坐标的点落在第四象限的概率..
20.（本小题满分12分）
已知正△ABC的边长为,CD是AB边上的高,E、F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如图所示.
（Ⅰ）试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关
系,并说明理由;
（Ⅱ）若棱锥E-DFC的体积为,求a的值;
（Ⅲ）在线段AC上是否存在一点P,使BP⊥DF？
如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知焦点在y轴,顶点在原点的抛物线C1经过点P（2,2）,以C1上一点C2为圆心的圆过定点A（0,1）,记为圆与轴的两个交点.
（1）求抛物线的方程;
（2）当圆心在抛物线上运动时,试判断是否为一定值？
请证明你的结论;
（3）当圆心在抛物线上运动时,记,,求的最大值．
22.（本题满分14分）
已知函数（）.
（Ⅰ）若,求函数的极值;
（Ⅱ）设．
①当时,对任意,都有成立,求的最大值;
②设的导函数.若存在,使成立,求的取值范围.
2014届福州市高三综合练习数学（文科）
参考答案
1-6DBBBCC7-12ABDADD
13.14.15.1/216.②③
17.（I）{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足.
an=2n－1----------------------4分
（Ⅱ）n≥2时,
∴------------------8分
n≥2时,Sn=（4+8+…+2n+1）－2=
n=1时也符合,故Sn=2n+2－6----------------------------12分
18.解法一:
设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．
因为MN＝2,所以AM＝sin（120°－θ）．………………2分
在△APM中,cos∠AMP＝cos（60°＋θ）.…………………4分
AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝sin2（120°－θ）＋4－2×2×sin（120°θ）cos（60°＋θ）………………………………6分
＝sin2（θ＋60°）－sin（θ＋60°）cos（θ＋60°）＋4
＝[1－cos（2θ＋120°）]－sin（2θ＋120°）＋4
＝－[sin（2θ＋120°）＋cos（2θ＋120°）]＋
＝－sin（2θ＋150°）,θ∈（0,120°）．………………………10分
当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.
答:
设计∠AMN为60时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………12分
解法二（构造直角三角形）:
设∠PMD＝θ,在△PMD中,
∵PM＝2,∴PD＝2sinθ,MD＝2cosθ.……………2分
在△AMN中,∠ANM＝∠PMD＝θ,∴＝,
AM＝sinθ,∴AD＝sinθ＋2cosθ,（θ≥时,结论也正确）.……………4分
AP2＝AD2＋PD2＝（sinθ＋2cosθ）2＋（2sinθ）2
＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ…………………………6分
＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋
＝＋sin（2θ－）,θ∈（0,）.…………………………10分
当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．
此时AM＝AN＝2,∠PAB＝30°…………………………12分
解法三:
设AM＝x,AN＝y,∠AMN＝α.
在△AMN中,因为MN＝2,∠MAN＝60°,
所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN·cos∠MAN,
即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4.…………………………2分
因为＝,即＝,
所以sinα＝y,cosα＝＝＝.………………………4分
cos∠AMP＝cos（α＋60°）＝cosα－sinα＝·－·y＝.…6分
在△AMP中,AP2＝AM2＋PM2－2AM·PM·cos∠AMP,
即AP2＝x2＋4－2×2×x×＝x2＋4－x（x－2y）＝4＋2xy.……………………10分
因为x2＋y2－xy＝4,4＋xy＝x2＋y2≥2xy,即xy≤4.
所以AP2≤12,即AP≤2.
当且仅当x＝y＝2时,AP取得最大值2.
答:
设计AM＝AN＝2km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………12分
解法四（坐标法）:
以AB所在的直线为x轴,A为坐标原点,建立直角坐标系.
设M（x1,0）,N（x2,x2）,P（x0,y0）.∵MN＝2,
∴（x1－x2）2＋3x＝4.…………………………2分
MN的中点K（,x2）．
∵△MNP为正三角形,且MN＝2,∴PK＝,PK⊥MN,
∴PK2＝（x0－）2＋（y0－x2）2＝3,
kMN·kPK＝－1,即·＝－1,………………4分
∴y0－x2＝（x0－）,∴（y0－x2）2＝（x0－）2
∴（1＋）（x0－）2＝3,即（x0－）2＝3,∴（x0－）2＝x．
∵x0－＞0∴x0－＝x2,
∴x0＝x1＋2x2,∴y0＝x1．…………………6分
∴AP2＝x＋y＝（2x2＋x1）2＋x＝x＋4x＋2x1x2
＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12,……………………10分
即AP≤2.
答:
设计AM＝AN＝2km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．………12分
解法五（几何法）:
由运动的相对性,可使△PMN不动,点A在运动.
由于∠MAN＝60°,∴点A在以MN为弦的一段圆弧（优弧）上,………4分
设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，
由图形的几何性质知:
AP的最大值为PF＋R.……6分
在△AMN中,由正弦定理知:
＝2R,
∴R＝,…………8分
∴FM＝FN＝R＝,又PM＝PN,∴PF是线段MN的垂直平分线.
设PF与MN交于E，则FE2＝FM2－ME2＝R2－12＝．
即FE＝，又PE＝.………10
∴PF＝,∴AP的最大值为PF＋R＝2.
答:
设计AM＝AN＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………12分
19.解:
（Ⅰ）由题意知,总的样本空间有组……1分
方法1:
若方程没有解,则,即……3分
（方法2:
带入消元得,因为,所以当时方程组无解）
所以符合条件的数组为,……4分
所以,故方程组没有解的概率为……5分
（Ⅱ）由方程组得……6分
若,则有即符合条件的数组有共有个……8分
若,则有即符合条件的数组有共个……10分
∴所以概率为,
即点P落在第四象限且P的坐标满足方程组（※）的概率为.……12分
20.解
（1）AB//平面DEF,
如图.在△ABC中,∵E,F分别是AC,BC的中点,故EF//AB,
又AB平面DEF,∴AB//平面DEF,……4分
（2）∵AD⊥CD,BD⊥CD,将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B
∴AD⊥BD,AD⊥平面BCD,取CD中点M,则EM//AD,∴EM⊥平面BCD,且EM=a/2
a=2.……8分
（3）存在满足条件的点P.
做法:
因为三角形BDF为正三角形,过B做BK⊥DF,延长BK交DC于K,过K做KP//DA,交AC于P.则点P即为所求.
证明:
∵AD⊥平面BCD,KP//DA,∴PK⊥平面BCD,PK⊥DF,又BK⊥DF,PK∩BK=K,∴DF⊥平面PKB,DF⊥PB.又∠DBK=∠KBC=∠BCK=30°,∴DK=KF=KC/2.
故AP:
OC=1:
2,AP:
AC=1:
3……12分
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